高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程第1课时教学设计及反思

3.3.1倾斜角与斜率（第一课时）

(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第三章)

一、教学目标

1．知识与技能

（1）理解直线的倾斜角和斜率的定义；

（2）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式，并会求直线的斜率。

    2．过程与方法

引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法。

    3．情感、态度与价值观

（1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路；

（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步了解分类讨论思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣；

（3）通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。

二、教学重难点

1.抽象概括直线的倾斜角和斜率概念，探究发现过两点的直线的斜率公式。

2.倾斜角概念形成，斜率概念的理解。

三、教学过程

（一）课题导入

在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点、线、面的关系研究几何图形的性质(形——数)。今天我们将采用坐标法通过代数运算研究几何图形性质（数——形），这门科学称为解析几何。它是17世纪法国数学家笛卡尔和费马共同创立的。

本节我们从最基本的知识——直线的倾斜角与倾斜开始。

【师生互动】教师引导学生阅读

【设计意图】通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育，简单了解用坐标法来解决新的问题。同时使学生明确本课学习的内容。

（二）师生互动，探究新知

探究一：直线的倾斜角

问题1:在直角坐标系中，下图中的四条直线在位置上有什么联系和区别？

【师生互动】生：观察图形，相互讨论，指定学生回答，教师给与补充、纠正。但是在倾斜角定义得出时会有困难。

师：给学生鼓励、引导，师生共同得出倾斜角概念：

【设计意图】探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念。

问题2:在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，可以用一个什么几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢？

【师生互动】在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线与轴相交时，轴正向与直线向上方向之间所成的角，叫做直线的倾斜角。规定：当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为0。根据定义，倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°。

【设计意图】让学生明确倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

问题3：练习：下列各图中标出的角α是直线的倾斜角吗？

【师生互动】学生独立完成

【设计意图】对概念的简单理解

探究二：直线的斜率

问题4：观察图中楼梯，我们发现坡越陡，坡面与地平面所成的角越大，你认为这个角的变化与图中哪个数量变化有关？坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？

【师生互动】师:引导学生在生活中举例，山坡，楼梯等，教师楼梯的教学情景。

【设计意图】基于学生的客观现实，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法。

问题5：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角α的正切值”，由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？

【师生互动】生：探索、交流。用数学语言表达自己的发现

【设计意图】探索描述直线的倾斜程度的代数表示，由此引出斜率概念

问题6：（1）当直线倾斜角为30o  45o  60o  90o  120o  150o时，它的斜率是什么？

（2）倾斜角为锐角、钝角的直线的斜率的取值范围分别是什么？

⑶倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系?

【师生互动】学生自己完成然后教师组织同桌间互相交流，共同得出结论。

【设计意图】加深概念理解。明确可以用斜率与倾斜角的关系

探究三：过两点的斜率公式

问题7：在直角坐标系中，经过两点 A（2，4）、B（－1，3）的直线有几条？直线AB的斜率是多少？

【师生互动】指定学生回答，如果有错误，教师组织学生纠正。

【设计意图】让学生自己推导出过两点的直线的斜率公式（特殊化）

问题8：已知直线上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且直线P1P2与x轴不垂直也不平行，即x1≠x2，y1≠y2，试确定直线P1P2与x轴的关系图，直线P1P2的斜率你会表示吗？

【师生互动】师生共同推导过两点的直线的斜率公式

【设计意图】探索得到过两点的直线的斜率公式（一般化）

问题9：(1)直线的倾斜角确定后，斜率k的值与点P1 ，P2的顺序是否有关?

⑵      当直线P1P2平行于x轴或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？

⑶当直线P1P2平行于y轴或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？

【师生互动】师生：总结两点式斜率计算公式：k=（x1≠x2）。

【设计意图】通过自己的探索，完善两点式斜率公式k=（x1≠x2），检验得到公式与P1，P2两点的顺序无关

（三）典例分析，能力提升

例1. 已知A(4, 2)，B(－8, 2)，C(0,－2)，求直线AB、AC、BC的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.

【师生互动】学生回答，教师对学生的回答进行评价。在整个练习过程中，教师做好课堂巡视，加强对学生个别指导.

【设计意图】根据斜率的定义式，结合图象，熟悉倾斜角和斜率的关系。

（四）梳理归纳，总结提升

（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？他们之间有什么关系？

（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？

（3）从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，到斜率（数）也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数学思想？

【师生互动】学生思考，回答，让学生归纳出刻画直线倾斜程度的两种方法：倾斜角（形）和斜率（数）。利用确定直线的两种方法，归纳出求斜率的两个计算公式。在倾斜角和斜率相互转化的过程中体现了数形结合的数学思想。强调“坐标法”是解决解析几何问题的基本方法。

【设计意图】总结本课所学知识，培养学生归纳知识能力及反思的习惯。

（五）课后作业，巩固提高

必做题： P89习题3.1A组：2,3，4；

选做题：P90习题3.1B组：6.

【师生互动】分层次布置作业

【设计意图】分层布置作业，使学有余力的同学的创造力得到进一步发挥。