2021届江西省奉新县第一中学高三上学期第二次（10月）月考数学（理）试题（解析版）

这是一份2021届江西省奉新县第一中学高三上学期第二次（10月）月考数学（理）试题（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021届江西省奉新县第一中学高三上学期第二次（10月）月考数学（理）试题


一、单选题
1．已知命题：R，；命题 ：R，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据，可知命题的真假，然后对取值，可得命题 的真假，最后根据真值表，可得结果.
【详解】
对命题：
可知，
所以R，
故命题为假命题
命题 ：
取，可知
所以R，
故命题为真命题
所以为真命题
故选：B
【点睛】
本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题.
2．已知集合A＝{y|y}，B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}，则∁R（A∩B）＝（ ）
A．[0，） B．（﹣∞，0）∪[，+∞）
C．（0，） D．（﹣∞，0]∪[，+∞）
【答案】D
【解析】求函数的值域得集合，求定义域得集合，根据交集和补集的定义写出运算结果.
【详解】
集合A＝{y|y}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）；
B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}＝{x|x﹣2x2＞0}＝{x|0＜x}＝（0，），
∴A∩B＝（0，），
∴∁R（A∩B）＝（﹣∞，0]∪[，+∞）.
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目.
3．已知复数，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解出复数为纯虚数a的取值范围，即可得解.
【详解】
复数为纯虚数，则，且，解得，所以“”
是“为纯虚数”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于准确求出复数为纯虚数a的取值范围.
4．设的内角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据正弦定理求解即可得到所求结果．
【详解】
由正弦定理得，
∴．
又，
∴为锐角，
∴．
故选B．
【点睛】
在已知两边和其中一边的对角解三角形时，需要进行解的个数的讨论，解题时要结合三角形中的边角关系，即“大边（角）对大角（边）”进行求解，属于基础题．
5．已知向量，，若与的夹角为，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分析：先解，再利用整体替换．
详解：由题意可知：,，，则．故选D．
点睛： 向量中的三个基本量，，的计算，往往通过整体替换的方式来处理．
6．在△ABC中，BC=7，AC=6，.若动点P满足，()，则点P的轨迹与直线BC，AC所围成的封闭区域的面积为（ ）
A．5 B．10 C． D．
【答案】A
【解析】在△ABC中，设，根据动点P满足，化简为，得到点P的轨迹是直线BD，然后由求解.
【详解】
在△ABC中，设，
因为动点P满足，()，
所以，
所以 共线，
所以点P的轨迹是直线BD，
因为BC=7，AC=6，.
所以 ，
所以，
所以
所以点P的轨迹与直线BC，AC所围成的封闭区域的面积为5.
故选：A
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算的几何意义，三角形面积公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
7．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直接利用分段函数的解析式，求解函数值即可．
【详解】
因为 ，
所以




．
故选：．
【点睛】
本题考查分段函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力．
8．函数（其中，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法不正确的是（ ）

A．函数为奇函数 B．函数的最大值为
C．函数的最小正周期为 D．函数在上单调递增
【答案】D
【解析】根据图象得到函数的最大值与周期，从而确定与，再将点代入，从而得到的解析式，再利用的图象变换规律，得到的解析式，再利用正弦函数的性质，即可得解.
【详解】
由图可知，，
∴，，
将点代入，
得,
∴()，
故，
向左平移个单位长度得,，
，函数为奇函数，故A正确；
的最大值为，故B正确；
的最小正周期为，故C正确；
在上单调递增，在上单调递减，故D错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数的部分图象求解析式以及图象变换规律，考查了正弦函数的性质，属于中档题.
9．定义在上的奇函数满足，则不正确的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数是周期函数且对于任意成立
D．当时，，则函数在区间上单调递减(其中为自然对数的底数)
【答案】C
【解析】由函数是奇函数，可判断A；由，可得函数的图象关于直线对称，可判断B；因为，可判断C；当时，，由函数的奇偶性、单调性和周期性可判断D.
【详解】
解：定义在上的函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故A正确；
因为函数满足，函数的图象关于直线对称，故B正确；
因为，
，
所以函数的周期为4，故C不正确；
当时，，且在上单调递增，
因为函数是奇函数，所以函数在上单调递增，
又函数关于直线对称，所以函数在上单调递减，所以，
又函数的周期为4，所以，
所以函数在区间上单调递减，故D正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查抽象函数的基本性质的应用，涉及函数的奇偶性、单调性、周期性以及对称性，属于中档题.
10．已知函数，若存在实数，使得，且在上有最小值，没有最大值，则在上的零点个数最少为（ ）
A．1344 B．1345 C．1346 D．1347
【答案】B
【解析】由题与在上有最小值,没有最大值,根据三角函数的性质分析可得,再结合三角函数的性质可知当时在上的零点个数再计算即可.
【详解】
由,且在上有最小值,没有最大值,
不妨令,,
两式相减得,所以的最小正周期,,
当时,即时,在上的零点个数最少为.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了三角函数性质的综合运用,需要数形结合根据函数的性质求解对应的周期与相位等.属于中档题.
11．已知数列的首项，数列为等比数列，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，且，得出，同理得出，结合数列是等比数列，利用等比数列的性质，即可求解.
【详解】
解：由，且，
则，得；
则，得；
则，得；；
得，所以，
又为等比数列，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列的项的求法，涉及等比数列的性质，考查转化思想以及计算能力．
12．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，设，利用导数求得在上单调递减，且为偶函数，再把不等式，转化为，结合单调性，即可求解.
【详解】
由题意，设，则，
当时，因为，则有，
所以在上单调递减，
又因为在上是偶函数，可得，
所以是偶函数，
由，可得，即，即
又由为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，
解得或，
即不等式的解集为，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中构造新函数，求得函数的奇偶性和利用题设条件和导数求得新函数的单调性，结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.


二、填空题
13．已知复数（i为虚数单位），复数z满足，则______.
【答案】
【解析】把已知等式变形，再把代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，最后由复数模的计算公式求解.
【详解】
解：由，得，
∵，∴，
则.
故答案为：.
【点睛】
此题考查复数的运算和复数的模，属于基础题
14．设等比数列的前6项和，且为的等差中项，则__________.
【答案】8
【解析】由为的等差中项可得，由可得，再根据可得结果.
【详解】
因为为的等差中项，
所以，即，
又，所以，
设等比数列的公比为，则，
所以，
故答案为：8
【点睛】
本题考查了等差中项的性质，考查了等比数列的前项和，考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础题.
15．已知等腰直角三角形中，，顺次为线段的九等分点，则的最大值为______．
【答案】
【解析】先建立平面直角坐标系，求出点的坐标，将用坐标表示出来，再求出最大值.
【详解】
如图建立平面直角坐标系

等腰直角三角形中，，
，
，
，
，

，
或时最大，
此时.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了数量积的运算，只要想到方法便可迎刃而解，属于中档题.

三、双空题
16．已知函数，则方程的实根的个数为_______；若函数有三个零点，则的取值范围是_________.
【答案】3
【解析】用导数求出在的时单调性，极值，确定函数的变化趋势，得出函数的单调区间，作出函数图象，方程的的解的个数转化为的图象与直线的交点个数，由此分析可得．
【详解】
由得，时，，递增，时，，递减，时，取得极大值，
时，，
所以的增区间是，减区间是，，且时，，时，，
作出函数的图象，如图，作直线，由图可知：直线与函数的图象，在时无交点，或时有一个交点，或时有两个交点，时，有三个交点．

因为，
所以直线与的图象有三个交点，方程有三个实根，
易知有两个解，，
由得，由得，
当时，函数至多有两个零点，不合题意
时，函数有三个零点，
，函数有两个零点，不合题意，
时，有一个解，由题意要有两解，所以或，所以或，
综上，函数有三个零点，则取值范围是．

【点睛】
本题考查方程解的个数，函数零点个数问题，解题方法是数形结合思想，问题转化为直线与函数图象交点个数，作出函数图象与直线，由它们交点个数得出结论．

四、解答题
17．已知数列中，且，
（1）求；
（2）求数列的前项和的最大值.
【答案】（1）；（2）28.
【解析】（1）由已知可知，结合等差数列的定义得出数列是以13为首项，以为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可求；
（2）由（1）可知，数列单调递减，且，，结合等差数列的性质，即可求数列的前项和的最大值.
【详解】
解：（1）由，可知，，
数列是以13为首项，以为公差的等差数列，
，
（2）由（1）可知，数列单调递减，且，，
当时，的前项和取得最大值.
【点睛】
本题考查等差数列的定义，通项公式及求和公式的应用，考查根据数列的单调性求等差数列的和的最值，属于基础题.
18．的内角的对边分别为，若
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先根据降幂公式、两角和余弦公式化简即得，再求得结果；
（2）对模平方，结合向量数量积定义得，再根据余弦定理得，最后联立方程组解出，即得结果.
【详解】
由题


解得，
所以
由余弦定理，，
再由
解得：
所以
故的周长为
【点睛】
本题考查降幂公式、两角和余弦公式、余弦定理、向量数量积，考查综合分析求解能力，属中档题.
19．设数列的前项和为，，.若数列为等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若对都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知求得，，根据已知求得数列的通项公式，借助与的关系即可得出通项公式；
（2）利用裂项相消求得，进而得出，，结合题意对都有成立，即可得出结果.
【详解】
解：（1）由，，
得，，，，
∵数列为等差数列，则首项为-3，公差为1，
则，
∴，
当时，，
当时，也成立，
∴.
（2）∵，
∴，
∴，
∴当时，，即；
当时，，即；
∴，，
∵，都有成立，
∴.
【点睛】
本题考查根据数列中与的关系求通项公式，考查利用裂项相消法求和以及不等式在证明中的应用，考查计算能力，属于中档题.
20．如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km，C、D两点在半圆弧上满足，设，现要在景区内铺设一条观光通道，由和组成.

（1）用表示观光通道的长，并求观光通道的最大值；
（2）现要在农庄内种植经济作物，其中在中种植鲜花，在中种植果树，在扇形内种植草坪，已知种植鲜花和种植果树的利润均为百万元/km2，种植草坪利润为百万元/km2，则当为何值时总利润最大？
【答案】（1）5km；（2）.
【解析】（1）根据直径的长度和角度计算出的长度，写出的函数解析式，注意定义域，判断取何值的时候有最大值并计算出最大值；
（2）将三个三角形的面积计算出来并求利润和的表示，利用导数去计算函数的最值，确定取等号时的取值.
【详解】
（1）作，垂足为，在直角三角形中，，
则有，
同理作，垂足为，，
即：，
从而有：
当时，取最大值5，即观光通道长的最大值为5km.


（2）依题意，，则总利润，
，
因为，所以当时，单调递增，当时，单调递减，
从而当时，总利润取得最大值，最大值为百万元.
【点睛】
本题考查三角函数在实际问题中的应用，属于中档题.
（1）求解实际问题中的函数解析式时，要注意不要漏写定义域；
（2）求解三角函数的有关最值，要注意也可通过导数的方法来先确定单调性然后再确定最值.
21．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若时，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】(1)求导可得,再分与两种情况分析函数的极值点与单调性即可.
(2)根据(1)中的结论,分,与三种情况分别分析的最小值,并求解对应的的取值范围即可.
【详解】
（1）因为,
所以,
①当时,,
所以时,时,
故在上是增函数,在上是减函数.
②当,由得或,
当,即时,,在上是增函数.
当时，,在,上是增函数,在上是减函数.
当时,,在,上是增函数,在上是减函数.
综上可得,时在上是增函数,在上是减函数；
时，在上是增函数；
当时，在,上是增函数,在上是减函数；
时在,上是增函数,在上是减函数.
（2）由（1）知,时,
所以当时不恒成立；
当时在上是增函数,
由得,即,解得,所以；
当时在上是减函数,在上是增函数,
所以时,
由得,
所以,,
综上可得,,即的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了利用导数解决含参函数的单调性问题,同时也考查了根据函数的最值与范围求解参数范围的问题,需要根据题意分情况求函数的最值,再解不等式分析.属于难题.
22．已知函数，，其中，为自然对数的底数.
（1）求函数的最小值；
（2）若对于任意的，都存在唯一的，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，最小值为，当时，最小值为，当时，最小值为；（2）
【解析】（1）求出导函数，对a进行分类讨论求得函数的单调区间，即可求得最小值；
（2）求出，的值域，结合（1）的单调性和值域讨论不等关系即可得解.
【详解】
（1）由题：，
，
当时，恒成立，
所以函数在单调递增，最小值为，
当时，恒成立，
所以函数在单调递减，最小值为，
当时，由得，由得，
在递减，在递增，
所以函数的最小值为
综上所述：当时，最小值为，当时，最小值为，当时，最小值为；
（2）函数，，当且仅当x=0时，导数值为0，
所以在单调递增，值域为，
结合（1）可得：
当时，函数在单调递增，
，，只需，解得：，
当时，函数在单调递减，，不合题意，舍去，
当时，在递减，在递增，
，，
所以只需，解得
综上所述
【点睛】
此题考查利用导函数研究函数的单调性求解函数的最值，涉及分类讨论思想，等价转化思想，关键在于根据单调性分析函数的值域.