2022-2023学年甘肃省武威九中、爱华育新学校等三校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年甘肃省武威九中、爱华育新学校等三校九年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年甘肃省武威九中、爱华育新学校等三校九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 同学们，我们是2023届学生，这个数字2023的相反数是(    )
A. 2023 B. 12023 C. −2023 D. −12023
2. 中国空间站俯瞰地球的高度约为400000米，将400000用科学记数法表示应为(    )
A. 4×105 B. 4×106 C. 40×104 D. 0.4×106
3. 已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是(    )
A. 2cm B. 3cm C. 6cm D. 13cm
4. 如图，在△ABC中，AB=AC=8.点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF//AC，GF//AB，则四边形AEFG的周长是(    )


A. 32 B. 24 C. 16 D. 8
5. 如图是反比例函数y=1x的图象，点A(x,y)是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是(    )

A. 1 B. 12 C. 2 D. 32
6. 下列运算正确的是(    )
A. 2+ 3= 5 B. 30=0 C. (−2a)3=−8a3 D. a6÷a3=a2
7. 若一次函数y=2x+1的图象经过点(−3,y1)，(4,y2)，则y1与y2的大小关系是(    )
A. y1y2 C. y1≤y2 D. y1≥y2
8. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC=60°，BD=4 3，则OE=(    )

A. 4 B. 2 3 C. 2 D. 3
9. 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为(    )
A. 0.3cm
B. 0.5cm
C. 0.7cm
D. 1cm
10. 如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A−B−C方向匀速运动，到达点C停止运动.点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是(    )


A. 12 B. 24 C. 40 D. 48
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是          ．
12. 请填写一个常数，使得关于x的方程x2−2x+          =0有两个不相等的实数根．
13. 已知x+y=4，x−y=6，则x2−y2=          ．
14. 如图，直线a//b，直线c与直线a，b相交，若∠1=54°，则∠3=______度．


15. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB//DE，且AB=DE，请添加一个条件______ ，使△ABC≌△DEF．

16. 一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为______厘米．

17. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，若AB=2DE，∠E=18°，则∠AOC的度数为______ 度．


18. 给出一组有规律的数：a1=1，a2=1+1a1，a3=1−a2，a4=1+1a3，a5=1−a4，…，小明通过观察发现，当n为大于1的奇数时，an=1−an−1；当n为大于1的偶数时，an=1+1an−1按此规律，计算前2023个数的和为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题4.0分)
解不等式组x−3(x−2)≤102x−15>x−12，并把它的解集在数轴上表示出来．


20. (本小题4.0分)
先化简(a2−1a−3−a−1)÷a+1a2−6a+9，然后从−1，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
21. (本小题6.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB>AD．
(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)：
①在AB上截取AE，使得AE=AD；
②作∠BCD的平分线交AB于点F．
(2)连接DE交CF于点P，猜想△CDP的形状，并证明你的结论．

22. (本小题6.0分)
如图，为了测量某矿山CH的高度，科考组在距离矿山一段距离的B点乘坐直升机垂直上升2000米至A点，在A点观察H点的俯角为35°，然后乘坐直升机从A水平向前飞行500米到E点，此时观察H点的俯角为45°，所有的点都在同一平面内，科考队至此完成了数据监测，请你依据数据计算科考队测得的矿山高度(结果保留整数，参考数据：sn35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70， 2～1.41)

23. (本小题6.0分)
ETC(Electronic Toll Collection)不停车收费系统是目前世界上最先进的路桥收费方式.安装有ETC的车辆通过路桥收费站无需停车就能交纳费用.某高速路口收费站有A，B，C，D四个ETC通道，车辆可任意选择一个ETC通道通过，且通过每个ETC通道的可能性相同，一天，小李和小赵分别驾驶安装有ETC的汽车经过此收费站．
(1)求小李通过A通道的概率；
(2)请用列表或画树状图的方法表示出两人通过此收费站的所有可能结果，并求出小李和小赵经过相同通道的概率．
24. (本小题6.0分)
为了落实《中共中央国务院关于加强青少年体育增强青少年体质的意见》精神，全面推动阳光体育运动在全国的深入实施.某区教育局在全区中学生对课外体育运动项目的喜欢程度进行调查，随机抽取了某校七年级部分学生进行问卷调查(每人限选一种体育运动项目)如图是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)求在这次调查中，一共调查了名学生？
(2)在扇形统计图中，“跳绳”所在的圆心角等于______ 度；
(3)喜欢“羽毛球”的人数是______ ；
(4)请补全条形统计图；
(5)若该校有七年级学生1500人，请你估计该校七年级喜欢“足球”的学生有多少人？
25. (本小题6.0分)
如图，直线y=mx+n与双曲线y=kx相交于A(−1,3)、B(3,b)两点，与y轴相交于点C．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；
(3)不用计算，请直接写出不等式mx+n≥kx的解集．

26. (本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE，AB相交于点C．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，tan∠EAD=12，求DE的长．

27. (本小题8.0分)
【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点，试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明．
(1)【思考尝试】：有同学发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题.请在图1中补全图形，解答老师提出的问题；
(2)【实践探究】：有同学受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E与B不重合)，当△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．
28. (本小题12.0分)
如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线y=−x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．

(1)①求b，c的值；
②在平面内是否存在点Q，使得以点A、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(2)若点P是边BC上的一个动点，连接AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M(如图2所示)，当点P在BC上运动时，点M也随之运动，设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：2023的相反数为−2023，
故选：C．
根据相反数的定义(只有符号不同的两个数)判断即可．
本题考查了相反数的定义，熟悉相反数的定义是解题关键．

2.【答案】A 
【解析】解：400000=4×105．
故选：A．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．

3.【答案】C 
【解析】解：∵三角形的两边长分别为5cm和8cm，
∴第三边x的长度范围为：3cm 故选：C．
由三角形的两边长分别为5cm和8cm，可得第三边的长度范围即可得出答案．
此题考查了三角形的三边关系．注意已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于这两边的和．

4.【答案】C 
【解析】解：∵EF//AC，GF//AB，
∴四边形AEFG是平行四边形，∠B=∠GFC，∠C=∠EFB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠EFB，∠GFC=∠C，
∴EB=EF，FG=GC，
∵四边形AEFG的周长是AE+EF+FG+AG，
∴四边形AEFG的周长是AE+EB+GC+AG=AB+AC，
∵AB=AC=8，
∴四边形AEFG的周长是AG+AC=8+8=16，
故选：C．
根据EF//AC，GF//AB，可以得到四边形AEFG是平行四边形，∠B=∠GFC，∠C=∠EFB，再根据AB=AC=8和等量代换，即可求得四边形AEFG的周长．
本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，将平行四边形的周长转化为AB和AC的关系．

5.【答案】B 
【解析】解：∵A(x,y)，
∴OB=x，AB=y，
∵A为反比例函数y=1x图象上一点，
∴xy=1，
∴S△ABO=12AB⋅OB=12xy=12×1=12，
故选：B．
由反比例函数的几何意义可知，k=1，也就是△AOB的面积的2倍是1，求出△AOB的面积是12．
考查反比例函数的几何意义，反比例函数的图象，反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握k的绝对值，等于△AOB的面积的2倍．

6.【答案】C 
【解析】解：A选项， 2和 3不能合并，故该选项不符合题意；
B选项，原式=1，故该选项不符合题意；
C选项，原式=−8a3，故该选项符合题意；
D选项，原式=a3，故该选项不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的加减法判断A选项；根据零指数幂判断B选项；根据积的乘方判断C选项；根据同底数幂的除法判断D选项．
本题考查了二次根式的加减法，零指数幂，积的乘方，同底数幂的除法，掌握a0=1(a≠0)是解题的关键．

7.【答案】A 
【解析】解：∵一次函数y=2x+1中，k=2>0，
∴y随着x的增大而增大．
∵点P1(−3,y1)和P2(4,y2)是一次函数y=2x+1图象上的两个点，−3<4，
∴y1 故选：A．
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据−3<4即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．

8.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴BO=DO，∠ABO=30°，AC⊥BD，AB=AD，
∴BO=2 3，
∴AO= 33BO=2，
∴AB=2AO=4，
∵E为AD的中点，∠AOD=90°，
∴OE=12AD=2，
故选：C．
根据菱形的性质可得，∠ABO=30°，AC⊥BD，则BO=2 3，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．
本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

9.【答案】B 
【解析】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴AB：CD=3，
∵CD=3cm，
∴AB=9cm，
∵某零件的外径为10cm，
∴零件的厚度x为：(10−9)÷2=1÷2=0.5cm，
故选：B．
根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的值．
本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．

10.【答案】A 
【解析】解：从图象可以看出AB=5，当AP⊥BC时，AP最短为4，当P到达C点时，AP=5，说明△ABC是等腰三角形，且AB=AC=5．
当AP⊥BC时，利用勾股定理求得BP=3，根据三线合一可得BC=6，所以△ABC的面积为12×6×4=12．
故选：A．
当P点在AB上时，AP长度逐渐增大，结合图象可得AB=5，当P点从B到C运动时，AP长度先逐渐增大，当AP⊥BC时，AP最短，而后AP逐渐增大，从图象可得AP=4，AC=5.则等腰△ABC面积可求．
本题主要考查了动点问题的函数图象，体现了数形结合思想，同时考查了勾股定理，解题的关键是从图象中分析出△ABC中对应的量．

11.【答案】40°或100° 
【解析】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角是40°；
当∠A是底角时，则△ABC的顶角为180°−2×40°=100°．
综上，△ABC的顶角度数是40°或100°．
故答案为：40°或100°．
分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．

12.【答案】0(答案不唯一) 
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2−4ac>0，即可得出关于c的不等式，解之即可求出c的取值范围．
【解答】
解：a=1，b=−2．
∵Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×c>0，
∴c<1．
故答案为：0(答案不唯一)．  
13.【答案】24 
【解析】
【分析】
此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键．
直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．
【解答】
解：∵x+y=4，x−y=6，
∴x2−y2
=(x+y)(x−y)
=4×6
=24．
故答案为：24．  
14.【答案】126 
【解析】解：∵a//b，
∴∠4=∠1=54°，
∴∠3=180°−∠4=180°−54°=126°，
故答案为：126．
根据两直线平行，同位角相等和邻补角的定义解答即可．
本题主要考查了平行线的性质以及邻补角互补的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．

15.【答案】∠A=∠D 
【解析】解：可添加条件为∠A=∠D或BC=EF或BE=CF或∠ACB=∠F．
理由如下：∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF．
∵在△ABC和△DEF中，
∠A=∠DAB=DE∠B=∠DEF，
∴△ABC≌△DEF(ASA)．
故答案为：BE=CF或∠A=∠D或BC=EF(填一个即可)．
判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL，所以可添加条件为∠A=∠D，或BC=EF或BE=CF或∠ACB=∠F．
本题考查三角形全等的性质和判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL(在直角三角形中).判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

16.【答案】26 
【解析】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，

由题意可得：OC⊥AB，AC=12AB=10(厘米)，
设镜面半径为x厘米，
由题意可得：x2=102+(x−2)2，
∴x=26，
∴镜面半径为26厘米，
故答案为：26．
根据题意，弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，由勾股定理可求解．

17.【答案】54 
【解析】解：连接OD，∵AB=2DE，
∴OD=DE，
∴∠E=∠EOD，
在△EDO中，∠ODC=∠E+∠EOD=36°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=36°，
在△CEO中，∠AOC=∠E+∠OCD=18°+36°=54°．
根据AB=2DE得DE等于圆的半径，在△EDO和△CEO中，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解．
本题主要利用三角形的外角性质求解．

18.【答案】1012 
【解析】解：a1=1，a2=1+1a1=1+1=2，a3=1−a2=1−2=−1，a4=1+1a3=1−1=0，a5=1−a4=1−0=1，…，
∴an的值每4个一循环，
∴2023÷4=505……3，1+2−1+0=2，
∴505×2+1+2−1=1012．
故答案为：1012．
根据an数的变化找出an的值每4个一循环，结合2023÷4=505……3，1+2−1+0=2，即可求出结果．
本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出an的值每4个一循环是解题的关键．

19.【答案】解：x−3(x−2)≤10①2x−15>x−12②，
解不等式①得：x≥−2，
解不等式②得：x<3，
∴不等式组的解集为：−2≤x<3．
在数轴上表示为：
 
【解析】分别解两个不等式，然后将两个解集取公共部分即可；
本题考查了不等式组的解法，熟练运用不等式的基本性质是解题关键．

20.【答案】解：原式=[a2−1a−3−(a+1)]÷a+1(a−3)2
=a2−1−(a+1)(a−3)a−3⋅(a−3)2a+1
=(a+1)(a−1−a+3)a−3⋅(a−3)2a+1
=2(a+1)a−3⋅(a−3)2a+1
=2(a−3)
=2a−6，
∵a=−1或a=3时，原式无意义，
∴a只能取1或0，
当a=1时，原式=2−6=−4.(当a=0时，原式=−6) 
【解析】小括号内进行通分，对多项式进行因式分解，除法转化为乘法，化简约分即可得到化简的结果，根据分式有意义的条件得到a的取值，代入求值即可．
本题考查了分式的化简求值，把整式看成分母是1的分数，进行通分是解题的关键．

21.【答案】解：(1)如图，线段AE，射线CF即为所求；

(2)结论：△CPD是直角三角形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠CDE=∠AED，
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=∠CDE，
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCP=∠BCP，
∵AD//CB，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴2∠CDP+2∠DCP=180°，
∴∠CDP+∠DCP=90°，
∴∠CPD=90°，
∴△CDP是直角三角形． 
【解析】(1)根据要求作出图形即可；
(2)证明∠ADE=∠CDE，利用平行线的性质再证明∠CDP+∠DCP=90°即可．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质，角平分线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

22.【答案】解：如图，延长CH交AE的延长线于F．

在Rt△EFH中，∵∠HEF=45°，
∴EF=FH，设EF=FH=x米，
在Rt△AFH中，∵tan∠FAH=FHAF，
∴0.70≈x500+x，
解得x=35003，
∵四边形ABCF是矩形，
∴CF=AB=2000米，
∴CH=CF−FH=2000−35003≈833(米)，
答：矿山高度约为833米． 
【解析】如图，延长CH交AE的延长线于F.设FH=EF=x米，根据tan∠FAH=FHAF，构建方程求出x，即可解决问题．
本题考查解三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．

23.【答案】解：(1)小李通过A通道的概率为 14；
(2)画树状图如图：

由树状图可知：共有16种等可能结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种，
∴P(小李和小赵经过相同通道)=416=14． 
【解析】(1)根据概率公式即可得到结论；
(2)画出树状图，共有16种等可能结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种，由概率公式即可得到结论．
本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．

24.【答案】36  150名 
【解析】解：(1)200÷40%=500(名)，
答：一共调查了学生500名；
(2)360°×50500=36°，
故答案为：36；
(3)500×30%=150(名)，
故答案为：150名；
(4)如图所示：

(5)1500×100500=300(人)，
答：该校七年级学生1500人中喜欢“足球”的学生约有300人．
(1)喜欢“篮球”的有200名，占调查人数的40%，可求出调查人数；
(2)“跳绳”占调查人数的50500，因此相应的圆心角的度数占360°的50500，计算可得结果；
(3)喜欢“羽毛球”的占调查人数的30%，即500人的30%；
(5)求出喜欢“羽毛球”的人数，即可补全条形统计图；
(4)样本中喜欢“足球”的占100500，因此总体1500名的100500是喜欢“足球”的人数．
本题考查条形统计图、折线统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是正确计算的前提．

25.【答案】解：(1)将A(−1,3)和B(3,b)分别代入y=kx中，
得k=−3，b=−1，
∴双曲线解析式为y=−3x，
将A(−1,3)和B(3,−1)分别代入y=mx+n中，
得−m+n=33m+n=−1，
解得：m=−1n=2，
∴直线AB的解析式为：y=−x+2．
(2)解将x=0代入y=−x+2中，得y=2，
∴C(0,2)，
∴点D(0,−2)，
∴S△ABD=S△ACD+S△BCD=12×4×1+12×4×3=8．
(3)由图象可得：
当x≤−1或0 所以不等式mx+n≥kx的解集为x≤−1或0 【解析】(1)先求出反比例函数表达式，在求出B点坐标，再求一次函数表达式即可；
(2)将△ABD沿CD分割，以CD为底，分别求△ACD与△BCD得面积即可；
(3)找出直线在双曲线上方的部分即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的结合，相关知识点有：求函数表达式、求围成三角形的面积、根据图象写出不等式的取值范围等知识点，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题关键．

26.【答案】(1)证明：如图，连接OE，

∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠OAE=∠DAE，
∴∠OEA=∠EAD，
∴OE//AD，
∵ED⊥AF，
∴半径OE⊥DE，
∴CD是⊙O的切线．
(2)解：如图，连接BE．

∵AB为⊙O直径，
∴∠AEB=90°=∠D，
∵∠DAE=∠BAE，
∴△ADE∽△AEB，
∴ADAE=AEAB=DEBE，
又∵tan∠EAD=12
∴DEAD=BEAE=12，
则AE=2BE．
又∵AB=10，
在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，
即：(2BE)2+BE2=102，
解得BE=2 5，
则AE=4 5，
∴AD4 5=4 510=DE2 5，
解得DE=4． 
【解析】(1)连接OE，证明OE//AD即可；
(2)连接BE，证明△ADE∽△AEB，然后在Rt△ABE中利用勾股定理即可求得．
本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识点，辅助线的添加是解题关键．

27.【答案】解：(1)AE=EP，
理由如下：取AB的中点F，连接EF，
∵F，E分别为AB，BC的中点，
∴AF=BF=BE=CE，
∴∠BFE=45°，
∴∠AFE=135°，
∵CP平分∠DCG，
∴∠DCG=45°，
∴∠ECP=135°，
∴∠AFE=∠ECP，
∵AE⊥PE，
∴∠AEP=90°，
∴∠AEB+∠PEC=90°，
∴∠AEB+∠EAF=90°，
∴∠PEC=∠EAF，
在△AFE和△ECP中，
∠EAF=∠PEC AF=EC ∠AFE=∠ECP ，
∴△AFE≌△ECP(ASA)，
∴AE=EP．
(2)如图2所示：在AB上取AF=EC，连接EF，

由(1)同理可得∠CEP=∠FAE，
∵AF=EC，AE=EP，
∴△FAE≌△CEP(SAS)，
∴∠ECP=∠AFE，
∵AF=EC，AB=BC，
∴BF=BE，
∵∠BEF=∠BFE=45°，
∴∠AFE=135°，
∴∠ECP=135°，
∴∠DCP=∠ECP−∠BCD=45°． 
【解析】(1)AE=EP，理由如下：如图1所示，取AB的中点F，连接EF，根据已知条件可证明△AFE≌△ECP(ASA)，即可得出结论．
(2)如图2所示，在AB上取AF=EC，连接EF，根据条件可证△FAE≌△CEP(SAS)，得出∠ECP=∠AFE，由∠AFE=135°，可得出∠ECP=135°，即可得出结论．
本题主要考查了三角形全等，等腰直角三角形，熟练掌握三角形全等的判定定理是解此题的关键．

28.【答案】解：(1)①∵正方形OABC的边长为3，
∴点A，B，C的坐标分别为A(3,0)，C(0,3)；
把点A(3,0)，C(0,3)的坐标分别代入y=−x2+bx+c，
得−9+3b+c=0c=3，
解得b=2c=3；
②存在，
令y=0得：0=−x2+2x+3，
解得：x1=3，x2=−1，
∴D(−1,0)，
∴AD=4，
如图，

当四边形ADCQ1是平行四边形时，由CQ1//AD且CQ1=AD可得Q1(4,3)；
当四边形ADQ2C是平行四边形时，由CQ2//AD且CQ2=AD可得Q2(−4,3)；
当四边形ACDQ3是平行四边形时，由DQ3//AC且DQ3=AC可得Q3(2,−3)；
故答案为：Q1(4,3)或Q2(−4,3)或Q3(2,−3)
(2)由题意，得∠APB=90°−∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△PCM，
∴ABPC=BPCM，即33−m=mn．
整理，得n=−13m2+m，即n=−13(m−32)2+34(0≤m≤3)．
∴当m=32时，n的值最大，最大值是34． 
【解析】(1)①用待定系数法求解即可；②先求出点D坐标，再利用平行四边形的性质及判定求解即可；
(2)先证明Rt△ABP∽Rt△PCM，可得ABPC=BPCM，即33−m=mn.从而得出n=−13m2+m，再求出其最值即可．
本题主要考查二次函数的性质，相似三角形的性质及判定，平行四边形的性质等知识点，熟练掌握待定系数法求解析式及平行四边形的性质是解题的关键．