还剩17页未读，
继续阅读
2022-2023学年福建省宁德市福鼎四中八年级（下）期中数学试卷（含解析）
展开
这是一份2022-2023学年福建省宁德市福鼎四中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省宁德市福鼎四中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列交通标志是中心对称图形的为( )
A. B. C. D.
2. 若a
3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是( )
A. m2−9=(m−3)2 B. m2−m+1=m(m−1)
C. (m+1)2=m2+2m+1 D. m2+m=m(m+1)
4. 不等式x>3的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A. 2，3，4 B. 1， 2， 3 C. 4，6，8 D. 5，12，15
6. 可取下面哪组值说明“如果a=b，那么|a|=|b|”的逆命题是假命题( )
A. a=−1，b=1 B. a=−1，b=−1
C. a=1，b=2 D. a=1，b=1
7. 如图，DC⊥AE，垂足为C，且AC=CD，若用“HL”证明△ABC≌△DEC，则需添加的条件是( )
A. CE=BC
B. AB=DE
C. ∠A=∠D
D. ∠ABC=∠E
8. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=55°，将此三角形绕点B沿逆时针方向旋转后得到△A′BC′，若点C′恰好落在线段AC上，AB、A′C′交于点D，则∠A′BD等于( )
A. 80° B. 70° C. 60° D. 50°
9. 某商场促销，小明将促销信息告诉了妈妈，现假设商品的定价为x元，小明妈妈根据信息列出不等式0.9×(2x−150)<1300，那么小明告诉妈妈的信息是( )
A. 买两件等值的商品可减150元，再打九折，最后不超过1300元
B. 买两件等值的商品可打九折，再减150元，最后不超过1300元
C. 买两件等值的商品可减150元，再打九折，最后不到1300元
D. 买两件等值的商品可打九折，再减150元，最后不到1300元
10. 在平面直角坐标系xOy中，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，A(1,a)，B(b,−5)，C(b+t,−5)，其中2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 不等式3x−6≤0的解集是______ ．
12. 因式分解：a2−9=______．
13. 在用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”时，第一步应该假设______．
14. 如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD=5cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为______ cm．
15. 表1、表2分别是函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2中自变量x与函数y的对应值.则不等式y1>y2的解集是______ ．
表1
x
−4
−3
−2
−1
y
−2
−3
−4
−5
表2
x
−4
−3
−2
−1
y
−8
−6
−4
−2
16. 如图，已知△ABC，AB=AC，BC=16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE=4.将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合.则下列结论正确的有：______ .(填写序号)
①BD=8；②点E到AC的距离为3；③EM=163；④EM//AC．
三、解答题（本大题共8小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
因式分解：
(1)a(m+n)−3b(m+n)；
(2)x3−8x2+16x．
18. (本小题5.0分)
解不等式组：5x−2>3x+4x−12≤7−x．
19. (本小题5.0分)
如图，已知等边三角形ABC，点D，E分别在BC，CA的延长线上，AE=CD.求证：△ABE≌△CAD．
20. (本小题6.0分)
如图，方格纸上的每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(2,2)．
(1)把△ABC向左平移4格，画出得到的△A1B1C1，则△A1B1C1的面积为______ ；
(2)把△ABC绕点C按顺时针旋转90°，画出得到的△A2B2C2，则点A2的坐标为______ ．
21. (本小题6.0分)
如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“友好数”.如：①8=32−12；②16=52−32；③24=72−52，因此8，16，24都是“友好数”．
(1)32是“友好数”吗？为什么？
(2)若一个“友好数”能表示为两个连续奇数2k+1和2k−1(k为正整数)的平方差，则这个“友好数”是8的倍数吗？请用因式分解的方法进行说明．
22. (本小题7.0分)
如图，已知△ABC中，∠ACB=60°，BC
(2)在(1)的条件下，若AB=3 2，∠A=45°，求AC的长度．
23. (本小题8.0分)
福鼎市某商店准备购进A，B两种商品，A种商品每件进价20元，B种商品每件进价15元.商店为了获取一定的利润，将A种商品的每件售价定为65元，B种商品的每件售价定为45元．
(1)商店计划用不超过700元的资金购进A、B两种商品共40件，请问：A种商品的进货数量不超过多少件？
(2)“五一”期间，商店决定开展优惠活动，准备对每件A种商品的售价优惠a(10
在Rt△ABC中，AC=BC，将线段CA绕点C旋转α(0°<α<90°)，得到线段CD，连接AD、BD．
(1)如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为______；
(2)将线段CA绕点C顺时针旋转α时，
①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；
②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连接BE.用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2.【答案】D
【解析】解：∵a
∵a
∵a
∵a
故D符合题意，
故选：D．
根据不等式的性质①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，分别判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.m2−9≠(m−3)2，故本选项不符合题意；
B.m2−m+1≠m(m−1)，故选项不符合题意；
C.(m+1)2=m2+2m+1，是整式乘法，故选项不符合题意；
D.m2+m=m(m+1)，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
因式分解就是将一个多项式化成几个整式积的形式，据此进行判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4.【答案】B
【解析】解：不等式x>3的解集在数轴上表示为，
故选：B．
用数轴表示不等式x>3的解集即可．
本题考查不等式的解集，掌握用数轴表示不等式解集的方法是正确解答的前提．
5.【答案】B
【解析】解：A、∵22+32=13，42=16，
∴22+32≠42，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵12+( 2)2=3，( 3)2=3，
∴12+( 2)2=( 3)2，
∴能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵42+62=52，82=64，
∴42+62≠82，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵122+52=169，152=225，
∴122+52≠152，
∴不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：命题如果a=b，那么|a|=|b|的逆命题是如果|a|=|b|，那么a=b，
当a=−1，b=1时，|a|=|b|，而a≠b，说明如果|a|=|b|，那么a=b是假命题，
故选：A．
先写出原命题的逆命题，再根据绝对值的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确理解绝对值的性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：AB=DE，
理由是：∵DC⊥CE，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
AB=DEAC=CD，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)，
故选：B．
求出∠ACB=∠DCE=90°，根据HL推出即可．
本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
8.【答案】B
【解析】解：∵将△ABC绕点B沿逆时针方向旋转后得到△A′B′C′，
∴BC=BC′，
∴∠BCC′=∠C=55°，
∴∠CBC′=180°−∠C−∠BC′C=70°，
由旋转知，∠A′BD=∠CBC′=70°，
故选：B．
根据旋转的性质得BC=BC′，进而求出∠CBC′，即可求出答案．
本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由关系式0.9×(2x−150)<1300可知：
由2x−150，得出两件商品减150元，以及由0.9(2x−150)得出买两件打9折，
故可以理解为：买两件等值的商品可减150元，再打9折，最后不到1300元．
故选：C．
根据0.9×(2x−150)<1300，可以理解为买两件等值的商品可减150元，再打九折，最后得出总价小于1300元．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据已知得出最后打8折是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴b+b+t2=1，
整理得：b=1−t2，
∵2
故选：D．
根据等腰三角形三线合一可得点A在BC的垂直平分线上，则b=1−t2，即可求出b的取值范围．
本题主要考查了等腰三角形的性质，不等式的性质，解题的关键是掌握等腰三角形“三线合一”的性质，以及不等式的性质，平面直角坐标系中各个象限内点的坐标特征．
11.【答案】x≤2
【解析】解：3x−6≤0，
3x≤6，
x≤2，
故答案为：x≤2．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
12.【答案】(a+3)(a−3)
【解析】
【分析】
本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．a2−9可以写成a2−32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：a2−9=(a+3)(a−3)，
故答案为(a+3)(a−3)．
13.【答案】一个三角形中有两个角是直角
【解析】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”时，
第一步应该假设一个三角形中有两个角是直角，
故答案为：一个三角形中有两个角是直角．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
14.【答案】5
【解析】解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴PH=PD=5cm，
∵点E是射线OB上的动点，
∴PE的最小值为PH的值，即5cm．
故答案为：5．
过P点作PH⊥OB于H，如图，根据角平分线的性质得到PH=PD=1.5，然后根据垂线段最短求解．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
15.【答案】x<−2
【解析】解：因为一次函数y1=k1x+b1为减函数，一次函数y2=k2x+b2为增函数，
且x=−2时，y1=y2=−4，
所以当x<−2时，y1>y2，
即不等式y1>y2的解集是x<−2．
故答案为：x<−2．
观察表中数据易得一次函数y1=k1x+b1为减函数，一次函数y2=k2x+b2为增函数，由于x=−2时，y1=y2=−4，于是可判断当x<−2时，y1>y2．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16.【答案】①④
【解析】解：在△ABC中，AB=AC，BC=16，AD⊥BC，
∴BD=DC=12BC=8，故①正确；
如图，过点E作EF⊥AB于点F，EH⊥AC于点H，
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴AE平分∠BAC，
∴EH=EF，
∵BE是∠ABD的角平分线，
∵ED⊥BC，EF⊥AB，
∴EF=ED，
∴EH=ED=4，故②错误；
由折叠性质可得：EM=MC，DM+MC=DM+EM=CD=8，
设DM=x，则EM=8−x，
Rt△EDM中，EM2=DM2+DE2，
∴(8−x)2=42+x2，
解得：x=3，
∴EM=MC=5，故③错误；
方法一：
设AE=a，则AD=AE+ED=4+a，BD=8，
∴AB2=(4+a)2+82，
∵S△ABES△BDE=12AB×EF12BD×ED=12AE×BD12ED×BD，
∴AEED=ABBD，
∴a4=AB8，
∴AB=2a，
∴(4+a)2+82=(2a)2，
解得：a=203或a=−4(舍去)，
∴tanC=ADDC=203+48=43，
又∵tan∠EMD=EDDM=43，
∴∠C=∠EMD，
∴EM//AC，故④正确，
解法二：连接CE，由内心可知CE平分∠ACD，
∴∠GCE=∠ECD，
由折叠可知CM=EM，
∴∠MEC=∠ECM，
∴∠MEC=∠GCE，
∴EM//AC，故④正确，
故答案为：①④．
根据等腰三角形的性质即可判断①，根据角平分线的性质即可判断②，设DM=x，则EM=8−x，结合勾股定理和三角形面积公式进行分析求解，从而判断③，利用锐角三角函数可判断④．
本题考查解直角三角形，等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，掌握相关性质定理，正确添加辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(1)a(m+n)−3b(m+n)=(m+n)(a−3b)；
(2)x3−8x2+16x
=x(x2−8x+16)
=x(x−4)2．
【解析】(1)利用提公因式法进行分解，即可解答；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18.【答案】解：5x−2>3x+4①x−12≤7−x②，
由①得：x>3，
由②得：x≤5，
则不等式组的解集为3
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
19.【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵∠BAE=180°−∠BAC，∠ACD=180°−∠ACB，
∴∠BAE=∠ACD，
在△ABE和△CAD中，
AE=CD∠BAE=∠ACDAB=AC，
∴△ABE≌△CAD(SAS)．
【解析】根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，求出∠BAE=∠ACD，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理和等边三角形的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
20.【答案】152 (6,0)
【解析】解：(1)如图所示：△A1B1C1，点A1的坐标是(−2,2)．
△A1B1C1的面积为：12×5×3=152，
故答案为：152；
(2)如图所示：△A2B2C，点A2的坐标是(6,0)．
故答案为：(6,0)．
(1)根据平移性质找出对应点的坐标，再连接构成三角形即可；
(2)根据旋转性质找出对应点的位置，连接即可得到答案．
本题主要考查对作图−旋转变换，作图−平移变换等知识点的理解和掌握，能根据性质正确画图是解此题的关键．
21.【答案】解：(1)32是“友好数”，
∵32=92−72，
∴32是“友好数”；
(2)是，理由如下：
∵(2k+1)2−(2k−1)2
=(2k+1+2k−1)(2k+1−2k+1)
=4k×2
=8k，
∵k为正整数，
∴8k是8的倍数，
∴这个“友好数”是8的倍数．
【解析】(1)根据定义将32写成两个连续奇数的平方差形式，即可判定32是“友好数”；
(2)根据平方差公式计算得到多项式化简结果为8k，由此判断这个“友好数”是8的倍数．
此题考查了新定义运算、因式分解应用，平方差公式，解题的关键是正确理解题意并掌握平方差公式的计算．
22.【答案】解：(1)如图，∠PBC即为所求．
(2)如图，由(1)得∠APB=∠BPC=90°，
∵∠A=45°，
∴∠ABP=45°，∠PBC=30°，
在Rt△ABP中，AP=BP=AB⋅sin45°=3 2× 22=3，
在Rt△BPC中，PC=BP⋅tan30°=3× 33= 3，
∴AC=AP+PC=3+ 3．
【解析】(1)过点B作BP⊥AC于P即可．
(2)解直角三角形求出AP，PC即可．
本题考查作图−复杂作图，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)设A种商品的数量x件，B种商品的数量(40−x)件，
由题意，得20x+15(40−x)≤700，
解得x≤20，
∵x为正整数，
答：A种商品的进货数量不超过20件；
(2)令所获利润为W元，则W=(65−20−a)x+(45−15)(40−x)，
∴W=(15−a)x+1200，
当10
W随x的增大而增大，
∵x≥16，
∴x=20时，即A购买20件，B购买20件利润最大，
W最大=(1500−20a)元，
当15≤a<20，
∵W=(15−a)x+1200，
∴15−a<0，
∴W随x的增大而减小，
∴x=16时，即A购买16件，B购买24件利润最大，
答：A购买20件，B购买20件利润最大或A购买16件，B购买24件利润最大，利润最大．
【解析】(1)根据题意，列不等式，解答即可；
(2)根据一次函数的增减性求最值．
本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用问题，解答本题的关键是读懂题意，找到合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解．
24.【答案】解：(1)135°
(2)①依题意补全图形如图，
由旋转得：CD=CA=CB，∠ACD=α，
∴∠BCD=90°+α，
∵CD=CA，CD=CB，
∴∠ADC=180°−α2=90°−α2，∠BDC=180°−(90°+α)2=45°−α2，
∴∠ADB=∠ADC−∠BDC=90°−α2−45°+α2=45°；
② 2CE=2BE−AD．
证明：过点C作CG//BD，交EB的延长线于点G，
∵BC=CD，CE平分∠BCD，
∴CE垂直平分BD，
∴BE=DE，∠EFB=90°，
由①知，∠ADB=45°，
∴∠EBD=∠EDB=45°，
∴∠FEB=45°，
∵BD//CG，
∴∠ECG=∠EFB=90°，∠G=∠EBD=45°，
∴EC=CG，EG= 2EC，
∵∠ACE=90°−∠ECB，∠BCG=90°−∠ECB，
∴∠ACE=∠BCG，
在△ACE和△BCG中，
EC=GC,∠ACE=∠BCG,AC=BC,
∴△ACE≌△BCG(SAS)，
∴AE=BG，
∵EG=EB+BG=EB+AE=EB+ED−AD=2EB−AD，
∴ 2CE=2BE−AD．
【解析】解：(1)在Rt△ABC中，AC=BC，将线段CA绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)，
∴CD=CA=CB，∠ACD=α，
∴∠BCD=90°−α，
∵CD=CA，CD=CB，
∴∠ADC=180°−α2=90°−α2，∠BDC=180°−(90°−α)2=45°+α2，
∴∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°−α2+45°+α2=135°，
故答案为：135°；
(2)见答案．
(1)根据旋转的性质可得CD=CA=CB，根据等腰三角形的性质得出∠ADC=90°−α2，∠BDC=45°+α2，即可得∠ADB的度数；
(2)①依题意可补全图形，根据旋转的性质以及等腰三角形的性质即可求解；
②过点C作CG//BD，交EB的延长线于点G，根据等腰三角形的性质可得出CE垂直平分BD，求出∠G=∠EBD=45°.可得EC=CG，EG= 2EC，证明△ACE≌△BCG，可得AE=BG，根据线段的和差即可得出结论．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
2022-2023学年福建省宁德市福鼎四中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列交通标志是中心对称图形的为( )
A. B. C. D.
2. 若a
3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是( )
A. m2−9=(m−3)2 B. m2−m+1=m(m−1)
C. (m+1)2=m2+2m+1 D. m2+m=m(m+1)
4. 不等式x>3的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A. 2，3，4 B. 1， 2， 3 C. 4，6，8 D. 5，12，15
6. 可取下面哪组值说明“如果a=b，那么|a|=|b|”的逆命题是假命题( )
A. a=−1，b=1 B. a=−1，b=−1
C. a=1，b=2 D. a=1，b=1
7. 如图，DC⊥AE，垂足为C，且AC=CD，若用“HL”证明△ABC≌△DEC，则需添加的条件是( )
A. CE=BC
B. AB=DE
C. ∠A=∠D
D. ∠ABC=∠E
8. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=55°，将此三角形绕点B沿逆时针方向旋转后得到△A′BC′，若点C′恰好落在线段AC上，AB、A′C′交于点D，则∠A′BD等于( )
A. 80° B. 70° C. 60° D. 50°
9. 某商场促销，小明将促销信息告诉了妈妈，现假设商品的定价为x元，小明妈妈根据信息列出不等式0.9×(2x−150)<1300，那么小明告诉妈妈的信息是( )
A. 买两件等值的商品可减150元，再打九折，最后不超过1300元
B. 买两件等值的商品可打九折，再减150元，最后不超过1300元
C. 买两件等值的商品可减150元，再打九折，最后不到1300元
D. 买两件等值的商品可打九折，再减150元，最后不到1300元
10. 在平面直角坐标系xOy中，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，A(1,a)，B(b,−5)，C(b+t,−5)，其中2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 不等式3x−6≤0的解集是______ ．
12. 因式分解：a2−9=______．
13. 在用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”时，第一步应该假设______．
14. 如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD=5cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为______ cm．
15. 表1、表2分别是函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2中自变量x与函数y的对应值.则不等式y1>y2的解集是______ ．
表1
x
−4
−3
−2
−1
y
−2
−3
−4
−5
表2
x
−4
−3
−2
−1
y
−8
−6
−4
−2
16. 如图，已知△ABC，AB=AC，BC=16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE=4.将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合.则下列结论正确的有：______ .(填写序号)
①BD=8；②点E到AC的距离为3；③EM=163；④EM//AC．
三、解答题（本大题共8小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
因式分解：
(1)a(m+n)−3b(m+n)；
(2)x3−8x2+16x．
18. (本小题5.0分)
解不等式组：5x−2>3x+4x−12≤7−x．
19. (本小题5.0分)
如图，已知等边三角形ABC，点D，E分别在BC，CA的延长线上，AE=CD.求证：△ABE≌△CAD．
20. (本小题6.0分)
如图，方格纸上的每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(2,2)．
(1)把△ABC向左平移4格，画出得到的△A1B1C1，则△A1B1C1的面积为______ ；
(2)把△ABC绕点C按顺时针旋转90°，画出得到的△A2B2C2，则点A2的坐标为______ ．
21. (本小题6.0分)
如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“友好数”.如：①8=32−12；②16=52−32；③24=72−52，因此8，16，24都是“友好数”．
(1)32是“友好数”吗？为什么？
(2)若一个“友好数”能表示为两个连续奇数2k+1和2k−1(k为正整数)的平方差，则这个“友好数”是8的倍数吗？请用因式分解的方法进行说明．
22. (本小题7.0分)
如图，已知△ABC中，∠ACB=60°，BC
(2)在(1)的条件下，若AB=3 2，∠A=45°，求AC的长度．
23. (本小题8.0分)
福鼎市某商店准备购进A，B两种商品，A种商品每件进价20元，B种商品每件进价15元.商店为了获取一定的利润，将A种商品的每件售价定为65元，B种商品的每件售价定为45元．
(1)商店计划用不超过700元的资金购进A、B两种商品共40件，请问：A种商品的进货数量不超过多少件？
(2)“五一”期间，商店决定开展优惠活动，准备对每件A种商品的售价优惠a(10
在Rt△ABC中，AC=BC，将线段CA绕点C旋转α(0°<α<90°)，得到线段CD，连接AD、BD．
(1)如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为______；
(2)将线段CA绕点C顺时针旋转α时，
①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；
②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连接BE.用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2.【答案】D
【解析】解：∵a
∵a
∵a
∵a
故D符合题意，
故选：D．
根据不等式的性质①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，分别判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.m2−9≠(m−3)2，故本选项不符合题意；
B.m2−m+1≠m(m−1)，故选项不符合题意；
C.(m+1)2=m2+2m+1，是整式乘法，故选项不符合题意；
D.m2+m=m(m+1)，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
因式分解就是将一个多项式化成几个整式积的形式，据此进行判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4.【答案】B
【解析】解：不等式x>3的解集在数轴上表示为，
故选：B．
用数轴表示不等式x>3的解集即可．
本题考查不等式的解集，掌握用数轴表示不等式解集的方法是正确解答的前提．
5.【答案】B
【解析】解：A、∵22+32=13，42=16，
∴22+32≠42，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵12+( 2)2=3，( 3)2=3，
∴12+( 2)2=( 3)2，
∴能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵42+62=52，82=64，
∴42+62≠82，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵122+52=169，152=225，
∴122+52≠152，
∴不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：命题如果a=b，那么|a|=|b|的逆命题是如果|a|=|b|，那么a=b，
当a=−1，b=1时，|a|=|b|，而a≠b，说明如果|a|=|b|，那么a=b是假命题，
故选：A．
先写出原命题的逆命题，再根据绝对值的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确理解绝对值的性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：AB=DE，
理由是：∵DC⊥CE，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
AB=DEAC=CD，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)，
故选：B．
求出∠ACB=∠DCE=90°，根据HL推出即可．
本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
8.【答案】B
【解析】解：∵将△ABC绕点B沿逆时针方向旋转后得到△A′B′C′，
∴BC=BC′，
∴∠BCC′=∠C=55°，
∴∠CBC′=180°−∠C−∠BC′C=70°，
由旋转知，∠A′BD=∠CBC′=70°，
故选：B．
根据旋转的性质得BC=BC′，进而求出∠CBC′，即可求出答案．
本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由关系式0.9×(2x−150)<1300可知：
由2x−150，得出两件商品减150元，以及由0.9(2x−150)得出买两件打9折，
故可以理解为：买两件等值的商品可减150元，再打9折，最后不到1300元．
故选：C．
根据0.9×(2x−150)<1300，可以理解为买两件等值的商品可减150元，再打九折，最后得出总价小于1300元．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据已知得出最后打8折是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴b+b+t2=1，
整理得：b=1−t2，
∵2
故选：D．
根据等腰三角形三线合一可得点A在BC的垂直平分线上，则b=1−t2，即可求出b的取值范围．
本题主要考查了等腰三角形的性质，不等式的性质，解题的关键是掌握等腰三角形“三线合一”的性质，以及不等式的性质，平面直角坐标系中各个象限内点的坐标特征．
11.【答案】x≤2
【解析】解：3x−6≤0，
3x≤6，
x≤2，
故答案为：x≤2．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
12.【答案】(a+3)(a−3)
【解析】
【分析】
本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．a2−9可以写成a2−32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：a2−9=(a+3)(a−3)，
故答案为(a+3)(a−3)．
13.【答案】一个三角形中有两个角是直角
【解析】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”时，
第一步应该假设一个三角形中有两个角是直角，
故答案为：一个三角形中有两个角是直角．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
14.【答案】5
【解析】解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴PH=PD=5cm，
∵点E是射线OB上的动点，
∴PE的最小值为PH的值，即5cm．
故答案为：5．
过P点作PH⊥OB于H，如图，根据角平分线的性质得到PH=PD=1.5，然后根据垂线段最短求解．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
15.【答案】x<−2
【解析】解：因为一次函数y1=k1x+b1为减函数，一次函数y2=k2x+b2为增函数，
且x=−2时，y1=y2=−4，
所以当x<−2时，y1>y2，
即不等式y1>y2的解集是x<−2．
故答案为：x<−2．
观察表中数据易得一次函数y1=k1x+b1为减函数，一次函数y2=k2x+b2为增函数，由于x=−2时，y1=y2=−4，于是可判断当x<−2时，y1>y2．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16.【答案】①④
【解析】解：在△ABC中，AB=AC，BC=16，AD⊥BC，
∴BD=DC=12BC=8，故①正确；
如图，过点E作EF⊥AB于点F，EH⊥AC于点H，
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴AE平分∠BAC，
∴EH=EF，
∵BE是∠ABD的角平分线，
∵ED⊥BC，EF⊥AB，
∴EF=ED，
∴EH=ED=4，故②错误；
由折叠性质可得：EM=MC，DM+MC=DM+EM=CD=8，
设DM=x，则EM=8−x，
Rt△EDM中，EM2=DM2+DE2，
∴(8−x)2=42+x2，
解得：x=3，
∴EM=MC=5，故③错误；
方法一：
设AE=a，则AD=AE+ED=4+a，BD=8，
∴AB2=(4+a)2+82，
∵S△ABES△BDE=12AB×EF12BD×ED=12AE×BD12ED×BD，
∴AEED=ABBD，
∴a4=AB8，
∴AB=2a，
∴(4+a)2+82=(2a)2，
解得：a=203或a=−4(舍去)，
∴tanC=ADDC=203+48=43，
又∵tan∠EMD=EDDM=43，
∴∠C=∠EMD，
∴EM//AC，故④正确，
解法二：连接CE，由内心可知CE平分∠ACD，
∴∠GCE=∠ECD，
由折叠可知CM=EM，
∴∠MEC=∠ECM，
∴∠MEC=∠GCE，
∴EM//AC，故④正确，
故答案为：①④．
根据等腰三角形的性质即可判断①，根据角平分线的性质即可判断②，设DM=x，则EM=8−x，结合勾股定理和三角形面积公式进行分析求解，从而判断③，利用锐角三角函数可判断④．
本题考查解直角三角形，等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，掌握相关性质定理，正确添加辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(1)a(m+n)−3b(m+n)=(m+n)(a−3b)；
(2)x3−8x2+16x
=x(x2−8x+16)
=x(x−4)2．
【解析】(1)利用提公因式法进行分解，即可解答；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18.【答案】解：5x−2>3x+4①x−12≤7−x②，
由①得：x>3，
由②得：x≤5，
则不等式组的解集为3
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
19.【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵∠BAE=180°−∠BAC，∠ACD=180°−∠ACB，
∴∠BAE=∠ACD，
在△ABE和△CAD中，
AE=CD∠BAE=∠ACDAB=AC，
∴△ABE≌△CAD(SAS)．
【解析】根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，求出∠BAE=∠ACD，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理和等边三角形的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
20.【答案】152 (6,0)
【解析】解：(1)如图所示：△A1B1C1，点A1的坐标是(−2,2)．
△A1B1C1的面积为：12×5×3=152，
故答案为：152；
(2)如图所示：△A2B2C，点A2的坐标是(6,0)．
故答案为：(6,0)．
(1)根据平移性质找出对应点的坐标，再连接构成三角形即可；
(2)根据旋转性质找出对应点的位置，连接即可得到答案．
本题主要考查对作图−旋转变换，作图−平移变换等知识点的理解和掌握，能根据性质正确画图是解此题的关键．
21.【答案】解：(1)32是“友好数”，
∵32=92−72，
∴32是“友好数”；
(2)是，理由如下：
∵(2k+1)2−(2k−1)2
=(2k+1+2k−1)(2k+1−2k+1)
=4k×2
=8k，
∵k为正整数，
∴8k是8的倍数，
∴这个“友好数”是8的倍数．
【解析】(1)根据定义将32写成两个连续奇数的平方差形式，即可判定32是“友好数”；
(2)根据平方差公式计算得到多项式化简结果为8k，由此判断这个“友好数”是8的倍数．
此题考查了新定义运算、因式分解应用，平方差公式，解题的关键是正确理解题意并掌握平方差公式的计算．
22.【答案】解：(1)如图，∠PBC即为所求．
(2)如图，由(1)得∠APB=∠BPC=90°，
∵∠A=45°，
∴∠ABP=45°，∠PBC=30°，
在Rt△ABP中，AP=BP=AB⋅sin45°=3 2× 22=3，
在Rt△BPC中，PC=BP⋅tan30°=3× 33= 3，
∴AC=AP+PC=3+ 3．
【解析】(1)过点B作BP⊥AC于P即可．
(2)解直角三角形求出AP，PC即可．
本题考查作图−复杂作图，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)设A种商品的数量x件，B种商品的数量(40−x)件，
由题意，得20x+15(40−x)≤700，
解得x≤20，
∵x为正整数，
答：A种商品的进货数量不超过20件；
(2)令所获利润为W元，则W=(65−20−a)x+(45−15)(40−x)，
∴W=(15−a)x+1200，
当10
W随x的增大而增大，
∵x≥16，
∴x=20时，即A购买20件，B购买20件利润最大，
W最大=(1500−20a)元，
当15≤a<20，
∵W=(15−a)x+1200，
∴15−a<0，
∴W随x的增大而减小，
∴x=16时，即A购买16件，B购买24件利润最大，
答：A购买20件，B购买20件利润最大或A购买16件，B购买24件利润最大，利润最大．
【解析】(1)根据题意，列不等式，解答即可；
(2)根据一次函数的增减性求最值．
本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用问题，解答本题的关键是读懂题意，找到合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解．
24.【答案】解：(1)135°
(2)①依题意补全图形如图，
由旋转得：CD=CA=CB，∠ACD=α，
∴∠BCD=90°+α，
∵CD=CA，CD=CB，
∴∠ADC=180°−α2=90°−α2，∠BDC=180°−(90°+α)2=45°−α2，
∴∠ADB=∠ADC−∠BDC=90°−α2−45°+α2=45°；
② 2CE=2BE−AD．
证明：过点C作CG//BD，交EB的延长线于点G，
∵BC=CD，CE平分∠BCD，
∴CE垂直平分BD，
∴BE=DE，∠EFB=90°，
由①知，∠ADB=45°，
∴∠EBD=∠EDB=45°，
∴∠FEB=45°，
∵BD//CG，
∴∠ECG=∠EFB=90°，∠G=∠EBD=45°，
∴EC=CG，EG= 2EC，
∵∠ACE=90°−∠ECB，∠BCG=90°−∠ECB，
∴∠ACE=∠BCG，
在△ACE和△BCG中，
EC=GC,∠ACE=∠BCG,AC=BC,
∴△ACE≌△BCG(SAS)，
∴AE=BG，
∵EG=EB+BG=EB+AE=EB+ED−AD=2EB−AD，
∴ 2CE=2BE−AD．
【解析】解：(1)在Rt△ABC中，AC=BC，将线段CA绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)，
∴CD=CA=CB，∠ACD=α，
∴∠BCD=90°−α，
∵CD=CA，CD=CB，
∴∠ADC=180°−α2=90°−α2，∠BDC=180°−(90°−α)2=45°+α2，
∴∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°−α2+45°+α2=135°，
故答案为：135°；
(2)见答案．
(1)根据旋转的性质可得CD=CA=CB，根据等腰三角形的性质得出∠ADC=90°−α2，∠BDC=45°+α2，即可得∠ADB的度数；
(2)①依题意可补全图形，根据旋转的性质以及等腰三角形的性质即可求解；
②过点C作CG//BD，交EB的延长线于点G，根据等腰三角形的性质可得出CE垂直平分BD，求出∠G=∠EBD=45°.可得EC=CG，EG= 2EC，证明△ACE≌△BCG，可得AE=BG，根据线段的和差即可得出结论．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
相关试卷
福建省宁德市福鼎市2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）： 这是一份福建省宁德市福鼎市2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省宁德市蕉城区八年级（下）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年福建省宁德市蕉城区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省宁德市福鼎市2022-2023学年七年级上学期期中数学试卷： 这是一份福建省宁德市福鼎市2022-2023学年七年级上学期期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
