2023年河北省石家庄二十八中中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年河北省石家庄二十八中中考数学一模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年河北省石家庄二十八中中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若m2⋅m？=m8，则？是(    )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2. 如图，将△ABC折叠，使点C落在BC边上C′处，展开后得到折痕l，则l是△ABC的(    )


A. 高 B. 中线 C. 中位线 D. 角平分线
3. 下列式子的计算结果与−312×57的结果相等的是(    )
A. −3×12×57 B. (−3+12)×57 C. (−3−12)×57 D. −3×57+12
4. 下列计算正确的是(    )
A. 10÷ 2= 5 B. 5− 3= 2
C. 149=123 D. 4=±2
5. 如图，五边形ABCDE中，AB/​/CD，∠1、∠2、∠3是外角，则∠1+∠2+∠3等于(    )
A. 100°
B. 180°
C. 210°
D. 270°
6. 如表所示的是琳琳作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，琳琳查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为(    )
已知：60=a×10n，求a−n的值．

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
7. 依据所标数据，下列一定为矩形的是(    )
A. B.
C. D.
8. 如图是正方体的组合体，若将1号小正方体重新放一个位置，移动前后的俯视图保持不变，则移动的位置有(    )
A. 2处
B. 3处
C. 4处
D. 5处
9. 如果m2−m=4，那么代数式m(m+2)+(m−2)2的值为(    )
A. −8 B. −12 C. 12 D. 8
10. 如图，边长为2 3cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB=12cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为cm．(    )

A. 7.5 B. 15π C. 15 D. 7.5π
11. 观察下列尺规作图的痕迹，不能判断△ABC是等腰三角形的是(    )
A. B.
C. D.
12. 某商城推出免利息分期付款购买电脑的活动，在活动期间王先生要购买一款标价为6999元的电脑，前期付款1999元，后期每个月付相同的金额，设后期每个月付款金额为y(千元)，付款月数x(x为正整数)，选取5组数对(x,y)，在坐标系中进行描点，则正确的是(    )
A. B.
C. D.
13. 某工程队在合作路改造一条长3000米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道x米，则可得方程3000x−20−15=3000x，根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为(    )
A. 实际每天比原计划多铺设20米，结果延迟15天完成
B. 实际每天比原计划多铺设20米，结果提前15天完成
C. 实际每天比原计划少铺设20米，结果提前15天完成
D. 实际每天比原计划少铺设20米，结果延迟15天完成
14. 如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光.同时闭合两个开关小灯泡发光的概率是(    )


A. 12 B. 13 C. 16 D. 112
15. 平行四边形的对角线分别为a和b，一边长为12，则a和b的值可能是下面各组的数据中的(    )
A. 8和7 B. 9和15 C. 13和14 D. 10和38
16. 如图，动点P在线段AB上(不与点A，B重合)，AB=1.分别以AB，AP，BP为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y，线段AP的长为x.当点P从点A移动到点B时，y随x的变化而变化，则阴影面积的最大值是(    )
A. π2 B. π4 C. π8 D. π16
二、填空题（本大题共3小题，共10.0分）
17. 在甲、乙两位同学的10次数学模拟竞赛成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为S甲2=1.82，S乙2=0.56，则应选拔______ 同学参加数学竞赛.(填“甲”、“乙”中的一个)
18. 如图，已知△ABC的面积为18，点M和点N分别为AB边和BC边上的中点，分别连接AN、CM相交于点P．
(1)PN：PA= ______ ；
(2)△APC的面积为______ ．


19. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，点O为线段BC上一点.以点O为圆心作扇形DOF，∠DOF=45°.当扇形DOF绕点O旋转时，线段DO与AB交于点P，线段FO与直线CA交于点Q．
(1)当点O为BC中点时，
①若FO⊥BC于点O，则BP= ______ ；
②若BP=12，则CQ= ______ ；
(2)若点O为BC的三等分点，且BP=23，则P，Q两点间的距离为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题8.0分)
已知P=A⋅B−C，
(1)若A=(−2)0，B=(−13)−1，C= (−5)2，求P的值．
以下是佳佳同学的计算过程：P=(−2)0×(−13)−1− (−5)2
第一步=1×3−(−5)
第二步=3+5
第三步=8
上面的计算过程有错误吗？如果有，请你指出是第几步错误，并求出正确的P值；
(2)若A=3，B=2x，C=2x+1，当x为何值时，P的值为7．
21. (本小题9.0分)
某学校为了了解学生日常在家体育锻炼情况，从全体学生中随机抽取若干学生进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分，根据信息回答下列问题：
某校学生在锻炼情况的扇形统计图：
组别
平均每日体育锻炼时间(分)
人数
A
0≤x≤15
8
B
15
C
25 20
D
x>35
12
(1)本次调查共______ 人；
(2)抽查结果中，B组有______ 人；
(3)在抽查得到的数据中，中位数位于______ 组(填组别)；
(4)若该校共有学生1500人，则估计平均每日锻炼超过25分钟的学生有多少人．
22. (本小题8.0分)
发现：存在三个连续整数使得这三个连续整数的和等于这三个连续整数的积；
验证：连续整数−1，−2，−3 ______ (填“满足”或“不满足”)这种关系；
连续整数2，3，4，______ (填“满足”或“不满足”)这种关系；
延伸：设中间整数为n
(1)列式表示出三个连续整数的和、积，并分别化简；
(2)再写出一组符合“发现”要求的连续整数(直接写结果)．
23. (本小题10.0分)
小明和小亮周末一起去公园锻炼.两人同时从公园里的甲景点出发，沿相同路线到公园里的乙景点后再以原速度立即按原路返回.小亮的步行速度是80米/分.设小明行走的时间为t分钟，如图为小明和小亮距乙景点的距离S(米)和t(分钟)之间的函数关系的部分图象．
(1)甲、乙两景点的距离为______ 米，小明的步行速度为______ 米/分；
(2)求AB段的函数解析式，并直接写出小明第一次回到甲景点时对应的坐标；
(3)在函数图象中画出小明、小亮在途中第一次相遇时的点D，并通过计算说明第一次相遇所用的时间；
(4)在小明从乙景点返回甲景点的途中，请直接写出小明和小亮之间的距离不超过100米的时长．

24. (本小题10.0分)
如图1，已知点A、O在直线l上，且AO=6，OD⊥l于O点，且OD=6，以OD为直径在OD的左侧作半圆E，AB⊥AC于A，且∠CAO=60°.向右沿直线l平移∠BAC得到∠B′A′C′，设平移距离为x．
(1)若∠B′A′C′的边A′C′经过点D，则平移的距离x= ______ ；
(2)如图2，若A′C′截半圆E得到的GH的长为π，求∠DOG的度数；
(3)当∠B′A′C′的边与半圆E相切时，直接写出x的值．

25. (本小题11.0分)
如图，已知抛物线L：y=−x(x−3)+n与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点M．
(1)若该抛物线过点(1,6)，
①求该抛物线的表达式，并求出此时A、B两点坐标；
②将该抛物线进行平移，平移后的抛物线对应的函数为y=−x(x−3)+6，A点的对应点为A′，求点A′移动的最短距离；
(2)点M关于L：y=−x(x−3)+n的对称轴的对称点坐标为______ (用含n的代数式表示)；
(3)将抛物线L：y=−x(x−3)+n上0≤x≤3的一段图象记作C，若C与直线y=x+2有唯一公共点，直接写出n的取值范围______ ．

26. (本小题12.0分)
如图①，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，把AB绕点B顺时针旋转α(0°<α<180°)得到A′B，连接AA′，过B点作BE⊥AA′于E点，交矩形ABCD边于F点.(参考数据：sin37°=35，cos37°=45，tan37°=34)
(1)△ABA′面积的最大值是______ ；
(2)当AF=4.5时，求点A运动的路径长；
(3)当点A′落在AB的垂直平分线上时，点A′到直线CD的距离是______ ；
(4)若DF=2，求tan∠ECB的值．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：∵m2⋅m6=m8，
∴m？=m6，
故？表示的数为6，
故选：A．
根据同底数幂相乘法则，逆推即可解答．
本题考查了同底数幂相乘的逆用，熟知计算法则是解题的关键．

2.【答案】A 
【解析】解：∵将△ABC折叠，使点C落在BC边上C′处，展开后得到折痕l，
∴l⊥BC，即l是△ABC的高，
故选：A．
根据折叠性质可知，l⊥BC，由三角形高的定义即可得到答案．
本题考查折叠性质及三角形高的定义，熟记相关性质及定义是解决问题的关键．

3.【答案】C 
【解析】解：−312×57=(−3−12)×57，
故选：C．
原式变形得到结果，即可作出判断．
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：A、 10÷ 2= 5，故本选项正确，符合题意；
B、 5和 3不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
C、 149= 139= 133，故本选项错误，不符合题意；
D、 4=2，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
根据二次根式的除法，合并同类二次根式，二次根式的性质，逐项判断即可求解．
本题主要考查了二次根式的除法，合并同类二次根式，二次根式的性质，掌握相关运算法则是解题的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：延长AB，DC，
∵AB/​/CD，
∴∠4+∠5=180°．

∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°−(∠4+∠5)=360°−180°=180°．
故选：B．
先根据平行线的性质得出∠4+∠5=180°，再由多边形的外角和为360°即可得出结论．
本题考查的是多边形的外角与内角，熟知多边形的外角和等于360°是解题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：∵本题答案为1，
∴a−n=1，
又∵a=6，
∴n=5，
∵600000=6×105，
∴破损处“0”的个数为4．
故选：B．
根据科学记数法的表示方法求解即可．
本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．

7.【答案】C 
【解析】解：A、两个角是直角的四边形不一定是矩形，故A不符合要求；
B、两个角是直角的四边形不一定是矩形，故B不符合要求；
C、两个角是直角得出一组对边平行，且这组对边相等，是平行四边形，且有一个角是直角，故可得是矩形，符合题意；
D、两个角是直角的四边形不一定是矩形，故D不符合要求；
故选：C．
根据矩形的判定即可得到答案．
本题主要考查矩形的判定，平行四边形的判定，掌握相关判定定理是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：该组合体的俯视图如图所示：

当1号正方体放在图中的a，b，c，d，e，五处时，俯视图保持不变；

故选：D．
先确定该组合体的俯视图，再依次判断位置即可．
本题考查了常见组合体的俯视图，解题关键是理解俯视图的定义．

9.【答案】C 
【解析】解：m(m+2)+(m−2)2
=m2+2m+m2−4m+4
=2m2−2m+4，
∵m2−m=4，
∴2m2−2m=8，
∴原式=8+4=12，
故选：C．
先将所求式子去括号、合并同类项，将m2−m=4变成2m2−2m=8，再整体代入计算即可求解．
本题考查整式的混合运算−化简求值，解题的关键是把所求式子化简，变形后整体代入．

10.【答案】D 
【解析】解：连接OD，OC．
∵∠DOC=60°，OD=OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴OD=OC=DC=2 3cm，
∵OB⊥CD，
∴BC=BD= 3cm，
∴OB= 3BC=3cm，
∵AB=12cm，
∴OA=OB+AB=15cm，
∴点A在该过程中所经过的路径长=90⋅π⋅15180=7.5π(cm)．
故选：D．
利用正六边形的性质求出OB的长度，进而得到OA的长度，根据弧长公式进行计算即可．
本题考查了正六边形的性质及计算，扇形弧长的计算，熟知以上计算是解题的关键．

11.【答案】D 
【解析】解：A、根据一个角等于已知角的作法可知∠B=∠C，△ABC是等腰三角形，不符合题意；
B、根据垂直平分线的作法可知AB=AC，△ABC是等腰三角形，不符合题意；
C、根据过直线外一点作平行线的作法可知，AC/​/BD，∠ACB=∠CBD，
根据角平分线的作法可知，∠ABC=∠CBD，
∴∠ABC=∠ACB，△ABC是等腰三角形，不符合题意；
D、不能判断△ABC是等腰三角形，符合题意，
故选：D．
根据基本的作图方法，结合等腰三角形的判定，逐一进行判断，即可得到答案．
本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的判定等知识，掌握基本作图方法是解题关键．

12.【答案】D 
【解析】解：由题意得，后期所需付款为6999−1999=5000(元)，
∵后期每个月付相同的金额，
∴xy=5，
即y=5x(x>0)，
∴y是x的反比例函数，
故选：D．
先求出后期所需付款为6999−1999=5000(元)，再根据后期每个月付相同的金额，可得答案．
本题考查了点的坐标以及反比例函数的应用，得出y与x的函数关系式是解答本题的关键．

13.【答案】B 
【解析】解：根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为
实际每天比原计划多铺设20米，结果提前15天完成．
故选：B．
根据题意和题目中的方程，可以写出“×××”表示的缺失的条件．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，由已知分式方程可以得到需要补充的内容．

14.【答案】B 
【解析】解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况，
∴小灯泡发光的概率为13，
故选：B．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

15.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=12AC=12a，OB=OD=12BD=12b，BC=12，
根据三角形三边关系可得：12a+12b>12，|12b−12a|<12，
即：a+b>24，|a−b|<24，
然后代入数值13+14>24，14−13<24.即可得C符合要求．
故选：C．
由平行四边形的两条对角线长分别是a，b，一边长为12，根据平行线的性质与三角形三边关系，即可得12a+12b>12，|12b−12a|<12，然后验证即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质与三角形的三边关系，有一定的难度，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想应用．

16.【答案】C 
【解析】解：∵AB=1，AP=x，
∴BP=1−x，
∴y=π⋅(12)2−π⋅(x2)2−π⋅(1−x2)2
=π4−π4x2−π4+π2x−π4x2
=−π2x2+π2x
=−π2(x−12)2+π8，
∵−π2<0，
∴阴影部分面积的最大值为π8，
故选：C．
根据阴影部分的面积=大半圆的面积减去两个小半圆的面积，列出y与x的函数解析式，把解析式画出顶点是即可求得函数的最大值．
本题考查扇形的面积，动点问题的函数图象和性质，关键是求出函数解析式．

17.【答案】乙 
【解析】解：两组数据，平均数相同的情况下，方差小的稳定性强，应选乙；
故答案为：乙．
根据方差所代表的数据特性处理．
本题考查方差所代表的数据特征；理解方差代表的统计数据特征是解题的关键．

18.【答案】1：2  6 
【解析】解：(1)∵点M和点N分别为AB边和BC边上的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN/​/AC，MN=12AC，
∴∠PMN=∠PCA，∠PNM=∠PAC，
∴△PMN∽△PCA，
∴PNPA=MNCA=12，
即PN：PA=1：2，
故答案为：1：2；
(2)∵△ABC的面积为18，点N为BC边上的中点，
∴S△ACN=12S△ABC=12×18=9，
由(1)知PN：PA=1：2，
∴AN：PA=3：2，
即APAN=23，
∴S△APC=23S△ACN=23×9=6，
故答案为：6．
(1)先得出MN是△ABC的中位线，再根据三角形中位线定理得出MN//AC，MN=12AC，于是可证得△PMN∽△PCA，根据相似三角形对应边成比例即可求出PN：PA的值；
(2)根据△ABC的面积为18，点N为BC边上的中点，得出△ACN的面积为9，再结合(1)中的结论得出AN：PA=3：2，而△APC和△ACN的高相同，所以S△APC=23S△ACN，于是可以求出结果．
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的面积的求法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

19.【答案】1  4 23 5 
【解析】解：(1)①如图，∵△ABC是等腰直角三角形，点O是BC的中点，
∴AO⊥BC，AO=BO，∠BAO=45°，
∵FO⊥BC，
∴OF与OA重合，
∵∠DOF=45°，
∴∠APO=90°，
又∵AO=BO，AO⊥BC，
∴BP=AP=12AB=1，
故答案为：1；
②∵∠DOF=45°，
∴∠COQ+∠POB=135°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=∠B=45°，
∴∠COQ+∠CQO=135°，
∴∠POB=∠CQO，
∴△COQ∽△BPO，
∴CQOB=COBP，
∵OB=OC= 2，
∴CQ 2= 212，
∴CQ=4，
故答案为：4；
(2)由(2)可知，△COQ∽△BPO，
∴CQOB=COBP，
∵O是BC的三等分点，
∴OB=13BC=2 23或OB=23BC=4 23，
∴OC=4 23或OC=2 23，
∵CQ=OB⋅OCBP，
∴无论OB=2 23或OB=4 23，CQ的值不变，
即CQ=2 23×4 2323=83，
∴AQ=CQ−AC=83−2=23，
∵AP=AB−BP=2−23=43，∠QAP=90°，
∴PQ= AQ2+AP2= (23)2+(43)2=2 53，
即P，Q两点间的距离为23 5，
故答案为：2 53．
(1)①当点O为BC中点时，可知OF与OA重合，则BP=AP=12AB=1；
②利用△COQ∽△BPO，得CQOB=COBP，可得CQ的长；
(2)根据点O为BC的三等分点知，OB=13BC=2 23或OB=23BC=4 23，则OC=4 23或OC=2 23，求出CQ的长，再利用勾股定理求出PQ即可．
本题是三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明△COQ∽△BPO是解题的关键．

20.【答案】解：(1)第一步，
P=(−2)0×(−13)−1− (−5)2
=1×(−3)−5
=−3−5
=−8；
(2)当A=3，B=2x，C=2x+1时，
P=3⋅2x−(2x+1)=7，
解得：x=2． 
【解析】(1)根据零指数幂，负整数指数幂，开平方，按照计算法则计算即可解答；
(2)列方程，解出即可解答．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，开平方，解一元一次方程，熟知计算法则是解题的关键．

21.【答案】60  20  C 
【解析】解：(1)12÷20%=60(人)，即本次调查共60人，
故答案为：60．
(2)抽查结果中，B组有60−8−20−12=20(人)，
故答案为：20．
(3)60个数据按照从小到大排列后，处在中间的两个数位于C组，
∴在抽查得到的数据中，中位数位于C组，
故答案为：C．
(4)1500×3260=800(人)，
答：平均每日锻炼超过25分钟的学生有800人．
(1)利用D组的人数除以对应的百分比即可求得答案；
(2)用总人数减去A、C、D三个组的人数即可得到B组的人数；
(3)根据中位数的求法即可判断中位数所在小组；
(4)用全校总人数乘以被调查人数中平均每日锻炼超过25分钟的学生的占比，即可得到答案．
此题考查了扇形统计图和统计表，读懂题意计算正确列出算式是解题的关键．

22.【答案】满足  不满足 
【解析】解：验证：∵−1−2−3=−6，(−1)×(−2)×(−3)=−6，
∴−1−2−3=(−1)×(−2)×(−3)，
∴−1，−2，−3满足这种关系；
∵2+3+4=9，2×3×4=24，9≠24，
∴2+3+4≠2×3×4，
∴2，3，4不满足这种关系．
故答案为：满足；不满足；
延伸：设中间整数为n，则三个连续整数可表示为：n−1，n，n+1，
(1)三个连续整数的和可表示为：(n−1)+n+(n+1)=3n，
三个连续整数的积可表示为：(n−1)⋅n⋅(n+1)=n3−n，
(2)当3n=n3−n时，n3−4n=0
∴n(n+2)(n−2)=0
解得：n=0，n=−2或n=2，
∴符合要求的一组连续整数为：−1，0，1．
先分别计算−1−2−3和(−1)×(−2)×(−3)的值，比较两组值是否相等；再分别计算2+3+4和2×3×4的值，比较两组值是否相等即可；
(1)设中间整数为n，则三个连续整数可表示为：n−1，n，n+1，将n−1，n，n+1三数相加得其和；将n−1，n，n+1三数相乘得其积；
(2)令(1)中的和等于积，解方程，求得n的值，从而可得符合要求的连续整数．
本题考查了探究某类数的规律性问题，其中涉及到了因式分解方法的运用，按照要求写出相关数或式子，按照规则计算，是解答本题的关键．

23.【答案】560  70 
【解析】解：(1)∵小亮的步行速度是80米/分，7分钟从甲景点到乙景点，
∴甲、乙两景点的距离为560米；
∵小明8分钟从甲景点到乙景点，
∴小明的步行速度为560÷8=70(米/分)，
故答案为：560，70；
(2)由(1)得A(0,560)，
设AB段函数表达式为S=kt+b，把A(0,560)，B(7,0)代入得：
560=b0=7k+b，
解得：k=−80b=560
∴AB段函数解析式为S=−80t+560(0≤t≤7)，
由题图可知小明到乙景点所用时间为8分钟，
∵匀速步行，甲乙两地距离为560米，
∴小明第一次回到甲景点时对应的坐标为(16,560)；
(3)画出函数图象如图：

由A(0,560)，C(8,0)得AC的函数解析式为S=−70t+560，
由B(7,0)，E(14,560)得BE的函数解析式为S=80t−560，
联立方程组得S=−70t+560S=80t−560，
解得：t=11215，
∴小明和小亮第一次相遇所用的时间为11215分钟；
(4)由(3)知，小亮从乙景点返回甲景点的途中，S=80t−560，小明从乙景点返回甲景点的途中，S=70(t−8)，
①当小明在小亮前面100米时，80t−560=70(t−8)+100，
解得t=10，
∴8≤t≤10时，小明和小亮之间的距离不超过100米；
②当小明到达甲景点后，小亮在距甲景点100米及以内，小明和小亮之间的距离不超过100米，
∵100÷70=107(分)，
∴此时的时长为107分；
∵(10−8)+107=247，
∴在小明从乙景点返回甲景点的途中，小明和小亮之间的距离不超过100米的时长247分钟．
(1)由小亮的步行速度是80米/分，7分钟从甲景点到乙景点，可得两景点的距离为560米；用路程除以时间可得小明的步行速度为70(米/分)；
(2)用待定系数法可得AB段函数解析式为S=−80t+560(0≤t≤7)，由小明到乙景点所用时间为8分钟，可得小明第一次回到甲景点时对应的坐标为(16,560)；
(3)按题意画出图象，求得AC的函数解析式为S=−70t+560，BE的函数解析式为S=80t−560，联立解析式可解得小明和小亮第一次相遇所用的时间为11215分钟；
(4)分两种情况：①当小明在小亮前面100米时，80t−560=70(t−8)+100，②当小明到达甲景点后，小亮在距甲景点100米及以内，小明和小亮之间的距离不超过100米，此时的时长为107分；把两段时长相加即可．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．

24.【答案】6−2 3 
【解析】解：(1)如图1，

∵OD⊥l于O点，
∴∠A′OD=90°，
∵∠OA′C′=60°，
∵OD=6，
∴A′O=ODtan60∘=6 3=3 3，
∵OA=6，
∴平移的距离x=OA−OA′=6−3 3，
故答案为：6−2 3；
(2)连接EH、EG、DH，如图2所示：

则半圆E的半径ED=EO=12OD=3，
设∠GEH=n°，
∵A′C′截半圆E的GH的长为π，
∴nπ×3180=π，
解得：n=60，
∴∠GEH=60°，
∵EH=EG，
∴△EGH是等边三角形，
∴∠EGH=60°=∠C′A′O=60°．
∴EG//l，
∵OD⊥l，
∴∠GEO=∠A′OD=90°，
∵EG=EO，
∴∠EOG=12(180°−90°)=45°
答：∠DOG的度数为45°；
(3)分两种情况：当半圆E与A′C′相切时，如图3所示：

∵OD⊥l，
∴l是半圆E的切线，
∴OA′=PA′，∠OA′E=12∠C′A′O=30°，
∴OA′= 3OE=3 3，
∴x=AO−OA′=6−3 3；
当半圆E与A′B′相切时，如图4所示：

则∠PA′A=180°−90°−60°=30°，
∵OA′=PA′，
∴∠POA′=15°，
∴∠OEA′=∠PA′A=15°，
如图5所示，

tan15°=x2x+ 3x=12+ 3=2− 3，
∴OA′OE=2− 3，
∴OA′=3(2− 3)=6−3 3，
∴x=AO−OA′=3 3；
综上所述，当半圆E与∠B′A′C′的边相切时，x的值为6−3 3或3 3．
(1)根据垂直的定义得到∠A′OD=90°，根据三角函数的定义即可得到结论；
(2)连接EH、EG、DH，则半圆E的半径ED=EO=12OD=3，由弧长公式求出∠GEH=60°，得出△EGH是等边三角形，证出EG//l，得出EG⊥OD，求出∠DEH=30°，由等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠D=75°，再由圆内接四边形的性质即可得出结果；
(3)分两种情况：当半圆E与A′C′相切时，由切线长定理得出OA′=PA′，由直角三角形的性质得出OA′= 3OE=3 3，得出平移距离AA′=AO−OA′=6−3 3；当半圆E与A′B′相切时，由切线长定理和弦切角定理得出∠OEA′=15°，由直角三角形的性质得出OA′=6−3 3，即可得出平移距离AA′=AO−OA′=3 3．
本题是圆的综合题目，考查了切线的性质与判定、弧长公式、切线长定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握切线长定理是解题的关键．

25.【答案】(3,n)  2 【解析】解：(1)①将(1,6)代入y=−x(x−3)+n，
∴6=−1×(1−3)+n，
解得n=4，
∴抛物线的解析式为y=−x2+3x+4，
令y=0，则0=−x2+3x+4，
解得x1=−1，x2=4，
∴A(−1,0)，B(4,0)；
②将y=−x2+3x+4向上平移2个单位可以得到y=−x(x−3)+6，
∴A点向上平移最短距离是两个单位得A′；
(2)当x=0时，y=n，
∴M(0,n)，
∵y=−x(x−3)+n=−(x−32)2+n+94，
∴抛物线的对称轴为直线x=32，
∴M点关于对称轴的对称点为(3,n)，
故答案为：(3,n)；
(3)当x+2=−x(x−3)+n有唯一实数根时，Δ=4n−4=0，
解得n=1，此时图象C与抛物线有唯一公共点；
当抛物线经过(0,2)时，n=2，此时图象C与抛物线有两个公共点，
当抛物线经过(3,5)时，n=5，此时图象C与抛物线有一个公共点，
∴2 综上所述：2 故答案为：2 (1)①将(1,6)代入y=−x(x−3)+n，求出n的值即可确定函数解析式；
②根据平移的性质可得A点向上平移最短距离是两个单位得A′；
(2)先求M点坐标，再求抛物线的对称轴为直线x=32，则M点关于对称轴的对称点为(3,n)，
(3)当x+2=−x(x−3)+n有唯一实数根时，n=1，此时图象C与抛物线有唯一公共点；当抛物线经过(0,2)时，n=2，此时图象C与抛物线有两个公共点，当抛物线经过(3,5)时，n=5，此时图象C与抛物线有一个公共点，结合图象可知2 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键．

26.【答案】18  8−3 3 
【解析】解：(1)如图所示，A′B的运动轨迹，过点A′作A′G⊥AB，
由图可知，当A′B落在边BC上时，A′G最长，即△ABA′面积最大，此时A′G=AB，
∵AB=6，
由旋转性质可得：A′B=6，
∴此时△ABA′是等腰直角三角形，A′G=6，
∴S△ABA′=12×AB×A′G=12×6×6=18．
故答案为：18；
(2)当AF=4.5时，点F在AD边上，
∵ABCD是矩形，
∴∠BAF=90°，
∴tan∠ABF=AFAB=4.56=34，
∴∠ABF=37°，
∴∠A′BA=74°，
∴点A运动的路径长是：l=74π×6180=3715π；
(3)点A′落在AB的垂直平分线上，如图所示，
∵AB=6，
由旋转性质可得：A′B=6，
∵点A′落在AB的垂直平分线上，
∴BJ=3，
∴A′J= A′B2−BJ2= 62−32=3 3，
∵AD=8，
∴JK=AD=8，
∴A′K=JK−A′J=8−3 3．
即点A′到直线CD的距离是8−3 3．
故答案为：8−3 3；
(4)解：①当点F在AD上时，如图所示，
∵BC=8，AB=6，DF=2，
∴AF=6，
由旋转性质可得：A′B=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABA′F是正方形，
过E作EH⊥BC于H点，
∴EH=12AB=3，HC=BC−BH=8−3=5，
∴tan∠ECB=EHAC=35；
②当点F在CD上时，
∵BC=8，AB=6，DF=2，
∴CF=4，
∴BF= BC2+CF2=4 5，
∵BE⊥AA′，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∵∠CBF+∠ABE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠AEB=∠BCF=90°，
∴△ABE∽△BFC，
∴BECF=ABBF即BE4=64 5，
∴BE=6 55，
过E作EH⊥BC于H点，
∴EH/​/CD，
∴△BEH∽△BFC，
∴BEBF=EHCF=BHBC，即6 554 5=EH4=BH8，
∴EH=65，BH=125，
∴CH=285，
∴tan∠ECB=EHCH=314；
∴tan∠ECB的值为35或314．
(1)当A′B落在边BC上时，△ABA′面积最大，此时△ABA′是等腰直角三角形，即可求解；
(2)先求出tan∠ABF，即可求出∠ABF，用弧长公式求解即可；
(3)根据题意画出图形，用勾股定理求出A′E即可求解；
(4)分两种情况讨论：当点F在AD上；点F在CD上．解直角三角形求出EH，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、作辅助线、勾股定理等，熟练掌握知识点是解题关键．