高考数学一轮复习教案 第3章_第4节_函数y＝asin(ωx＋φ)的图象（含答案解析）

第四节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

[考纲传真]　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

1．函数y＝Asin (ωx＋φ)中各量的物理意义

2.五点法作图

3.三角函数图象变换的两种方法(ω＞0)

先平移后伸缩　　　　　　　　先伸缩后平移

⇓　　　　　　　　　　　　⇓

1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换中，应向左平移个单位长度，而非φ个单位长度．

2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位长度得到的．  (　　)

(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．  (　　)

(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.               (　　)

(4)把y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx.                            (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×

2．(教材改编)y＝2sin，x∈[0，＋∞)的振幅、频率和初相分别为(　　)

A．2，，－　　　　 B．2，，－

C．2，，－   D．2，，－

A　[振幅为2，频率为＝，初相为－，故选A.]

3．为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　　)

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度

A　[y＝2sin＝2sin，故选A.]

4．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)

A　[当x＝－时，y＝sin＝－sin＝sin＝＞0，排除B、D.

当x＝时，y＝sin＝sin 0＝0，故排除C，故选A.]

5．用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.

；；；；　[令x－分别等于0，，π，，2π可得x的值分别为，，，，，则需确定的五个点为，，，，.]

【例1】　(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

D　[因为y＝sin＝cos＝cos，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos，故选D.]

(2)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的最小正周期为π.

①求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象；

②函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？

[解]　①由题意知f(x)＝sin，因为T＝π，所以＝π，即ω＝2，

故f(x)＝sin.

列表如下：

y＝f(x)在[0，π]上的图象如图所示．

②将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数f(x)＝sin(x∈R)的图象．

(1)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标都缩小为原来的，纵坐标保持不变，再把图象向右平移个单位长度，则所得图象的解析式为(　　)

A．y＝sin　　　　　 B．y＝sin

C．y＝sin   D．y＝sin

(2)(2019·宝鸡模拟)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝cos的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

(1)A　(2)A　[(1)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图象，再把y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin，即y＝sin的图象，故选A.

(2)y＝cos＝sin＝sin，故要得到函数y＝sin的图象，只需要平移－＝个单位长度，又＞0，所以应向左平移，故选A.]

【例2】　(1)(2019·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D．1

(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，x∈R，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________.

(1)C　(2)2sin＋1　[(1)由题图知，＝，即T＝π，则ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，因为点在函数f(x)的图象上，所以sin＝0，即＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin，因为x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，所以＝，所以x1＋x2＝，所以f(x1＋x2)＝sin＝.

(2)由题图可知，函数的最大值为A＋B＝3，最小值为－A＋B＝－1，解得A＝2，B＝1.函数的最小正周期为T＝2×＝π，

由＝π，解得ω＝2.

由f＝2sin＋1＝－1，

得sin＝－1，故φ－＝2kπ－(k∈Z)，

解得φ＝2kπ－(k∈Z)，

又因为|φ|＜π，所以φ＝－.

所以f(x)＝2sin＋1.]

(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象如图所示，f＝－，则f＝(　　)

A．－   B．－

C.   D.

(2)(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)

A．ω＝，φ＝   B．ω＝，φ＝－

C．ω＝，φ＝－   D．ω＝，φ＝

(1)A　(2)A　[(1)由题图知＝－＝，

所以T＝，即ω＝3，

当x＝时，y＝0，

即3×＋φ＝2kπ－，k∈Z，

所以φ＝2kπ－，k∈Z，

即k＝1时，φ＝－，

所以f(x)＝Acos.

即Acos＝－，得A＝，

所以f(x)＝cos，

故f＝cos＝－.

(2)∵f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，

∴f(x)的最小正周期为4＝3π，

∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.

∴2sin＝2，

得φ＝2kπ＋，k∈Z.

又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.

故选A.]

【例3】　某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．

(1)求实验室这一天的最大温差；

(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？

[解]　(1)因为f(t)＝10－2

＝10－2sin，

又0≤t＜24，

所以≤t＋＜，－1≤sin≤1.

当t＝2时，sin＝1；

当t＝14时，sin＝－1.

于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.

故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.

(2)依题意，当f(t)＞11时实验室需要降温．

由(1)得f(t)＝10－2sin，

故有10－2sin＞11，

即sin＜－.

又0≤t＜24，因此＜t＋＜，即10＜t＜18.

故在10时至18时实验室需要降温．

(1)(2019·黄山模拟)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)

A．5　　　　B．6　　　　C．8　　　　D．10

(2)据市场调查，某种商品一年内每年出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为________元．

(1)C　(2)6 000　[(1)根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.

(2)作出函数简图如图：

三角函数模型为：y＝Asin(ωx＋φ)＋B，

由题意知：A＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，

∴ω＝＝.

将点(3,9 000)代入y＝2000sin＋7000得

cos φ＝1，

∴φ＝2kπ，k∈Z，又|φ|＜，则φ＝0.

故f(x)＝2 000sinx＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．

∴f(7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000.

故7月份的出厂价格为6 000元．]

1．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)

A．y＝2sin

B．y＝2sin

C．y＝2sin

D．y＝2sin

D　[函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin2x－＋＝2sin，故选D.]

2．(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)

A．y＝2sin

B．y＝2sin

C．y＝2sin

D．y＝2sin

A　[由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.故选A.]

3．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

D　[由图象知，周期T＝2＝2，

∴＝2，∴ω＝π.

由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，

∴f(x)＝cos.

由2kπ<πx＋<2kπ＋π，得2k－<x<2k＋，k∈Z，

∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.故选D.]

4．(2016·全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象至少向右平移________个单位长度得到．

　[∵y＝sin x－cos x＝2sin，∴函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象向右平移个单位长度得到．]