2022-2023学年山东省济宁市鱼台县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省济宁市鱼台县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省济宁市鱼台县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使二次根式 x−3有意义，则x的取值范围是(    )
A. x>0 B. x>3 C. x≥3 D. x≤3
2. 下列式子中，属于最简二次根式的是(    )
A. 9 B. 7 C. 20 D. 13
3. 下列各组数中，能够作为直角三角形的三边长的一组是(    )
A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 3，4，5
4. 化简 (−4)2的结果是(    )
A. 4 B. −4 C. ±4 D. 16
5. 下列计算正确的是(    )
A. 4 3− 3=3 B. 2+ 3= 5 C. 8÷ 2=2 D. 2 12=1
6. 如图，已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=(    )
A. 144°
B. 72°
C. 36°
D. 18°
7. 如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的底部在水平方向上向右滑动了8米，那么梯子的顶端下滑米．(    )
A. 4米
B. 6米
C. 8米
D. 10米
8. 如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，若正方形ABCD周长为8，则EF+EG等于(    )
A. 16
B. 8
C. 4
D. 2


9. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD=20°，则∠DHO的度数是(    )


A. 40° B. 30° C. 25° D. 20°
10. 如图，AB=AC，则数轴上点C所表示的数为(    )


A. 5+1 B. 5-1 C. - 5+1 D. - 5-1
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 平面直角坐标系中，点P(−4,2)到坐标原点的距离是______．
12. 已知 x−2+ 2−x=0，则x= ______ ．
13. 已知菱形的两条对角线的长分别是10cm和24cm，那么菱形的每条边长是______ ．
14. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF= ______ cm．


15. 如图，矩形ABCD中，BC=12，AB=10，R在CD边上，且CR=5，P为BC上一动点，E、F分别是AP、RP的中点，当P从B向C移动时，线段EF的长度为______ ．


三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
16. 已知x=2+ 3，y=2− 3，求下列各式的值：
(1)x2−y2；
(2)x2+y2−3xy．
四、解答题（本大题共8小题，共49.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：
(1) 3( 6− 3)+( 2+1)2；
(2)( 50− 8)÷ 2；
(3) 18−4 12+ 24÷ 3．
18. (本小题6.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F. 求证：

(1)AE=CF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
19. (本小题6.0分)
某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要250元，问学校需要投入多少资金买草皮？


20. (本小题6.0分)
“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米C处，过了2秒后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，
(1)求BC的长；
(2)这辆小汽车超速了吗？
21. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，且AB=2AE，求∠EDC的度数．

22. (本小题6.0分)
如图，在4×3正方形网格中，每个小正方形的边长都是1

(1)分别求出线段AB、CD的长度；
(2)在图中画线段EF、使得EF的长为 5，以AB、CD、EF三条线段能否构成直角三角形，并说明理由．
23. (本小题6.0分)
如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BC=3，DF=4，求CE的长．

24. (本小题7.0分)
如图，在菱形ABCD中∠ABC=60°，E为对角线AC上一点，F是BC延长线上一点，连接BE，DE，AF，DF，∠EDF=60°．
(1)求证：AE=CF；
(2)若点G为BE的中点，连接AG，求证：AF=2AG．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：由题意得：x−3≥0，
解得：x≥3
故答案为：C．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

2.【答案】B 
【解析】解：A、 9=3，不是最简二次根式，故A错误；
B、 7是最简二次根式，故B正确；
C、 20=2 5，不是最简二次根式，故C错误；
D、 13= 33，不是最简二次根式，故D错误；
故选：B．
本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

3.【答案】D 
【解析】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、32+42=52，能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
欲判断是否是直角三角形的三边长，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，解答此题要掌握勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．

4.【答案】A 
【解析】解： (−4)2=4，
故选：A．
根据二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，是一道基础题，比较简单．

5.【答案】C 
【解析】解：A.4 3− 3=3 3，所以A选项不符合题意；
B. 2与 3不能合并，所以B选项不符合题意；
C. 8÷ 2= 8÷2=2，所以C选项符合题意；
D.2 12= 2，所以D选项不符合题意．
故选：C．
根据二次根式的减法运算对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．

6.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，∠A=∠C，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=4∠A，
∴∠C=∠A=15×180°=36°．
故选：C．
由在▱ABCD中，可得∠A+∠B=180°，又由∠B=4∠A，即可求得∠A的度数，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补．

7.【答案】A 
【解析】解：如图标上字母．
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=25米，OB=7米，
∴OA= AB2−OB2=24(米)．
在Rt△COD中，∠COD=90°，CD=25米，OD=7+8=15(米)，
∴OC= CD2−OD2=20(米)，
∴AC=OA−OC=4(米)．
故选：A．
标上字母，在Rt△AOB和Rt△COD中，利用勾股定理求出OA、OC的长度，做差后即可得出结论．
本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出OA、OC的长度是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：∵E是正方形ABCD对角线AC上一点，
∴∠BAC=∠ACB=45°，∠B=90°
∵EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂足，
∴∠B=∠EFB=∠EGB=90°，
∴四边形EFBG是矩形，
∴EG=BF，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=AF，
∵正方形ABCD周长为8，
∴AB=14×8=2，
∴EF+EG=AF+BF=AB=2，
故选：D．
只要证明EF=AF，EG=BF即可解决问题．
本题主要考查正方形的性质、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于基础题，中考常考题型．

9.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，AB/​/CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB=90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH=OD=OB，
∴∠BDH=∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠BDH+∠BDC=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC+∠DCO=90°，
∴∠BDH=∠DCO，
∴∠DHO=∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA=DC，
∴∠CAD=∠DCA=20°，
∴∠DHO=20°．
故选：D．
先根据菱形的性质得OD=OB，AB/​/CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB=90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH=OD=OB，利用等腰三角形的性质得∠DBH=∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数．
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

10.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，实数与数轴，是基础题，熟记定理并求出AB的长是解题的关键．根据勾股定理列式求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答．
【解答】
解：由勾股定理得，AB= 22+12= 5，
∴AC= 5，
∵点A表示的数是−1，
∴点C表示的数是 5−1．
故选B．

  
11.【答案】2 5 
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，本题属于基础题型．
【解答】
解：由点P(−4,2)和勾股定理得： (−4)2+22=2 5
故答案为：2 5  
12.【答案】2 
【解析】解：∵ x−2+ 2−x=0，
∴x−2≥0且2−x≥0，
解得：x=2，
故答案为：2．
直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．

13.【答案】13cm 
【解析】解：如图，

∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，AC⊥BD，
∵AC=10cm，BD=24cm，
∴OA=5cm，OB=12cm，
∴AB= OA2+OB2= 52+122=13(cm)．
∴菱形的边长为13cm．
故答案为：13cm．
因为菱形的对角线互相平分且垂直，所以△AOB是直角三角形，且OA=5cm，OB=12cm，易得AB=13cm．
本题考查了菱形的性质与勾股定理．掌握菱形的对角线互相垂直且互相平分是解答本题的关键．

14.【答案】3 
【解析】解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
又∵AB/​/CD，
∴∠ABE=∠BFC，
∴∠CBE=∠BFC，
∴BC=CF，
∴DF=CF−CD=BC−AB=7−4=3．
故答案为：3．
由BF平分∠ABC得到∠ABE=∠CBE，又由平行四边形两组对边分别平行可以推出∠ABE=∠BFC，然后可以得到BC=CF，从而求出DF．
此题主要利用利用平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形两组对边分别平行．

15.【答案】6.5 
【解析】解：如图，连接AR，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵BC=12，AB=10，CR=5，
∴AD=12，DR=5，
∴AR= 122+52=13，
∵E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF为△PAR的中位线，
∴EF=12AR=12×13=6.5，
故答案为：6.5．
根据矩形的性质，利用勾股定理即可求出AR得长度，在根据三角形中位线的性质即可求得答案．
本题考查了矩形的性质、中位线的性质及勾股定理，检验学生对矩形性质和中位线性质的理解及对勾股定理的掌握情况．

16.【答案】解：由已知可得：x+y=4，x−y=2 3，xy=1
(1)x2−y2
=(x+y)(x−y)
=4×2 3
=8 3；
(2)x2+y2−3xy
=x2−2xy+y2−xy
=(x−y)2−xy
=(2 3)2−1
=12−1
=11． 
【解析】先计算x、y两个数的和、差、积；
(1)利用平方差公式进行因式分解，然后代入求值；
(2)变形为完全平方公式与积的差(或和)的形式，整体代入求值．
本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的变形、平方差公式等知识点．题目难度不大，注意整体代入思想的运用．

17.【答案】解：(1)原式=3 2−3+3+2 2
=5 2；
(2)原式=5 2÷ 2−2 2÷ 2
=5−2
=3；
(3)原式=3 2−2 2+2 6÷ 3
=3 2−2 2+2 2
=3 2． 
【解析】(1)先进行乘法以及完全平方运算，然后合并同类项即可；
(2)先根据二次根式的性质进行化简计算括号里的，然后进行除法运算即可；
(3)先根据二次根式的性质化简，计算除法，然后合并同类项即可．
本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算．解题的关键在于熟练掌握二次根式的性质进行化简并正确计算．

18.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD/​/BC，AD=BC．
∴∠ADE=∠CBF．
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°．
∵在△ADE与△CBF中
∠AED=∠CFB∠ADE=∠CBFAD=CB，
∴△ADE≌△CBF(AAS)，
∴AE=CF．

(2)∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEF=∠CFE=90°．
∴AE//CF．
又∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形． 
【解析】(1)欲证明AE=CF，只要证明△ADE≌△CBF(AAS)即可；
(2)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明；
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

19.【答案】解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，
在△CBD中，CD2=132，BC2=122，
而122+52=132，
即BC2+BD2=CD2，
∴∠DBC=90°，
S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=12⋅AD⋅AB+12DB⋅BC，
=12×4×3+12×12×5=36．
所以需费用36×250=9000(元)，
答：学校需要投入9000元资金买草皮？． 
【解析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．
本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．

20.【答案】解：(1)在直角△ABC中，已知AC=30米，AB=50米，
且AB为斜边，则BC= AB2−AC2=40米．
答：小汽车在2秒内行驶的距离BC为40米；

(2)小汽车在2秒内行驶了40米，所以平均速度为20米/秒，
20米/秒=72千米/时，
因为72>70，
所以这辆小汽车超速了．
答：这辆小汽车的平均速度大于70千米/时，故这辆小汽车超速了． 
【解析】(1)在直角三角形ABC中，已知AB，AC根据勾股定理即可求出小汽车2秒内行驶的距离BC；
(2)根据小汽车在两秒内行驶的距离BC可以求出小汽车的平均速度，求得数值与70千米/时比较，即可计算小汽车是否超速．
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，难度适中．题中正确的运用勾股定理计算BC的长度是解题的关键．

21.【答案】解：∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠BEC=90°，
∵AB=2AE，
∴∠ABE=30°，
∴∠BAE=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴DE=DC，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=60°． 
【解析】由垂直的定义得到∠AEB=∠BEC=90°，根据直角三角形的性质得到∠ABE=30°，求得∠BAE=60°，推出△ABC是等边三角形，得到∠C=60°，根据直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

22.【答案】解：(1)AB= 32+22= 13；CD= 22+22=2 2；
(2)如图，EF= 22+12= 5，

∵CD2+EF2=8+5=13，AB2=13，
∴CD2+EF2=AB2，
∴以AB、CD、EF三条线段可以组成直角三角形． 
【解析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，充分利用网格是解题的关键．
(1)利用勾股定理求出AB、CD的长即可；
(2)根据勾股定理的逆定理，即可作出判断．

23.【答案】解：由矩形和折叠性质可得BC=FC=AD=3，∠DFC=∠EFC=∠B=90°，
在Rt△DCF中，DC= CF2+DF2= 32+42=5，
∴AB=CD=5，
设BE=EF=x，则AE=5−x，DE=4+x，
在Rt△ADE中，AE2+AD2=DE2，
∴(5−x)2+32=(4+x)2，
解得：x=1，
∴BE=1，
在Rt△CBE中，CE= BE2+BC2= 12+32= 10． 
【解析】依据折叠的性质以及勾股定理，即可得到CD的长，进而得出AB的长，设BE=EF=x，则DE=4+x，AE=5−x，再根据勾股定理即可得到方程，通过解方程即可得到BE的长，最后利用勾股定理即可求得CE的长．
本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决本题的关键．

24.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=BC=AD=CD，∠ADC=∠ABC=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AD=AC=AB=BC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠ACB=∠ACD=60°，
∴∠ACF=120°，
∵∠ADC=∠EDF=60°，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠EDF+∠ECF+∠DEC+∠DFC=360°，
∴∠DEC+∠DFC=180°，
∵∠DEC+∠AED=180°，
∴∠AED=∠DFC，
在△ADE和△CDF中，
∠ADE=∠CDF∠AED=∠CFDAD=CD
∴△ADE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF；
(2)如图，过点B作BH/​/AC，交AG的延长线于点H，

∵BH/​/AC，
∴∠H=∠GAE，∠ABH+∠BAC=180°，
∴∠ABH=120°=∠ACF，
∵点G为BE的中点，
∴BG=GE，
在△AGE和△HGB中，
∠H=∠GAE∠BGH=∠AGEBG=GE，
∴△AGE≌△HGB(AAS)，
∴AE=BH=CF，AG=GH=12AH，
在△ABH和△ACF中，
AB=AC∠ABH=∠ACFBH=CF，
∴△ABH≌△ACF(SAS)，
∴AF=AH，
∴AF=2AG． 
【解析】(1)由“AAS”可证△ADE≌△CDF，可得AE=CF；
(2)过点B作BH/​/AC，交AG的延长线于点H，由“AAS”可证△AGE≌△HGB，可得AE=BH=CF，AG=GH=12AH，由“SAS”可证△ABH≌△ACF，可得AF=AH=2AG．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．