高考数学一轮复习教案 第2章_第12节_导数与函数的极值、最值(含答案解析)
展开第十二节 导数与函数的极值、最值
[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).
1.函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.
2.函数的最值与导数的关系
(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件
如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.
[基础自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数的极大值一定比极小值大. ( )
(2)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0为极值点的充要条件. ( )
(3)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值. ( )
(4)x=0是函数f(x)=x3的极值点. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
A [导函数f′(x)的图象与x轴的交点中,左侧图象在x轴下方,右侧图象在x轴上方的只有一个,所以f(x)在区间(a,b)内有一个极小值点.]
3.设函数f(x)=+ln x,则( )
A.x=为f(x)的极大值点
B.x=为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点
D [函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=-=,
令f′(x)=0得x=2,
又0<x<2时,f′(x)<0,
x>2时,f′(x)>0.
因此x=2为f(x)的极小值点,故选D.]
4.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=( )
A.-4 B.-2 C.4 D.2
D [由题意得f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0得x=±2,∴当x<-2或x>2时,f′(x)>0;当-2
∴a=2.]
5.函数y=2x3-2x2在区间[-1,2]上的最大值是________.
8 [y′=6x2-4x,令y′=0,
得x=0或x=.
∵f(-1)=-4,f(0)=0,f=-,
f(2)=8,∴最大值为8.]
利用导数解决函数的极值问题
►考法1 根据导函数图象判断函数的极值
【例1】 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
D [由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-2<x<1时,f′(x)<0;当1<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.]
►考法2 根据函数的解析式求极值
【例2】 已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)当a=时,求f(x)的极值;
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
[解] (1)当a=时,f(x)=ln x-x,函数的定义域为(0,+∞)且f′(x)=-=,
令f′(x)=0,得x=2,
于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表.
x
(0,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
↗
ln 2-1
↘
故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值=f(2)=ln 2-1,无极小值.
(2)由(1)知,函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a=(x>0),
当a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
即函数在(0,+∞)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点;
当a>0时,当x∈时,f′(x)>0,
当x∈时,f′(x)<0,
故函数在x=处有极大值.
综上所述,当a≤0时,函数在定义域上无极值点,
当a>0时,函数有一个极大值点.
►考法3 已知函数的极值求参数
【例3】 (1)(2019·成都模拟)若函数f(x)=(x2+ax+3)ex在(0,+∞)上有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.(-∞,-2)
C.(-∞,-3] D.(-∞,-3)
(2)若函数f(x)=x(x-a)2在x=2处取得极小值,则a=________.
(1)C (2)2 [(1)f′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+3)ex=[x2+(a+2)x+a+3]ex.
令g(x)=x2+(a+2)x+a+3,
由题意知或
即或解得a≤-3,故选C.
(2)f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,
∴f′(x)=3x2-4ax+a2.
由f′(2)=12-8a+a2=0,解得a=2或a=6.
当a=2时,f′(x)=3x2-8x+4=(x-2)(3x-2),函数在x=2处取得极小值,符合题意;当a=6时,f′(x)=3x2-24x+36=3(x-2)(x-6),函数在x=2处取得极大值,不符合题意,∴a=2.]
[规律方法] 利用导数研究函数极值的一般流程
设函数f(x)=ax3-2x2+x+c(a≥0).
(1)当a=1,且函数图象过点(0,1)时,求f(x)的极小值.
(2)若f(x)在(-∞,+∞)上无极值点,求a的取值范围.
[解] f′(x)=3ax2-4x+1.
(1)函数图象过点(0,1)时,有f(0)=c=1.
当a=1时,f′(x)=3x2-4x+1,令f′(x)>0,解得x<或x>1;令f′(x)<0,解得<x<1.
所以函数f(x)在和(1,+∞)上单调递增;
在 上单调递减,极小值是f(1)=13-2×12+1+1=1.
(2)若f(x)在(-∞,+∞)上无极值点,则f(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立.
①当a=0时,f′(x)=-4x+1,显然不满足条件;
②当a≠0时,f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ=(-4)2-4×3a×1≤0,即16-12a≤0,解得a≥.
综上,a的取值范围为.
利用导数求函数的最值
【例4】 (2019·郑州模拟)已知函数f(x)=(x-k)ex.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
[解] (1)由f(x)=(x-k)ex,得f′(x)=(x-k+1)ex,
令f′(x)=0,得x=k-1.
f(x)与f′(x)的变化情况如下:
x
(-∞,k-1)
k-1
(k-1,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
-ek-1
↗
所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞).
(2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k,
当0<k-1<1,即1<k<2时,
由(1)知f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1.
当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.
综上可知,当k≤1时,f(x)min=-k;
当1<k<2时,f(x)min=-ek-1;
当k≥2时,f(x)min=(1-k)e.
[规律方法] 求函数f(x)在[a,b]上的最大值、最小值的步骤:
(1)求函数在(a,b)内的极值;
(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b);
(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值.
已知函数f(x)=+kln x,k<,求函数f(x)在上的最大值和最小值.
[解] 因为f(x)=+kln x,
所以f′(x)=+=.
(1)若k=0,则f′(x)=-在上恒有f′(x)<0,所以f(x)在上单调递减.
所以f(x)min=f(e)=,
f(x)max=f=e-1.
(2)若k≠0,f′(x)==.
①若k<0,则在上恒有<0,
所以f(x)在上单调递减,
所以f(x)min=f(e)=+kln e=+k-1,
f(x)max=f=e-k-1.
②若k>0,由k<,
得>e,则x-<0,
所以<0,
所以f(x)在上单调递减.
所以f(x)min=f(e)=+kln e=+k-1,
f(x)max=f=e-k-1.
综上,k<时,f(x)min=+k-1,
f(x)max=e-k-1.
函数极值与最值的综合问题
【例5】 已知函数f(x)=(a>0)的导函数y=f′(x)的两个零点为-3和0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值.
[解] (1)f′(x)=
=,
令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,
因为ex>0,所以y=f′(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,
且f′(x)与g(x)符号相同.
又因为a>0,所以当-3<x<0时,g(x)>0,即f′(x)>0,当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f′(x)<0,
所以f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞).
(2)由(1)知,x=-3是f(x)的极小值点,所以有
解得a=1,b=5,c=5,
所以f(x)=.
因为f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞),
所以f(0)=5为函数f(x)的极大值,
故f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值取f(-5)和f(0)中的最大者,
而f(-5)==5e5>5=f(0),
所以函数f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是5e5.
[规律方法] 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时,方法是不同的.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值
若函数f(x)=x3+x2-在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是________.
[-3,0) [由题意,得f′(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函数,在(-2,0)上是减函数,作出其图象如图所示,
令x3+x2-=-得,
x=0或x=-3,则结合图象可知,
解得a∈[-3,0).]
1.(2017·全国卷Ⅱ)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( )
A.-1 B.-2e-3
C.5e-3 D.1
A [函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1,
则f′(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)·ex-1
=ex-1·[x2+(a+2)x+a-1].
由x=-2是函数f(x)的极值点得
f′(-2)=e-3·(4-2a-4+a-1)=(-a-1)·e-3=0,
所以a=-1.
所以f(x)=(x2-x-1)ex-1,f′(x)=ex-1·(x2+x-2).
由ex-1>0恒成立,得x=-2或x=1时,f′(x)=0,且x<-2时,f′(x)>0;
-2
所以x=1是函数f(x)的极小值点.
所以函数f(x)的极小值为f(1)=-1.
故选A.]
2.(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
[解] (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a.
若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈时,f′(x)>0;
当x∈时,f′(x)<0.
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;
当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为
f=ln+a=-ln a+a-1.
因此f>2a-2等价于ln a+a-1<0.
令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.
于是,当01时,g(a)>0.
因此,a的取值范围是(0,1).
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