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    高考数学一轮复习教案 第2章_第12节_导数与函数的极值、最值(含答案解析)

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    这是一份高考数学一轮复习教案 第2章_第12节_导数与函数的极值、最值(含答案解析),共11页。

    第十二节 导数与函数的极值、最值
    [考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).

    1.函数的极值与导数的关系
    (1)函数的极小值与极小值点
    若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.
    (2)函数的极大值与极大值点
    若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.
    2.函数的最值与导数的关系
    (1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件
    如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
    (2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤
    ①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;
    ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

    对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.
    [基础自测]
    1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)函数的极大值一定比极小值大. (  )
    (2)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0为极值点的充要条件. (  )
    (3)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值. (  )
    (4)x=0是函数f(x)=x3的极值点. (  )
    [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
    2.(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值点的个数为(  )

    A.1    B.2    C.3    D.4
    A [导函数f′(x)的图象与x轴的交点中,左侧图象在x轴下方,右侧图象在x轴上方的只有一个,所以f(x)在区间(a,b)内有一个极小值点.]
    3.设函数f(x)=+ln x,则(  )
    A.x=为f(x)的极大值点
    B.x=为f(x)的极小值点
    C.x=2为f(x)的极大值点
    D.x=2为f(x)的极小值点
    D [函数f(x)的定义域为(0,+∞),
    f′(x)=-=,
    令f′(x)=0得x=2,
    又0<x<2时,f′(x)<0,
    x>2时,f′(x)>0.
    因此x=2为f(x)的极小值点,故选D.]
    4.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=(  )
    A.-4 B.-2 C.4 D.2
    D [由题意得f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0得x=±2,∴当x<-2或x>2时,f′(x)>0;当-2 ∴f(x)在x=2处取得极小值,
    ∴a=2.]
    5.函数y=2x3-2x2在区间[-1,2]上的最大值是________.
    8 [y′=6x2-4x,令y′=0,
    得x=0或x=.
    ∵f(-1)=-4,f(0)=0,f=-,
    f(2)=8,∴最大值为8.]


    利用导数解决函数的极值问题
    ►考法1 根据导函数图象判断函数的极值
    【例1】 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(  )

    A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
    B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
    C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
    D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
    D [由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-2<x<1时,f′(x)<0;当1<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.] 
    ►考法2 根据函数的解析式求极值
    【例2】 已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
    (1)当a=时,求f(x)的极值;
    (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
    [解] (1)当a=时,f(x)=ln x-x,函数的定义域为(0,+∞)且f′(x)=-=,
    令f′(x)=0,得x=2,
    于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表.
    x
    (0,2)
    2
    (2,+∞)
    f′(x)

    0

    f(x)

    ln 2-1

    故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值=f(2)=ln 2-1,无极小值.
    (2)由(1)知,函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a=(x>0),
    当a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
    即函数在(0,+∞)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点;
    当a>0时,当x∈时,f′(x)>0,
    当x∈时,f′(x)<0,
    故函数在x=处有极大值.
    综上所述,当a≤0时,函数在定义域上无极值点,
    当a>0时,函数有一个极大值点.
    ►考法3 已知函数的极值求参数
    【例3】 (1)(2019·成都模拟)若函数f(x)=(x2+ax+3)ex在(0,+∞)上有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是(  )
    A.(-∞,-2]      B.(-∞,-2)
    C.(-∞,-3] D.(-∞,-3)
    (2)若函数f(x)=x(x-a)2在x=2处取得极小值,则a=________.
    (1)C (2)2 [(1)f′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+3)ex=[x2+(a+2)x+a+3]ex.
    令g(x)=x2+(a+2)x+a+3,
    由题意知或
    即或解得a≤-3,故选C.
    (2)f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,
    ∴f′(x)=3x2-4ax+a2.
    由f′(2)=12-8a+a2=0,解得a=2或a=6.
    当a=2时,f′(x)=3x2-8x+4=(x-2)(3x-2),函数在x=2处取得极小值,符合题意;当a=6时,f′(x)=3x2-24x+36=3(x-2)(x-6),函数在x=2处取得极大值,不符合题意,∴a=2.]
    [规律方法] 利用导数研究函数极值的一般流程

    设函数f(x)=ax3-2x2+x+c(a≥0).
    (1)当a=1,且函数图象过点(0,1)时,求f(x)的极小值.
    (2)若f(x)在(-∞,+∞)上无极值点,求a的取值范围.
    [解] f′(x)=3ax2-4x+1.
    (1)函数图象过点(0,1)时,有f(0)=c=1.
    当a=1时,f′(x)=3x2-4x+1,令f′(x)>0,解得x<或x>1;令f′(x)<0,解得<x<1.
    所以函数f(x)在和(1,+∞)上单调递增;
    在 上单调递减,极小值是f(1)=13-2×12+1+1=1.
    (2)若f(x)在(-∞,+∞)上无极值点,则f(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立.
    ①当a=0时,f′(x)=-4x+1,显然不满足条件;
    ②当a≠0时,f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ=(-4)2-4×3a×1≤0,即16-12a≤0,解得a≥.
    综上,a的取值范围为.


    利用导数求函数的最值
    【例4】 (2019·郑州模拟)已知函数f(x)=(x-k)ex.
    (1)求f(x)的单调区间;
    (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
    [解] (1)由f(x)=(x-k)ex,得f′(x)=(x-k+1)ex,
    令f′(x)=0,得x=k-1.
    f(x)与f′(x)的变化情况如下:
    x
    (-∞,k-1)
    k-1
    (k-1,+∞)
    f′(x)

    0

    f(x)

    -ek-1

    所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞).
    (2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,
    所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k,
    当0<k-1<1,即1<k<2时,
    由(1)知f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,
    所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1.
    当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,
    所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.
    综上可知,当k≤1时,f(x)min=-k;
    当1<k<2时,f(x)min=-ek-1;
    当k≥2时,f(x)min=(1-k)e.
    [规律方法] 求函数f(x)在[a,b]上的最大值、最小值的步骤:
    (1)求函数在(a,b)内的极值;
    (2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b);
    (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值.
    已知函数f(x)=+kln x,k<,求函数f(x)在上的最大值和最小值.
    [解] 因为f(x)=+kln x,
    所以f′(x)=+=.
    (1)若k=0,则f′(x)=-在上恒有f′(x)<0,所以f(x)在上单调递减.
    所以f(x)min=f(e)=,
    f(x)max=f=e-1.
    (2)若k≠0,f′(x)==.
    ①若k<0,则在上恒有<0,
    所以f(x)在上单调递减,
    所以f(x)min=f(e)=+kln e=+k-1,
    f(x)max=f=e-k-1.
    ②若k>0,由k<,
    得>e,则x-<0,
    所以<0,
    所以f(x)在上单调递减.
    所以f(x)min=f(e)=+kln e=+k-1,
    f(x)max=f=e-k-1.
    综上,k<时,f(x)min=+k-1,
    f(x)max=e-k-1.

    函数极值与最值的综合问题
    【例5】 已知函数f(x)=(a>0)的导函数y=f′(x)的两个零点为-3和0.
    (1)求f(x)的单调区间;
    (2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值.
    [解] (1)f′(x)=
    =,
    令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,
    因为ex>0,所以y=f′(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,
    且f′(x)与g(x)符号相同.
    又因为a>0,所以当-3<x<0时,g(x)>0,即f′(x)>0,当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f′(x)<0,
    所以f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞).
    (2)由(1)知,x=-3是f(x)的极小值点,所以有
    解得a=1,b=5,c=5,
    所以f(x)=.
    因为f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞),
    所以f(0)=5为函数f(x)的极大值,
    故f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值取f(-5)和f(0)中的最大者,
    而f(-5)==5e5>5=f(0),
    所以函数f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是5e5.
    [规律方法] 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时,方法是不同的.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值
    若函数f(x)=x3+x2-在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是________.
    [-3,0) [由题意,得f′(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函数,在(-2,0)上是减函数,作出其图象如图所示,

    令x3+x2-=-得,
    x=0或x=-3,则结合图象可知,
    解得a∈[-3,0).]


    1.(2017·全国卷Ⅱ)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为(  )
    A.-1         B.-2e-3
    C.5e-3 D.1
    A [函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1,
    则f′(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)·ex-1
    =ex-1·[x2+(a+2)x+a-1].
    由x=-2是函数f(x)的极值点得
    f′(-2)=e-3·(4-2a-4+a-1)=(-a-1)·e-3=0,
    所以a=-1.
    所以f(x)=(x2-x-1)ex-1,f′(x)=ex-1·(x2+x-2).
    由ex-1>0恒成立,得x=-2或x=1时,f′(x)=0,且x<-2时,f′(x)>0;
    -2 x>1时,f′(x)>0.
    所以x=1是函数f(x)的极小值点.
    所以函数f(x)的极小值为f(1)=-1.
    故选A.]
    2.(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).
    (1)讨论f(x)的单调性;
    (2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
    [解] (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a.
    若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
    若a>0,则当x∈时,f′(x)>0;
    当x∈时,f′(x)<0.
    所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.
    (2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;
    当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为
    f=ln+a=-ln a+a-1.
    因此f>2a-2等价于ln a+a-1<0.
    令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.
    于是,当01时,g(a)>0.
    因此,a的取值范围是(0,1).
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