高考数学一轮复习教案 第5章_第1节_数列的概念与简单表示法（含答案解析）

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1．数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．
4．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
5．数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
6．an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，
则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1n＝1，,Sn－Sn－1n≥2.))
eq \([常用结论])
1．数列{an}是递增数列⇔an＋1＞an恒成立．
2．数列{an}是递减数列⇔an＋1＜an恒成立．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．( )
(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( )
(3)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
(4)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝eq \f(1,2an－1)，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．(教材改编)数列－1，eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，－eq \f(1,5)，…的一个通项公式为( )
A．an＝±eq \f(1,n) B．an＝(－1)n·eq \f(1,n)
C．an＝(－1)n＋1eq \f(1,n) D．an＝eq \f(1,n)
B [由a1＝－1，代入检验可知选B.]
3．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )
A．15 B．16 C．49 D．64
A [当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]
4．把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．
则第6个三角形数是( )
A．27 B．28 C．29 D．30
B [由题图可知，第6个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]
5．(教材改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋eq \f(－1n,an－1)(n≥2)，则a5＝( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(5,3) C.eq \f(8,5) D.eq \f(2,3)
D [a2＝1＋eq \f(1,a1)＝2，a3＝1＋eq \f(－1,a2)＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，a4＝1＋eq \f(1,a3)＝1＋2＝3，a5＝1＋eq \f(－1,a4)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).]
1．数列0，eq \f(2,3)，eq \f(4,5)，eq \f(6,7)，…的一个通项公式为( )
A．an＝eq \f(n－1,n＋1)(n∈N*)
B．an＝eq \f(n－1,2n＋1)(n∈N*)
C．an＝eq \f(2n－1,2n－1)(n∈N*)
D．an＝eq \f(2n,2n＋1)(n∈N*)
C [注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．]
2．数列{an}的前4项是eq \f(3,2)，1，eq \f(7,10)，eq \f(9,17)，则这个数列的一个通项公式是an＝__________.
eq \f(2n＋1,n2＋1) [数列{an}的前4项可变形为eq \f(2×1＋1,12＋1)，eq \f(2×2＋1,22＋1)，eq \f(2×3＋1,32＋1)，eq \f(2×4＋1,42＋1)，故an＝eq \f(2n＋1,n2＋1).]
3．写出下面各数列的一个通项公式：
(1)3,5,7,9，…；
(2)eq \f(1,2)，－eq \f(3,4)，eq \f(7,8)，－eq \f(15,16)，eq \f(31,32)，…；
(3)3,33,333,3 333，…；
(4)－1,1，－2,2，－3,3….
[解] (1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.
(2)数列中各项的符号可通过(－1)n＋1表示．每一项绝对值的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，
所以an＝(－1)n＋1eq \f(2n－1,2n).
(3)将数列各项改写为eq \f(9,3)，eq \f(99,3)，eq \f(999,3)，eq \f(9 999,3)，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，
所以an＝eq \f(1,3)(10n－1)．
(4)数列的奇数项为－1，－2，－3，…可用－eq \f(n＋1,2)表示，
数列的偶数项为1,2,3，…可用eq \f(n,2)表示．
因此an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(n＋1,2)n为奇数，,\f(n,2)n为偶数.))
[规律方法] 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
1常用方法：观察观察规律、比较比较已知数列、归纳、转化转化为特殊数列、联想联想常见的数列等方法.
2具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用－1k或－1k＋1，k∈N*处理.
【例1】 (1)若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(2,3)an＋eq \f(1,3)，则{an}的通项公式an＝________.
(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,6n－5，n≥2)) (2)(－2)n－1 [(1)当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．
故数列的通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,6n－5，n≥2.))
(2)由Sn＝eq \f(2,3)an＋eq \f(1,3)，得当n≥2时，Sn－1＝eq \f(2,3)an－1＋eq \f(1,3)，
两式相减，得an＝eq \f(2,3)an－eq \f(2,3)an－1，
∴当n≥2时，an＝－2an－1，即eq \f(an,an－1)＝－2.
又n＝1时，S1＝a1＝eq \f(2,3)a1＋eq \f(1,3)，a1＝1，
∴an＝(－2)n－1.]
[规律方法] 1.已知Sn求an的三个步骤,1先利用a1＝S1求出a1；
2用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1n≥2便可求出当n≥2时an的表达式；
3注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.
2.Sn与an关系问题的求解思路,根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.
1利用an＝Sn－Sn－1n≥2转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
2利用Sn－Sn－1＝ann≥2转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则数列的通项公式an＝________.
(2)在数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.
(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，n＝1，,2·3n－1，n≥2)) (2)－2n－1 [(1)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1.
显然当n＝1时，不满足上式．
∴an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，n＝1，,2·3n－1，n≥2.))
(2)依题意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，两式相减得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以数列{an}是以a1＝－1为首项、2为公比的等比数列，an＝－2n－1.]
►考法1 形如an＋1＝an＋f(n)，求an
【例2】 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
[解] (1)∵an＋1－an＝3n＋2，
∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝eq \f(n3n＋1,2)(n≥2)．
当n＝1时，a1＝eq \f(1,2)×(3×1＋1)＝2符合公式，
∴an＝eq \f(3,2)n2＋eq \f(n,2).
►考法2 形如an＋1＝anf(n)，求an
【例3】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，求数列{an}的通项公式．
[解] ∵an＋1＝2nan，∴eq \f(an＋1,an)＝2n，∴eq \f(an,an－1)＝2n－1(n≥2)，
∴an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a2,a1)·a1
＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)
＝2eq \f(nn－1,2).
又a1＝1适合上式，故an＝.
►考法3 形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an.
【例4】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．
[解] ∵an＋1＝3an＋2，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
又a1＝1，∴a1＋1＝2，
故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1.
[规律方法] 由递推关系式求通项公式的常用方法
1已知a1且an－an－1＝fn，可用“累加法”求an，即an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a3－a2＋a2－a1＋a1.
2已知a1且＝fn，可用“累乘法”求an，即an＝·…··a1.
3已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝qan＋k其中k可由待定系数法确定，可转化为等比数列{an＋k}.
4形如an＋1＝A，B，C为常数的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
根据下列条件，求数列{an}的通项公式．
(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n；
(2)a1＝eq \f(1,2)，an＝eq \f(n－1,n＋1)an－1(n≥2)；
(3)a1＝1，an＋1＝2an＋3；
(4)a1＝1，an＋1＝eq \f(2an,an＋2).
[解] (1)由题意知an＋1－an＝2n，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1.
(2)因为an＝eq \f(n－1,n＋1)an－1(n≥2)，
所以当n≥2时，eq \f(an,an－1)＝eq \f(n－1,n＋1)，
所以eq \f(an,an－1)＝eq \f(n－1,n＋1)，eq \f(an－1,an－2)＝eq \f(n－2,n)，…，eq \f(a3,a2)＝eq \f(2,4)，eq \f(a2,a1)＝eq \f(1,3)，
以上n－1个式子相乘得eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a3,a2)·eq \f(a2,a1)＝eq \f(n－1,n＋1)·eq \f(n－2,n)·…·eq \f(2,4)·eq \f(1,3)，
即eq \f(an,a1)＝eq \f(1,n＋1)×eq \f(1,n)×2×1，所以an＝eq \f(1,nn＋1).
当n＝1时，a1＝eq \f(1,1×2)＝eq \f(1,2)，与已知a1＝eq \f(1,2)相符，
所以数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1,nn＋1).
(3)由an＋1＝2an＋3得an＋1＋3＝2(an＋3)．
又a1＝1，∴a1＋3＝4.
故数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，
∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.
(4)因为an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，a1＝1，所以an≠0，
所以eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,2)，即eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,2).
又a1＝1，则eq \f(1,a1)＝1，所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是以1为首项，eq \f(1,2)为公差的等差数列．
所以eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋(n－1)×eq \f(1,2)＝eq \f(n,2)＋eq \f(1,2).所以an＝eq \f(2,n＋1)(n∈N*).
1．(2014·全国卷Ⅱ)数列{an}满足an＋1＝eq \f(1,1－an)，a8＝2，则a1＝________.
eq \f(1,2) [∵an＋1＝eq \f(1,1－an)，
∴an＋1＝eq \f(1,1－an)＝eq \f(1,1－\f(1,1－an－1))＝eq \f(1－an－1,1－an－1－1)
＝eq \f(1－an－1,－an－1)＝1－eq \f(1,an－1)
＝1－eq \f(1,\f(1,1－an－2))＝1－(1－an－2)＝an－2，
∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.
∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.
而a2＝eq \f(1,1－a1)，∴a1＝eq \f(1,2).]
2．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
－eq \f(1,n) [∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
∵Sn≠0，∴eq \f(1,Sn)－eq \f(1,Sn＋1)＝1，即eq \f(1,Sn＋1)－eq \f(1,Sn)＝－1.
又eq \f(1,S1)＝－1，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))是首项为－1，公差为－1的等差数列．
∴eq \f(1,Sn)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－eq \f(1,n).]
3．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，aeq \\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
[解] (1)由题意可得a2＝eq \f(1,2)，a3＝eq \f(1,4).
(2)由aeq \\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,2).
故{an}是首项为1，公比为eq \f(1,2)的等比数列，因此an＝eq \f(1,2n－1).分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
单调性
递增数列
an＋1>an
an＋1其中n∈N*
递减数列
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
由数列的前几项归纳数列的通项公式
由an与Sn的关系求通项公式
由数列的递推关系求通项公式