2022-2023学年辽宁省鞍山市千山区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省鞍山市千山区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年辽宁省鞍山市千山区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若二次根式 5x−1有意义，则x的取值范围是(    )
A. x>15 B. x≥15 C. x≤15 D. x≤5
2. 下列几组数中，为勾股数的是(    )
A. 35，45，1 B. 3，4，6 C. 5，12，13 D. 0.9，1.2，1.5
3. 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是(    )
A. ∠ABC=90°
B. AC=BD
C. AD=AB
D. ∠BAD=∠ADC
4. 已知平行四边形ABCD中，∠A比∠B小40°，那么∠C的度数是(    )
A. 40° B. 70° C. 110° D. 140°
5. 如图，一根竖直生长的竹子，原高一丈(一丈=10尺)，折断后，其竹稍恰好抵地(地面水平)，抵地处离竹子底端6尺远，则折断处离地面的高度是(    )


A. 8尺 B. 345尺 C. 165尺 D. 2 5尺
6. 把x −1x根号外的因数移到根号内，结果是(    )
A. x B. −x C. − −x D. − x
7. 已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积为(    )
A. 24 B. 47 C. 48 D. 96
8. 下列运算错误的是(    )
A. 2+ 3= 5 B. 2⋅ 3= 6 C. 6÷ 2= 3 D. (− 2)2=2
9. 观察分析下列数据，寻找规律：0， 3， 6，3，2 3， 15，3 2…，那么第50个数据应该是(    )
A. 7 15 B. 7 3 C. 7 6 D. 7 2
10. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点B作BG⊥AD于G，交AC于F，连接EG，则线段EG的长为(    )
A. 12 B. 1 C. 32 D. 2
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
11. 已知 50n是整数，则正整数n的最小值为______ ．
12. 若 (1−2x)2=2x−1，则x的取值范围是______．
13. 如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△B′CE为直角三角形时，CE的长为______ ．


14. 在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，当a、b、c满足______ 时，∠B=90°．
15. 如图，在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(0,3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为______．


16. 若a，b都是实数，b= 1−2a+ 2a−1+3，则ab的值为______ ．
17. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线EF过O点，若AB=2，BC=4，∠ABC=60°，则图中阴影部分的面积是          ．

18. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB=4，BC=2，则点D到点O的最大距离是______．


三、解答题（本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算：3 48−9 13− 3(2− 27)．
20. (本小题8.0分)
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．

(1)在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、 5、 13；
(2)如图2，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
21. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G．
(1)若∠EFG=32°，求∠FEG的度数；
(2)求证：AF=DE．

22. (本小题10.0分)
如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C处将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西23°．
(1)求甲巡逻艇的航行方向；
(2)成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？

23. (本小题10.0分)
如图1，在△DBF中，DB=DF，DC⊥BF于点C，点E是BD的中点，连接CE并延长，使AE=CE，连接AD、AB．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)如图2，点H为DF的中点，连接CH，若AB=4，BC=2，求四边形ECHD的面积．

24. (本小题8.0分)
先阅读，再解答.由( 5+ 3)( 5− 3)=( 5)2−( 3)2=2可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：1 3+ 2= 3− 2( 3+ 2)( 3− 2)= 3− 2，请完成下列问题：
(1) 2−1的有理化因式是______ ；
(2)化去式子分母中的根号：23 2= ______ ，33− 6= ______ ；
(3)比较 2023− 2022与 2022− 2021的大小，并说明理由．
25. (本小题12.0分)
四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
(1)如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
(2)若AB=2，CE= 2，求CG的长度；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】
解：由题意得，5x−1≥0，
解得，x≥15，
故选：B．  
2.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】
解：A．35，45，1，不都是整数，不是勾股数，故本选项不符合题意．
B.32+42≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意．
C.52+122=132，是勾股数，故本选项符合题意．
D.0.9，1.2，1.5，都不是整数，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选C．  
3.【答案】C 
【解析】解：A.根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
B.根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C.不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
D.平行四边形ABCD中，AB//CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠BAD=∠ADC，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．
故选：C．
本题考查的是矩形的判定，平行四边形的性质有关知识，利用矩形的判定，平行四边形的性质对选项进行逐一判断即可解答．
本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质；熟练掌握矩形的判定是解题的关键．

4.【答案】B 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，∠A+∠B=180°，
又∵∠B−∠A=40°，
∴∠B=110°，∠A=70°，
∴∠C=∠A=70°．
故选：B．
根据平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
本题考查平行四边形的性质，解题关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角之和为180°．

5.【答案】C 
【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，
根据勾股定理得：x2+62=(10−x)2．
解得：x=165，
∴折断处离地面的高度为165尺，
故选：C．
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．

6.【答案】C 
【解析】解：由x −1x可知x<0，
所以x −1x=− x2×(−1x)=− −x，
故选：C．
由x −1x得出x<0，再利用二次根式的性质来化简求解．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是求出x<0．

7.【答案】D 
【解析】解：如图，由题意可设，AD=10，AC=12，AO=12AC=6，
在Rt△AOD中，OD= AD2−OA2= 102−62=8，
则BD=2×8=16，
故菱形的面积为12×12×16=96，
故选：D．

根据菱形的对角线互相垂直平分，可得菱形两条对角线的一半与边长在同一个直角三角形中，根据勾股定理可得另一条对角线的一半的长度，根据菱形的面积为对角线乘积的一半，可得答案．
本题考查菱形的性质、菱形的面积计算、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

8.【答案】A 
【解析】解：A、 2与 3不是同类二次根式，不能合并，所以A选项的计算错误；
B、 2⋅ 3= 2×3= 6，所以B选项的计算正确；
C、 6÷ 2= 6÷2= 3，所以C选项的计算正确；
D、(− 2)2=2，所以D选项的计算正确．
故选：A．
根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．

9.【答案】B 
【解析】解：第1个数据：0= 3×0，
第2个数据： 3= 3×1，
第3个数据： 6= 3×2，
...
则第50个数据： 3×49=7 3，
故选：B．
根据题干中的数据总结规律即可．
本题考查探索规律问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，
∴AC=8，
∵BG⊥AD，AD平分∠BAC，
∴AB=AF=6，BG=FG，
∴CF=2，
∵AE是△ABC的中线，
∴BE=CE，
∴EG=12CF=1，
故选：B．
根据勾股定理得到AC=8，根据等腰三角形的性质得到AB=AF=6，BG=FG，求得CF=2，根据三角形的中位线定理即可得到结论．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

11.【答案】2 
【解析】解：由题意可知：50n≥0，
∴n≥0，
∵ 50n=5 2n是整数，
故 2n是整数，
∴n的最小值为2，
故答案为：2
根据二次根式的性质即可求出n的值．
本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．

12.【答案】x≥12 
【解析】解：∵ (1−2x)2=2x−1，
∴|1−2x|=2x−1，
∴1−2x≤0，
∴x≥12．
故答案为：x≥12．
根据题意可以推出， (1−2x)2=|1−2x|，由|1−2x|=2x−1，可知1−2x≤0，故x≥12．
本题主要考查二次根式的性质、非负数的绝对值，关键在于根据相关性质，推出1−2x≤0．

13.【答案】2或5 
【解析】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图1，连接AC，
在Rt△ABC中，AB=6，BC=AD=8，
∴AC= AB2+BC2= 62+82=10，
∵△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=6，
∴CB′=AC−AB′=10−6=4，
设CE=x，则BE=B′E=8−x，
在Rt△CEB′中，
∵B′E2+CB′2=CE2，
∴(8−x)2+42=x2，
解得x=5，
∴CE=5；
②当点B′落在AD边上时，如图2，
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=6，
∴CE=BC−BE=8−6=2．
综上所述，CE的长为2或5．
故答案为：2或5．
当点B′落在矩形内部时，连接AC，先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=6，可计算出CB′=4，设CE=x，则EB′=8−x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x；当点B′落在AD边上时，根据此时四边形ABEB′为正方形解答．
本题考查的是折叠变换的性质，掌握折叠变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．

14.【答案】a2+c2=b2 
【解析】解：∵a2+c2=b2时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
∴当a、b、c满足a2+c2=b2时，∠B=90°．
故答案为：a2+c2=b2．
根据勾股定理的逆定理可得到满足的条件，可得到答案．
本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握当两边平方和等于第三边的平方时第三边所对的角为直角是解题的关键．

15.【答案】(−1,0) 
【解析】解：∵点A，B的坐标分别为(4,0)，(0,3)，
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= 32+42=5，
∴AC=AB=5，
∴OC=5−4=1，
∴点C的坐标为(−1,0)，
故答案为：(−1,0)，
求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．
本题考查了勾股定理，解此题的关键是求出OC的长，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．

16.【答案】18 
【解析】解：∵b= 1−2a+ 2a−1+3要有意义，
∴1−2a≥02a−1≥0，
∴a=12，
∴b= 1−2×12+ 2×12−1+3=3，
∴ab=(12)3=18．
故答案为：18．
先根据二次根式有意义的条件求出a的值，进而求出b的值，最后代值计算即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．

17.【答案】 3 
【解析】解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
∴S△AEO=S△CFO，
∴阴影部分面积等于12△BCD的面积，即为▱ABCD面积的14，
过点C作CP⊥AD于点P，

∵CD=AB=2，∠ADC=60°，
∴DP=1，CP= 3，
∴S平行四边形ABCD=BC⋅CP=4 3，
∴阴影部分面积为 3，
故答案为： 3．
由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出结果．
本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质是解题关键．

18.【答案】2 2+2 
【解析】解：取AB中点E，连接OE、DE、OD，

∵∠MON=90°，
∴OE=12AB=2．
在Rt△DAE中，利用勾股定理可得DE=2 2．
在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE>OD，
∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE=2 2+2．
故答案为：2 2+2．
取AB中点E，连接OE、DE、OD，求出OE和DE值，利用三角形三边关系分析出当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE．
本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理以及三角形三边关系，解决动态问题的最值问题一般转化为两点间线段最短或三角形三边关系问题．

19.【答案】解：3 48−9 13− 3(2− 27)
=12 3−3 3−2 3+9
=7 3+9． 
【解析】先化简，再合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

20.【答案】解：(1)取格点D，E，F，连接DE，DF，EF，如图，

△DEF即为所求；
(2)连接AC，如图：

由勾股定理得：AC2=12+32=10，BC2=12+32=10，AB2=22+42=20，
∴AC2+BC2=AB2，AC=BC，
∴∠ACB=90°，∠BAC=∠ABC，
∴∠ABC=45°． 
【解析】(1)根据勾股定理，按要求取格点D，E，F，作出符合条件的三角形即可；
(2)连接AC，由勾股定理得：AC2=12+32=10，BC2=12+32=10，AB2=22+42=20，即可知△ABC是等腰直角三角形，故∠ABC=45°．
本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是掌握勾股定理及逆定理的应用．

21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠GBC+∠GCB=12(∠ABC+∠BCD)=12×180°=90°，
∴∠EGF=90°，
又∵∠EFG=32°，
∴∠FEG=90°−32°=58°；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理可得：DF=CD，
∴AE=DF，即AF+EF=DE+EF，
∴AF=DE． 
【解析】(1)根据平行四边形的性质以及角平分线的定义，即可得到∠EGF=90°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠FEG的度数；
(2)根据平行四边形的性质可得：AB=CD，AD//BC，根据平行线性质和角平分线的定义求出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理求出DF=CD，即可证明AE=DF．
本题考查了平行四边形性质，等腰三角形的判定等知识的运用，能综合运用平行四边形的性质进行推理是解此题的关键．

22.【答案】解：(1)由题意得：∠CBA=90°−23°=67°，
AC=120×660=12(海里)，BC=50×660=5(海里)，
∵AB=13(海里)，
∵AC  2+BC  2=AB  2，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠CBA=67°，
∴∠CAB=23°，
∴甲的航向为北偏东67°；
(2)甲巡逻船航行3分钟的路程为：120×360=6(海里)，
乙巡逻船航行3分钟的路程为：50×360=2.5(海里)，
3分钟后，甲乙两巡逻船相距为： 62+2．52=6.5(海里)． 
【解析】(1)先用路程等于速度乘以时间计算出AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解；
(2)分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离．
此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：∵点E是BD的中点，
∴BE=DE，
∵AE=CE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DC⊥BF，
∴∠DCB=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
(2)解：由(1)得，AB=CD=4
∵DB=DF，DC⊥BF，
∴BC=CF=2
∵点E是BD的中点，点H为DF的中点，
∴S△EDC=12S△DBC=12×12×2×4=2，S△HDC=12S△DFC=12×12×2×4=2，
四边形ECHD的面积等于S△EDC+S△HDC=4． 
【解析】(1)根据对角线互相平分证明四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行证明即可；
(2)根据中点的性质得出四边形ECHD的面积等于两个三角形的面积和，求出三角形面积即可．
本题考查了矩形的判定与性质，解题关键是熟练运用矩形的判定定理进行推理证明，利用矩形和中点的性质求出面积．

24.【答案】 2+1  23  3+ 6 
【解析】解：(1)∵( 2−1)( 2+1)=( 2)2−12=2−1=1，
∴ 2−1的有理化因式是 2+1；
故答案为： 2+1；
(2)23 2=2 23 2× 2= 23，33− 6=3(3+ 6)(3− 6)(3+ 6)=3(3+ 6)9−6=3+ 6；
故答案为： 23，3+ 6；
(3) 2023− 2022< 2022− 2021，
理由如下： 2023− 2022=( 2023− 2022)( 2023+ 2022) 2023+ 2022=1 2023+ 2022，
2022− 2021=( 2022− 2021)( 2022+ 2021) 2022+ 2021=1 2022+ 2021，
∵ 2023+ 2022> 2022+ 2021，
∴1 2023+ 2022<1 2022+ 2021，
所以 2023− 2022< 2022− 2021．
(1)根据有理化因式的定义解答；(2)第一个式子分子和分母都乘以 2，第二个式子分子和分母都乘以3+ 6，计算得出答案；
(3)第一个式子乘以 2023+ 2022 2023+ 2022，第二个式子乘以 2022+ 2021 2022+ 2021，再比较得出答案．
本题主要考查了有理化因式，理解定义是解题的关键．

25.【答案】(1)证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，如图1，

∵∠DCA=∠BCA，
∴EQ=EP，
∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，
∴∠QEF=∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
{∠QEF=∠PEDEQ=EP∠EQF=∠EPD,
∴Rt△EQF≌Rt△EPD(ASA)，
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形；
(2)解：如图2，

在Rt△ABC中．AC= 2AB=2 2，
∵EC= 2，
∴AE=CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，CD=2，
由勾股定理，得：CG= 2；
(3)解：①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE=30°，
则∠CDE=90°−30°=60°，
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC=360°−90°−90°−60°=120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE=30°，如图3所示：

∵∠HCF=∠DEF=90°，∠CHF=∠EHD，
∴∠EFC=∠CDE=30°，
综上所述，∠EFC=120°或30°． 
【解析】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
(1)作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED，根据正方形的判定定理证明即可；
(2)通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题；
(3)分两种情形考虑问题即可．