2022-2023学年广东省梅州市兴宁市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

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这是一份2022-2023学年广东省梅州市兴宁市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省梅州市兴宁市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 已知a A. a+3>b+3 B. 2 a>2 b C. −a<−b D. a−b<0
3. 下列各式因式分解正确的是(    )
A. x2+3xy+9y2=(x+3y)2
B. 2x2−4xy+9y2=(2x−3y)2
C. x(x−y)+y(y−x)=(x−y)(x+y)
D. 2x2−8y2=2(x+2y)(x−2y)
4. 在平面直角坐标系内，把点P(−2,4)沿x轴方向向右平移一个单位，则得到的对应点P′的坐标是(    )
A. (−1,4) B. (−2,5) C. (−3,4) D. (−2,3)
5. 把分式xx+y(x≠0,y≠0)中的分子、分母的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值(    )
A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 缩小为原来的12 D. 不改变
6. 如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE=AD，则∠EDC等于(    )
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
7. 某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成x套桌凳，则所列方程正确的是(    )
A. 540x−2−540x=3 B. 540x+2−540x=3 C. 540x−540x+2=3 D. 540x−540x−2=3
8. 已知m2−n2=mn，则nm−mn的值等于(    )
A. 1 B. 0 C. −1 D. −14
9. 等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是(    )
A. 80° B. 80°或20° C. 80°或50° D. 20°
10. 如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD=1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF//BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF= 32；④S△AEF= 3.其中正确的有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 因式分解：ab2−25a= ______ ．
12. 要使分式1x+2有意义，x的取值应满足的条件是______ ．
13. 我们定义一种新运算：x⊗y=xy3−2y，如2⊗3=2×33−2×3=−4，则关于a的不等式2⊗a≤2的最小整数解为______ ．
14. 一个多边形所有内角都是135°，则这个多边形的边数为______．
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B，C的坐标分别为(− 2,0)，(2 2,0)，点A在y轴上，点D为AC的中点，DE⊥AB于点E，若∠ABD=∠DBC，则DE=______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
分解因式：a3+10a2+25a．
17. (本小题8.0分)
解不等式组：5x−6≤2(x+3)3−5x4<3x4−1，并把解集在数轴上表示出来．
18. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−4x+3)÷x2−1x2+6x+9，其中x=−4．
19. (本小题9.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点H是边AB上一点，连接CH．
(1)尺规作图：请作出∠ADC的角平分线，分别交CH、CB于点G、E，交AB的延长线于点F.(不写作法，保留作图痕迹)
(2)若点G恰好是线段CH的中点，求证：BF=AH．

20. (本小题9.0分)
如图，ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．
(1)求∠APB的度数；
(2)如果AD=5cm，AP=8cm，求△APB的周长．

21. (本小题9.0分)
某商店计划今年的圣诞节购进A、B两种纪念品若干件.若花费480元购进的A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的34，已知每件A种纪念品比每件B种纪念品多4元．
(1)求购进一件A种纪念品、一件B种纪念品各需多少元？
(2)若商店一次性购进A、B纪念品共200件，要使总费用不超过3000元，最少要购进多少件B种纪念品？
22. (本小题12.0分)
我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做非凡三角形．例如：某三角形三边长分别是 3，2和3，因为( 3)2+32=12=3×22，所以这个三角形是非凡三角形．
(1)判断：等腰直角三角形______非凡三角形(填“是”或“不是”)；
(2)若△ABC是非凡三角形，且AB=3，BC=6，则AC=______；
(3)如图，在▱ABCD中，AC⊥BD于点O，AB=6，且△ABD是非凡三角形，求AC的值．

23. (本小题12.0分)
如图1，点C、D是线段AB同侧两点，且AC=BD，∠CAB=∠DBA，连接BC，AD交于点 E．
(1)求证：AE=BE；
(2)如图2，△ABF与△ABD关于直线AB对称，连接EF．
①判断四边形ACBF的形状，并说明理由；
②若∠DAB=30°，AE=5，DE=3，求线段EF的长．

答案和解析

1.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

2.【答案】D
【解析】解：A、两边都加3，不等号的方向不变，故A不符合题意；
B、两边都乘以2，不等号的方向不变，故B不符合题意；
C、两边都乘以−1，不等号的方向改变，故C不符合题意；
D、两边都减b，不等号的方向不变，故D符合题意；
故选：D．
根据不等式的性质，可得答案．
本题考查了不等式的性质，不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

3.【答案】D
【解析】解：A.x2+6xy+9y2=(x+3y)2，因此选项A不符合题意；
B.4x2−12xy+9y2=(2x−3y)2，因此选项B不符合题意；
C.x(x−y)+y(y−x)=(x−y)(x−y)，因此选项C不符合题意；
D.2x2−8y2=2(x2−4y2)=2(x+2y)(x−2y)，因此选项D符合题意；
故选：D．
根据提公因式法与公式法逐项进行因式分解，再进行判断即可．
本题考查提公因式法与公式法分解因式，理解因式分解的意义，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的关键．

4.【答案】A
【解析】解：将点P(−2,4)向右平移1个单位长度，得到点′(−1,4)，
故选：A．
根据：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律即可解决问题．
本题考查坐标平移，记住坐标平移的规律是解决问题的关键．

5.【答案】D
【解析】解：2x2x+2y=xx+y，
故选：D．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．

6.【答案】A
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，
∵AD是等边三角形ABC的中线，
∴∠CAD=12∠BAC=30°，AD⊥BC，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵∠AED+∠ADE+∠CAD=180°，
∴∠ADE=75°，
∴∠EDC=15°，
故选：A．
由等边三角形的性质可求解∠CAD=30°，AD⊥BC，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ADE的度数，进而可求解．
本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，求解∠ADE的度数是解题的关键．

7.【答案】C
【解析】解：设原计划每天完成x套桌凳，则实际每天完成(x+2)套，
根据原计划完成的时间−实际完成的时间=3天，
得：540x−540x+2=3，
故选：C．
设原计划每天完成x套桌凳，则实际每天完成(x+2)套，根据原计划完成的时间−实际完成的时间=3天列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据原计划完成的时间−实际完成的时间=3天列出方程是解题的关键．

8.【答案】C
【解析】解：∵m2−n2=mn，且mn≠0，
∴mn−nm=m2−n2mn=mnmn=1，
∴nm−mn=−1，
故选：C．
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算和化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

9.【答案】B
【解析】解：分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时，底角为12(180°−80°)=50°；
②当80°角为底角时，另一底角也为80°，顶角为20°；
综上所述：等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是80°或20°；
故选：B．
分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时；②当80°角为底角时；容易得出结论．
本题是开放题目，考查了等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；注意分类讨论，避免漏解．

10.【答案】C
【解析】解：连接EC，作CH⊥EF于H．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，
∵EF//BC，
∴∠EFC=∠ACB=60°，
∴△EFC是等边三角形，CH= 32，
∴EF=EC=BD，∵EF//BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，
∵BD=CF=1，BA=BC，∠ABD=∠BCF，
∴△ABD≌△BCF，故①正确，
∵S平行四边形BDEF=BD⋅CH= 32，
故③正确，
S△AEF=23S△AEC=23⋅S△ABD= 32
故④错误，
故选：C．
连接EC，作CH⊥EF于H.首先证明△BAD≌△CAE，再证明△EFC是等边三角形即可解决问题；
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

11.【答案】a(b+5)(b−5)
【解析】解：ab2−25a，
=a(b2−25)，
=a(b+5)(b−5)．
先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，注意分解要彻底．

12.【答案】x≠−2
【解析】解：由题意可得：x+2≠0，
解得：x≠−2，
故答案为：x≠−2．
根据分式有意义的条件列不等式求解．
本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键．

13.【答案】−1
【解析】解：由题意x⊗y=xy3−2y
可得2⊗a=2×a3−2a=−43a
∴2⊗a≤2即−43a≤2
解得a≥−32
故不等式2⊗a≤2的最小整数解为−1．
故答案为：−1．
根据题中新定义化简不等式，再解不等式，即可得出最小整数解．
本题考查解一元一次不等式，本题解题的关键在于得出关于a的不等式．

14.【答案】8
【解析】解：∵所有内角都是135°，
∴每一个外角的度数是180°−135°=45°，
∵多边形的外角和为360°，
∴360°÷45°=8，
即这个多边形是八边形．
故答案为：8．
先求出每一外角的度数是45°，然后用多边形的外角和为360°÷45°进行计算即可得解．
本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之一．

15.【答案】2
【解析】解：过D点作DF⊥OC于F，如图，
∵点B，C的坐标分别为(− 2,0)，(2 2,0)，
∴OB= 2，OC=2 2，
∵∠ABD=∠DBC，即BD平分∠ABC，
∴DE=DF，
∵点D为AC的中点，
∴DA=DC，
∴S△ABD=S△CBD，
∴12DE⋅AB=12DF⋅BC，
∴AB=BC= 2+2 2=3 2，
在Rt△ABO中，OA= AB2−OB2= (3 2)2−( 2)2=4，
∵S△ABD+S△CBD=S△ABC，
∴12DE⋅AB+12DF⋅BC=12BC⋅AO，
即3 2DE+3 2DF=3 2×4，
∴DE=2．
故答案为2．
过D点作DF⊥OC于F，如图，根据角平分线的性质得到DE=DF，在根据三角形面积公式，由DA=DC得到S△ABD=S△CBD，所以AB=BC=3 2，接着利用勾股定理可计算出OA=4，然后利用三角形面积公式得到12DE⋅AB+12DF⋅BC=12BC⋅AO，从而可求出DE．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．利用面积法求出OA的长是解决问题的关键．

16.【答案】解：原式=a(a2+10a+25)
=a(a+5)2．
【解析】直接提取公因式a，再利用完全平方式分解因式即可．
本题考查了提公因式和公式法分解因式，正确计算是关键．

17.【答案】解：5x−6≤2(x+3)①3−5x4<3x4−1②，
由①得：x≤4，
由②得：x>2，
则不等式组的解集为2 在数轴上表示：
．
【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

18.【答案】解：(1−4x+3)÷x2−1x2+6x+9
=x+3−4x+3⋅(x+3)2(x+1)(x−1)
=x−11⋅x+3(x+1)(x−1)
=x+3x+1，
当x=−4时，原式=−4+3−4+1=−1−3=13．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

19.【答案】(1)解：如图．

(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠AFD=∠CDF，
∵G为CH的中点，
∴CG=HG，
∵∠CGD=∠HGF，
∴△CDG≌△HFG(AAS)，
∴FH=CD，
∴FH=AB，
∴FH−BH=AB−BH，
即BF=AH．
【解析】(1)根据角平分线的作图步骤进行作图即可．
(2)结合平行四边形的性质，证明△CDG≌△HFG，可得FH=CD=AB，进而可得BF=AH．
本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是学会利用数形结合思想进行解决问题．

20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CB，AB//CD
∴∠DAB+∠CBA=180°，
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=12(∠DAB+∠CBA)=90°，
在△APB中，
∴∠APB=180°−(∠PAB+∠PBA)=90°；

(2)∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB，
∵AB//CD，
∴∠PAB=∠DPA
∴∠DAP=∠DPA
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD=DP=5cm
同理：PC=CB=5cm
即AB=DC=DP+PC=10cm，
在Rt△APB中，AB=10cm，AP=8cm，
∴BP= 102−82=6(cm)
∴△APB的周长是6+8+10=24(cm)．
【解析】(1)根据平行四边形性质得出AD//CB，AB//CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB即可；
(2)求出AD=DP=5，BC=PC=5，求出DC=10=AB，即可求出答案．
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．

21.【答案】解：(1)设购进一件B种纪念品需x元，则购进一件A种纪念品需(x+4)元，
依题意，得：480x+4=34×480x，
解得：x=12，
经检验，x=12是原方程的解，且符合题意，
∴x+4=16．
答：购进一件A种纪念品需16元，购进一件B种纪念品需12元．
(2)设购进m件B种纪念品，则购进(200−m)件A种纪念品，
依题意得：16(200−m)+12m≤3000，
解得：m≥50．
答：最少要购进50件B种纪念品．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
(1)设购进一件B种纪念品需x元，则购进一件A种纪念品需(x+4)元，根据数量=总价÷单价，结合花费480元购进的A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的34，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设购进m件B种纪念品，则购进(200−m)件A种纪念品，根据总价=单价×数量，结合要使总费用不超过3000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．

22.【答案】是 15
【解析】解：(1)令等腰直角三角形的三个边分别为a，a， 2a，
∵a2+( 2a)2=3a，
∴等腰直角三角形是非凡三角形，
故答案为：是；
(2)∵AB=3，BC=6，
∴3 又∵△ABC是非凡三角形，
∴AB2+BC2=3AC2，
∴AC= 32+623= 15，
故答案为： 15；
(3)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO=12BD，
又∵AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD，
∴AD=AB=6，
∵△ABD是非凡三角形，
①当AB2+AD2=3BD2时，
则BD2=13(AB2+AD2)=24，
∴BD=2 6，
∴BO=12BD= 6，
在Rt△AOB中，AO= AB2−BO2= 30，
∴AC=2AO=2 30；
②当AB2+BD2=3AD2时，
则BD2=3AD2−AB2=2AD2=72，
∴BD=6 2，
∴BO=12BD=3 2，
在Rt△AOB中，AO= AB2−BO2=3 2，
∴AC=2AO=6 2；
③当AD2+BD2=3AB2时，与②情况相同；
∴AC的值为2 30或6 2．
(1)令等腰直角三角形的三个边分别为a，a， 2a，由a2+( 2a)2=3a2可知等腰直角三角形是非凡三角形；
(2)根据非凡三角形定义及三角形三边关系求出AC即可；
(3)根据四边形ABCD是平行四边形，得出AD=AB=6，由△ABD是非凡三角形，分情况计算AC的值即可．
本题主要考查四边形的综合题，正确理解非凡三角形的定义是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：在△ABC和△BAD中，
∵AC=BD∠CAB=∠DBAAB=BA，
∴△ABC≌△BAD(SAS)，
∴∠CBA=∠DAB，
∴AE=BE；
(2)解：①四边形ACBF为平行四边形；
理由是：由对称得：△DAB≌△FAB，
∴∠ABD=∠ABF=∠CAB，BD=BF，
∴AC//BF，
∵AC=BD=BF，
∴四边形ACBF为平行四边形；
②如图2，过F作FM⊥AD于，连接DF，
∵△DAB≌△FAB，
∴∠FAB=∠DAB=30°，AD=AF，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AB=3+5=8，
∵FM⊥AD，
∴AM=DM=4，
∵DE=3，
∴ME=1，
Rt△AFM中，由勾股定理得：FM= AF2−AM2= 82−42=4 3，
∴EF= 12+(4 3)2=7．
【解析】(1)利用SAS证△ABC≌△BAD可得．
(2)①根据题意知：AC=BD=BF，并由内错角相等可得AC//BF，所以由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得结论；
②如图2，作辅助线，证明△ADF是等边三角形，得AD=AB=3+5=8，根据等腰三角形三线合一得AM=DM=4，最后利用勾股定理可得FM和EF的长．
本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定的性质、等边三角形的性质和判定，勾股定理，本题中最后一问，有难度，恰当地作辅助线是解题的关键．