2022-2023学年安徽省六安市金安区皋城中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省六安市金安区皋城中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省六安市金安区皋城中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使二次根式 x−3有意义，则x的值可以为(    )
A. −2 B. 4 C. 2 D. 0
2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(    )
A. 3， 4， 5 B. 0.3，0.4，0.5
C. 1， 2，3 D. 2，3，4
3. 用配方法解方程x2+4x−1=0，下列配方结果正确的是(    )
A. (x+2)2=5 B. (x+2)2=1 C. (x−2)2=1 D. (x−2)2=5
4. 一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是(    )
A. 10 B. 11 C. 9 D. 8
5. 已知x=1是方程x2+ax+2=0的一个根，则方程的另一个根为(    )
A. 2 B. −2 C. −3 D. 3
6. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是(    )
A. B.
C. D.
7. 某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为(    )
A. 50(1+x)2=175 B. 50+50(1+x)+50(1+x)2=175
C. 50(1+x)+50(1+x)2=175 D. 50+50(1+x)2=175
8. 已知m，n是方程x2−10x+1=0的两根，则代数式m2−9m+n的值等于(    )
A. 0 B. −11 C. 9 D. 11
9. 给出一种运算：对于函数y=xn，规定y′=nxn−1.例如：若函数y=x4，则有y′=4x3.已知函数y=x3，则方程y′=12的解是(    )
A. x1=4，x2=−4 B. x1=2，x2=−2
C. x1=x2=0 D. x1=2 3，x2=−2 3
10. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：
①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③若−c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2．
其中正确的(    )
A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 化简： (−3)2= ______ ．
12. 若实数m、n满足|m−3|+ n−4=0，且m、n恰好是直角三角形的两条边长，则该直角三角形的斜边上的高为______．
13. 若实数x，y满足(x2+y2+1)(x2+y2−2)=0，则x2+y2的值是______．
14. 等腰三角形ABC中，AB=AC=6，∠BAC=45°，以AC为腰作等腰直角三角形ACD，∠CAD为90°，则点B到CD的距离为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
计算： 6× 2−(− 3)2+| 3−3|．
16. (本小题8.0分)
解方程：x2−3x=1．
17. (本小题8.0分)
已知：a= 5+2，b= 5−2．
(1)求ab．
(2)求a2+b2−ab．
18. (本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−kx+k−1=0．
(1)求证：无论k取何值，该方程总有实数根；
(2)已知x=2是方程的一个根，求k的值．
19. (本小题10.0分)
在所给的格点图中，每个小正方形的边长都是1．
(1)在图中画出一个△ABC，使其三边长分别为 5， 10，5三个顶点都在格点上．
(2)直接写出△ABC的面积．

20. (本小题10.0分)
若规定两数a，b通过运算得4ab，即a※b=4ab.例如2※6=4×2×6=48．
(1)求2※ 12的值；
(2)求x※x+2※x−2※4=0中x的值．
21. (本小题12.0分)
阅读材料，回答问题：
观察下列各式
1+112+122=1+11−12=112；
1+122+132=1+12−13=116；
1+132+142=1+13−14=1112．
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
(1)猜想： 1+172+182=______=______；
(2)归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n(n为正整数)表示的等式：______；
(3)应用：用上述规律计算 1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+…+ 1+192+1102．
22. (本小题12.0分)
如图所示，有一长方形的空地，长为x米，宽为12米，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形，现计划甲建筑成住宅区，乙建成商场，丙开辟成公园．

(1)请用含x的代数式表示正方形乙的边长：______米；
(2)若丙地的面积为32平方米，请求出x的值．
23. (本小题14.0分)
黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶，产于安徽省黄山(徽州)一带，也称徽茶．有诗日：“未见黄山面，十里闻茶香”.某茶庄以600元/kg的价格收购一批毛峰，物价部门规定销售单价不低于成本且不得超过成本2倍，经试销过发现，日销量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足一次函数关系式，部分对应数据如表：
x(元/kg)
…
600
800
…
y(kg)
…
100
80
…
(1)根据表格提供的数据，求出y关于x的函数关系式；
(2)在销售过程中，每日还需支付其他费用9000元，当销售单价为多少时，该茶庄日利润为7000元？
(3)在(2)的条件下，店员甲说售价越高，则利润越大，甲的说法正确吗？如果正确，请给出理由，如果不正确，请给出反例．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：由题意得：x−3≥0，
解得：x≥3，
因此，只有B选项的4满足条件，
故选：B．
根据二次根式有意义的条件可得x−3≥0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

2.【答案】B 
【解析】解：A、( 3)2+( 4)2≠( 5)2，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、0.32+0.42=0.52，能构成直角三角形，故符合题意；
C、12+( 2)2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：B．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．

3.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
在本题中，把常数项−1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方．
【解答】
解：把方程x2+4x−1=0的常数项移到等号的右边，得到x2+4x=1
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+4x+4=1+4
配方得(x+2)2=5．
故选A．  
4.【答案】D 
【解析】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得：(n−2)⋅180°=1080°，
∴n=8，
故选：D．
由多边形内角和定理：(n−2)⋅180° (n≥3且n为整数)，可求多边形的边数．
本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形的内角和定理．

5.【答案】A 
【解析】
【分析】
根据x=1是方程x2+ax+2=0的一个根和两根之积等于常数项与二次项系数的比值，可以求得方程的另一个根．
【解答】
解：设方程x2+ax+2=0的另一个根为b，
∵x=1是方程x2+ax+2=0的一个根，
∴1×b=2，
解得b=2．
故选：A．
【点评】
本题主要考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系等知识，解答本题的关键是明确两根之积等于常数项与二次项系数的比值．  
6.【答案】D 
【解析】解：A、∵12ab+12c2+12ab=12(a+b)(a+b)，
∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×12ab+c2=(a+b)2，
∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×12ab+(b−a)2=c2，
∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：二月份的产值为：50(1+x)，
三月份的产值为：50(1+x)(1+x)=50(1+x)2，
故第一季度总产值为：50+50(1+x)+50(1+x)2=175．
故选B．
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)增长次数，本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几个月的产值，再根据题意列出方程即可．

8.【答案】C 
【解析】解：∵m是方程x2−10x+1=0的根，
∴m2−10m+1=0，
∴m2=10m−1，
∴m2−9m+n=10m−1−9m+n=m+n−1，
∵m，n是方程x2−10x+1=0的两根，
∴m+n=10，
∴m2−9m+n=10−1=9．
故选：C．
先根据一元二次方程根的定义得到m2=10m−1，则m2−9m+n可化为m+n−1，再根据根与系数的关系得到m+n=10，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca.还考查了一元二次方程的解及代数式求值．

9.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，同时还以新定义的形式考查了学生的阅读理解能力；注意：①二次项系数要化为1，②根据平方根的意义开平方时，是两个解，且是互为相反数，不要丢解．首先根据新定义求出函数y=x3中的n，再与方程y′=12组成方程得出：3x2=12，用直接开平方法解方程即可．
【解答】
解：由函数y=x3得n=3，则y′=3x2，
∴3x2=12，
x2=4，
x=±2，
x1=2，x2=−2，
故选B．  
10.【答案】B 
【解析】解：①∵a+b+c=0，
∴x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，
∴Δ=b2−4ac≥0，结论①正确；
②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴Δ=−4ac>0，
∴Δ=b2−4ac≥−4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根，结论②正确；
③∵−c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
∴ac2−bc+c=0，
若c为1，则a×1×c−b×1+1=0，
即ac−b+1=0，结论③错误；
④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
∴x0=−b± b2−4ac2a，
∴± b2−4ac=2ax0+b，
∴b2−4ac=(2ax0+b)2，结论④正确．
∴正确的结论有①②④．
故选：B．
①由a+b+c=0，可得出x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，进而可得出Δ=b2−4ac≥0；
②由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，可得出Δ=−4ac>0，结合偶次方的非负性，可得出Δ=b2−4ac≥−4ac>0，进而可得出方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根；
③代入x=−c，可得出ac2−bc+c=0，当c=1时，无法得出ac+b+1=0；
④利用求根公式，可得出x0=−b± b2−4ac2a，变形后即可得出b2−4ac=(2ax0+b)2．
本题考查了根的判别式、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．

11.【答案】3 
【解析】解：原式= 9=3．
故答案为：3．
直接根据算术平方根的定义计算即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是关键．

12.【答案】125或3 74 
【解析】解：设该直角三角形的第三边的长度为c，该直角三角形的斜边上的高为h，
∵实数m、n满足|m−3|+ n−4=0，
∴m−3=0且n−4=0．
∴m=3，n=4．
当n=4为直角边时，则c= 42+32=5.此时12×3×4=12×5×h，则h=125．
当n=4为斜边时，则c= 42−32= 7.此时12×3× 7=12×4×h，则h=3 74．
综上所述，该直角三角形的斜边上的高为125或3 74．
故答案是：125或3 74．
利用非负数的性质求出m，n，再分两种情况根据勾股定理求得第三边的长度，结合等面积法求得答案．
本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”，属于中考常考题型．

13.【答案】2 
【解析】解：(1)设x2+y2=m，
原方程化为：(m+1)(m−2)=0，
∴m+1=0或m−2=0，
解得m1=−1，m2=2，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2=2．
故答案为：2．
设x2+y2=m，方程变形后用求根公式求解，再根据x2+y2≥0，这个条件确定最后结果．
本题考查了换元法解一元二次方程，掌握如何换元是解题关键．

14.【答案】3 2或6−3 2 
【解析】解：本题有两种情况：
如图1，过点A作AE⊥CD于点E，
∴∠AEC=90°
∵△ACD等腰直角三角形，
∴∠ACD=45°，
∴∠CAE=180°−∠AEC−∠ACD=45°，
∴AE=CE，
∴AE²+CE²=AC²
∵AC=6，
∴AE=3 2
∵∠BAC=45°，
∴∠ACD=∠BAC，
∴AB//CD，
∴点B到CD的距离等于点A到CD的距离，即AE的长
∴点B到CD的距离为：3 3．
如图2，AB、CD交于点E，
∵△ACD等腰直角三角形，
∴∠ACD=∠BAC=45°，
∴∠AEC=90°，AE=CE
∴AE²+CE²=AC²，
∵AC=6，
∴AE=3 2，
∴BE=AB−AE=6−3 3．
∴点B到CD的距离为6−3 2
综上所述：点B到CD的距离为3 2或6−3 2．
故答案为：3 2或6−3 2．
根据题意画出图形，分两种情况根据等腰直角三角形的性质即可求得点B到CD的距离．
本题考查了作图−复杂作图、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握等腰直角三角形的性质．

15.【答案】解：原式= 12−3+3− 3
=2 3− 3
= 3． 
【解析】先计算乘方、乘法和绝对值，然后再合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的运算法则是解决本题的关键．

16.【答案】解：移项得，x2−3x−1=0
∵a=1，b=−3，c=−1，
△=b2−4ac=(−3)2−4×1×(−1)=13>0，
∴方程有两个不等的实数根，
∴x=−b± b2−4ac2a=3± 9+42=3± 132． 
【解析】根据解方程的方法，先确定所选择的方法，再用这种方法解题即可．
本题考查了一元二次方程的解法．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．

17.【答案】解：(1)ab=( 5+2)( 5−2)=( 5)2−22=5−4=1；
(2)∵a= 5+2，b= 5−2，
∴a+b=( 5+2)+( 5−2)=2 5，
∴a2+b2−ab
=a2+2ab+b2−3ab
=(a+b)2−3ab
=(2 5)2−3×1
=17． 
【解析】(1)根据平方差公式计算；
(2)根据二次根式的加法法则求出a+b，根据完全平方公式把原式变形，把a+b、ab的值代入计算即可．
本题考查的是二次根式的加法、二次根式的乘法，掌握它们的运算法则是解题的关键．

18.【答案】(1)证明：∵在关于x的一元二次方程x2−kx+k−1=0中，
Δ=(−k)2−4×1×(k−1)
=k2−4k+4
=(k−2)2≥0，
∴无论k取何值，该方程总有实数根；
(2)解：把x=2代入方程x2−kx+k−1=0，
得4−2k+k−1=0，
解得k=3，
所以k的值为3． 
【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ=(k−2)2≥0，由此可证出无论k取何值，该方程总有实数根；
(2)把x=2代入方程x2−kx+k−1=0，即可求出k的值．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；②Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；③Δ