人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用公开课ppt课件

课题名

28.2.2.3 利用方位角、坡度角解直角三角形

教学目标

1．熟练地运用坡角、坡度概念来解决一些实际问题；

2．培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力；

3.培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法。

教学重点

理解坡角、坡度的概念;

教学难点

熟练地运用坡角、坡度概念来解决一些实际问题。

教学准备

教师准备：PPT、刻度尺、量角器、三角板.

学生准备：刻度尺、量角器、三角板.

教学过程

教学流程

教师活动

学生活动

设计意图

新课导入

读一读：在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．

如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，

即i＝.坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6. 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝＝tanα. 显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．

思考：利用上面知识能求路基的宽度吗？

培养观察能力，并引入新课。

典例剖析

坡度问题

例1：如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，其坡面的坡角分别是32°和28°，求路基下底的宽．(精确到0.1米)

解：作D E⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E、F.

由题意可知：

DE＝CF＝4.2米　EF＝CD＝12.51米

在Rt△ADE中，

在Rt△BCF中， 同理可得：

∴AB＝AE＋EF＋BF≈6.72＋12.51＋7.90≈27.1米

答：路基下底的宽约为27.1米

审题，明确已知条件与所求问题的关系。

    跟随老师的指导，解答。

明确探究范围，强调“方位角、坡度解”。

直观表象帮助学生建立新知模型，形成脑图。

培养学生数学学科素养，学会用数学语言表达证明步骤。

跟踪训练

由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70°方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37°方向.如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处,求还需航行的距离BD的长.

(参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,sin 37°≈ 0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)

拓展探究

∵四边形AFED是矩形,

∴EF=AD=6 m,AF=DE=7 m,

在Rt△ABF中,

∵∠B=45°,

∴BE=AF=7 m,

∴BC=BF+EF+EC≈7+6+12.12=25.12≈25.1(m).

答:该坝的坝高和坝底宽分别为7 m和25.1 m.

方法提炼

用方位角、坡度角解直角三角形的方法

(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型)；

(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数， 运用直角三角形的有关性质，解直角三角形；

(3)得到数学问题的答案；

(4)得到实际问题的答案．

链接中考

    一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20(＋1)海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西65°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为__2__海里/分．

随堂检测

4.如图,在一笔直的海岸线l上有相距2 km的A,B两个观测站,B站在A站的正东方向上,从A站测得船C在北偏东60°的方向上,从B站测得船C在北偏东30°的方向上,则船C到海岸线l的距离是　  km. 

5.如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC＝9.8 m，路基高BE＝5.8 m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.6，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值．

    解：过点C作CD⊥AD于点F，

      则CF＝BE，EF＝BC，∠A＝α，∠D＝β.

∵BE＝5.8 m, i＝1∶1.6, i′＝1∶2.5，

∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF＝2.5×5.8＝14.5(m)．

∴AD＝AE＋FE＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．

由tan α＝i＝1∶1.6，tan β＝i′＝1∶2.5，得

α≈32°，β≈22°.

答：铁路路基下底宽为33.6 m，斜坡的坡角分别为32°和22°.

课堂小结

教学反思

将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.