高考数学一轮复习教案 第8章_第1节_直线的倾斜角与斜率、直线方程（含答案解析）

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1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
3．直线方程的五种形式
eq \([常用结论])
牢记倾斜角α与斜率k的关系
(1)当α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))且由0增大到eq \f(π,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)))时，k的值由0增大到＋∞.
(2)当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由eq \f(π,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)))增大到π(α≠π)时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( )
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )
(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )
(4)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( )
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
2．(教材改编)若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
A [由题意得eq \f(m－4,－2－m)＝1，解得m＝1.]
3．直线eq \r(3)x－y＋a＝0的倾斜角为( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
B [设直线的倾斜角为α，则tan α＝eq \r(3)，∵0°≤α＜180°，∴α＝60°.]
4．(教材改编)经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )
A．x＋y＝2 B．x＋y＝1
C．x＝1或y＝1 D．x＋y＝2或x＝y
D [若直线过原点，则直线为y＝x，符合题意，若直线不过原点，设直线为eq \f(x,m)＋eq \f(y,m)＝1，代入点(1,1)，解得m＝2，直线方程整理得x＋y－2＝0，故选D.]
5．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－eq \f(C,A)>0，在y轴上的截距－eq \f(C,B)>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．]
1．(2019·石家庄模拟)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
B [由直线方程可得该直线的斜率为－eq \f(1,a2＋1)，又－1≤－eq \f(1,a2＋1)＜0，所以倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).]
2．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为__________．
4 [因为kAC＝eq \f(5－3,6－4)＝1，kAB＝eq \f(a－3,5－4)＝a－3.
由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.]
3．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________．
(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞) [如图，∵kAP＝eq \f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq \f(\r(3)－0,0－1)＝－eq \r(3)，∴k∈(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)．]
[规律方法] 直线倾斜角的范围是[0，π，根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.
易错警示：由直线的斜率k求倾斜角α的范围时，要对应正切函数的图象来确定，要注意图象的不连续性.
【例1】 根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为eq \f(\r(10),10)；
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.
[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sin α＝eq \f(\r(10),10)(0≤α＜π)，
从而cs α＝±eq \f(3\r(10),10)，则k＝tan α＝±eq \f(1,3).
故所求直线方程为y＝±eq \f(1,3)(x＋4)．
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)由题设知横截距与纵截距都不为0，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,12－a)＝1，
又直线过点(－3,4)，从而eq \f(－3,a)＋eq \f(4,12－a)＝1，解得a＝－4或a＝9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
[规律方法] 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.
一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．
x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0 [设所求直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1.
∵A(－2,2)在直线上，∴－eq \f(2,a)＋eq \f(2,b)＝1.①
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴eq \f(1,2)|a|·|b|＝1.②
由①②可得(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＝1，,ab＝2，))或(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＝－1，,ab＝－2.))
由(1)解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，))方程组(2)无解．
故所求的直线方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,1)＝1或eq \f(x,－1)＋eq \f(y,－2)＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．]
【例2】 过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
[解] 设直线l：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)，
因为直线l经过点P(4,1)，所以eq \f(4,a)＋eq \f(1,b)＝1.
(1)eq \f(4,a)＋eq \f(1,b)＝1≥2eq \r(\f(4,a)·\f(1,b))＝eq \f(4,\r(ab))，
所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，
所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，
此时直线l的方程为eq \f(x,8)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋4y－8＝0.
(2)因为eq \f(4,a)＋eq \f(1,b)＝1，a＞0，b＞0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a)＋\f(1,b)))＝5＋eq \f(a,b)＋eq \f(4b,a)≥5＋2eq \r(\f(a,b)·\f(4b,a))＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为eq \f(x,6)＋eq \f(y,3)＝1，
即x＋2y－6＝0.
[规律方法] 与直线方程有关的最值问题的解题思路
1借助直线方程，用y表示x或用x表示y；
2将问题转化成关于x或y的函数；
3利用函数的单调性或基本不等式求最值.
已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．
[解] 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，
所以四边形的面积S＝eq \f(1,2)×2×(2－a)＋eq \f(1,2)×2×(a2＋2)
＝a2－a＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(15,4)，
当a＝eq \f(1,2)时，四边形的面积最小，
故实数a的值为eq \f(1,2).名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面内所有直线都适用
直线的倾斜角和斜率
直线的方程
直线方程的综合应用