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2022-2023学年广东省揭阳市普宁市赤岗中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省揭阳市普宁市赤岗中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省揭阳市普宁市赤岗中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 已知等腰三角形的两边长分别为4cm、8cm，则该等腰三角形的底边长是( )
A. 12cm B. 8cm C. 4cm或8cm D. 4cm
3. 已知点M(m+2,−1)在第四象限，则m的取值范围是( )
A. m>−2 B. m<−2 C. m>0 D. −2
A. (−1,1) B. (−1,−2) C. (−1,2) D. (1,2)
5. 下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 对顶角相等 B. 同位角相等
C. 若a2=b2，则a=b D. 若a>b，则−2a>−2b
6. 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为( )
A. 30°
B. 45°
C. 90°
D. 135°
7. 一次函数y=3x+b和y=ax−3的图象如图所示，其交点为P(−2,−5)，则不等式3x+b>ax−3的解集在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，△DAF沿直线AD平移得到△CDE，CE，AF的延长线交于点B.若∠AFD=111°，则∠CED的度数为( )
A. 69° B. 111° C. 112° D. 113°
9. 若关于x的不等式组3−2x≥1x≥m+1共有2个整数解，则m的取值范围是( )
A. m=−1 B. −2
A. 15 B. 16 C. 17 D. 15.5
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若4x2m−3+1>−1是关于x的一元一次不等式，则m=______．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为______ ．
13. 若关于x的方程x−m=6的解满足不等式2x+1>3，则m的取值范围是______ ．
14. 如图，将直角△ABC沿CB边向右平移得到△DFE，DE交AB于点G.∠ABC=90°，AB=9cm，BF=3cm，AG=4cm，则图中阴影部分的面积为______ cm2．
15. 如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=16，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=4，则OM= ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解下列不等式组，并写出它的最大整数解．
x+5<0①3x−12≥2x+1②．
17. (本小题8.0分)
如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上(网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度)，将△ABC平移，使点A平移到图中A1的位置，点B的对应点是B1，点C的对应点是C1．
(1)画出平移后的△A1B1C1；
(2)线段AC在平移的过程中扫过的面积是______ ．
18. (本小题8.0分)
如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B=50°，∠C=60°．
(1)求∠ADC的度数．
(2)若DE=5，点F是AC上的动点，求DF的最小值．
19. (本小题9.0分)
某校为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和象棋供兴趣小组活动使用，若购买4副围棋5副象棋的价钱为114元，购买8副围棋3副象棋的价钱为158元．
(1)求每副围棋和每副象棋各多少元？
(2)学校决定购买围棋和象棋共40副，总费用不超过553元，那么学校最多可以购买多少副围棋？
20. (本小题9.0分)
如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．
(1)求证：△ADE≌△BEC；
(2)若DE=2，求DC的长．
21. (本小题9.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，连结BB′．
(1)说明△CAA′为等边三角形；
(2)求△A′BB′的周长．
22. (本小题12.0分)
甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y(千米)与时间t(小时)之间的函数关系；线段BD表示轿车离甲地距离y2(千米)与时间t(小时)之间的函数关系.点B的坐标是(1.5,0)，点C在线段BD上，
请根据图象解答下列问题：
(1)y1的表达式为______ ，y2的表达式为______ ；
(2)当轿车与货车相遇时，求此时t的值；
(3)当轿车与货车都在行驶时，问t在什么范围时，轿车与货车之间的距离小于30千米．
23. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系中，点A(2,a)，B(b,2)，若a，b满足 a−4+(a−b+2)2=0．
(1)求点A，B的坐标；
(2)如图1，连接OA，OB，AB，求△OAB的面积；
(3)如图2，将线段AB平移到EF，点E在x轴上，点F在y轴上，点D在直线EF上，且点D的纵坐标为t，当满足12S△DOE≥23S△AOB时，求t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意可得，
A、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形定义及中心对称图形定义逐个判断即可得到答案．
本题考查中心对称图形及轴对称图形的判断，解题的关键是熟练掌握两种图形的性质及判断的方法．
2.【答案】D
【解析】解：当腰长为4cm时，4+4=8cm，不符合三角形三边关系，故舍去，
当腰长为8cm时，符合三边关系，底边长为4cm，
故该三角形的底边为4cm，
故选：D．
题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵点M(m+2,−1)在第四象限，
∴m+2>0，
则m>−2，
故选：A．
根据第四象限内点的坐标符号特点列出不等式，解之即可．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
4.【答案】A
【解析】[分析]
根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．
本题考查了坐标的平移，掌握坐标平移变化规律是本题的解题关键．
[解答]
解：∵将点A(1,−2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，
∴点A′的横坐标为1−2=−1，纵坐标为−2+3=1，
∴A′的坐标为(−1,1)．
故选A．
5.【答案】C
【解析】解：A.“对顶角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这个命题是假命题，故不合题意；
B.“同位角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是同位角”，这个命题是假命题，故不合题意；
C.“若a2=b2，则a=b”其逆命题为“若a=b，则a2=b2”，这个命题是真命题，故符合题意：
D.“若a>b，则−2a>−2b”其逆命题为“若−2a>−2b，则a>b”，这个命题是假命题，故不合题意．
故选：C．
逆命题就是对换原命题的题设和结论之后的命题，对每一个选项的逆命题进行分析判断出正确答案即可．
主要考查逆命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，分别判断四个选项的逆命题的正确与否是解决本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，
∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，
∴旋转的角度为90°．
故选：C．
根据旋转的性质，对应边的夹角∠BOD即为旋转角．
本题考查了旋转的性质，熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：从图象得到，当x>−2时，y=3x+b的图象对应的点在函数y=ax−3的图象上面，
∴不等式3x+b>ax−3的解集为x>−2．
故选：C．
函数y=3x+b和y=ax−3的图象交于点P(−2,−5)，求不等式3x+b>ax−3的解集，就是看函数在什么范围内y=3x+b的图象对应的点在函数y=ax−3的图象上面．
本题考查了一次函数与不等式(组)的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点(交点、原点等)，数形结合即可得解．
8.【答案】B
【解析】解：∵△DAF沿直线AD平移得到△CDE，
∴∠CED=∠AFD=111°，
故选：B．
根据平移的性质即可得到结论．
本题考查了平移的性质，掌握平移前后图形的形状大小都不会发生改变是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：解不等式3−2x≥1，得：x≤1，
∵不等式组共有2个整数解，
∴不等式组的整数解为1、0，
则−1
解不等式3−2x≥1得x≤1，结合不等式组的整数解个数得出其整数解情况，据此列出关于m的不等式组，解之即可．
本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据不等式组的整数解情况得出关于m的不等式组．
10.【答案】A
【解析】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP=PC，
∴△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP，
∵两点之间线段最短，
∴AP+BP≥AB，
∴△APC的周长=AC+AP+BP≥AC+AB，
∵AC=7，AB=8，
∴△APC周长最小为AC+AB=15，
故选：A．
根据垂直平分线的性质BP=PC，所以△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP≥AC+AB=9．
本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短．解题的关键是能得出AP+BP≥AB．
11.【答案】2
【解析】解：∵4x2m−3+1>−1是关于x的一元一次不等式，
∴2m−3=1，
解得：m=2，
故答案为：2．
根据一元一次不等式的定义可得2m−3=1，分别进行求解即可．
本题主要考查一元一次不等式的定义，解题的关键是明确一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．
12.【答案】(−1,0)
【解析】解：CC′的中点坐标是(−1,0)，
故答案为：(−1,0)．
对应点连线的中点即为对称中心的坐标，以此来求解即可．
本题考查了中心对称变换，掌握根据对应点找出对称中心的方法是求解的关键．
13.【答案】m>−5
【解析】解：解方程x−m=6得：x=6+m，
解不等式2x+1>3得：x>1，
∵关于x的方程x−m=6的解满足不等式2x+1>3，
∴6+m>1，
解得：m>−5．
故答案为：m>−5．
先根据等式的性质求出方程的解，再根据不等式的性质求出不等式的解集，根据题意得出6+m>1，再求出答案即可．
本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程的解，能求出6+m>1是解此题的关键．
14.【答案】21
【解析】解：由平移的性质可知：DF=AB=9cm，
∵AB=9cm，AG=4cm，
∴BG=AB−AG=5cm，
∴S阴影部分=12×(5+9)×3=21(cm2)，
故答案为：21．
根据平移的性质求出BG，再根据梯形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是平移的性质、梯形的面积计算，熟记梯形的面积公式是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：过点P作PD⊥OB，垂足为D，
∴∠PDO=90°，
∵∠AOB=60°，
∴∠OPD=90°−∠AOB=30°，
∵OP=16，
∴OD=12OP=8，
∵PM=PN，PD⊥MN，
∴DM=12MN=2，
∴OM=OD−DM=6，
故答案为：6．
过点P作PD⊥OB，垂足为D，根据垂直定义可得∠PDO=90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠OPD=30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得OD=8，再利用等腰三角形的三线合一性质可得DM=2，最后进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16.【答案】解：解不等式①得：x<−5；
解不等式②得：x≤−3；
∴不等式组的解集为：x<−5，
∴不等式组的最大整数解为x=−6．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】9
【解析】(1)解：如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)线段AC在平移的过程中扫过的面积=3×6−2×12×2×3−2×12×1×3=9．
故答案为：9．
(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用分割法求解可得结论．
本题考查作图−平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用分割法求面积．
18.【答案】解：(1)∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=70°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD=12×70°=35°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=85°；
(2)∵点F是AC上的动点，
∴当DF⊥AC时，DF最小，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=5．
【解析】(1)根据三角形内角和求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAD，再利用外角的性质求解；
(2)根据垂线段最短得到当DF⊥AC时，DF最小，再利用角平分线的性质求出DF=DE=5．
本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，角平分线的性质，垂线段最短，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本定理和知识．
19.【答案】解：(1)设每副围棋x元，每副象棋y元，
根据题意得：4x+5y=1148x+3y=158，
解得：x=16y=10．
答：每副围棋16元，每副象棋10元；
(2)设学校购买m副围棋，则购买(40−m)副象棋，
根据题意得：16m+10(40−m)≤553，
解得：m≤512，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为25．
答：学校最多可以购买25副围棋．
【解析】(1)设每副围棋x元，每副象棋y元，根据“购买4副围棋5副象棋的价钱为114元，购买8副围棋3副象棋的价钱为158元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设学校购买m副围棋，则购买(40−m)副象棋，利用总价=单价×数量，结合总价不超过553元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20.【答案】(1)证明：∵∠1=∠2，
∴ED=CE，
∵∠A=∠B=90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
ED=CEAE=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)；
(2)解：由(1)得Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠AED=∠BCE，
∵∠B=90°，
∴∠BCE+∠CEB=90°，
∴∠AED+∠CEB=90°，
∴∠DEC=180°−(∠AED+∠CEB)=180°−90°=90°，
∵DE=2，由(1)知DE=CE，
∴CE=2，
∵∠DEC=90°，
∴CD= DE2+CE2= 22+22=2 2．
【解析】(1)利用HL即可证明△ADE≌△BEC；
(2)证明∠DEC=90°，结合(1)根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到Rt△ADE≌Rt△BEC．
21.【答案】解：(1)∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，
∴CA=CA′，CB=CB′，∠ACA′=∠BCB′，
∵CA=CA′，∠A=60°，
∴△CAA′为等边三角形；
(2)解：∵△CAA′为等边三角形，
∴∠ACA′=60°，AA′=AC=1，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠A′CB=∠A′BC=30°，
∴A′B=A′C=1，
∴AB=2，BC= AB2−AC2= 3，
∵CB=CB′，∠BCB′=60°，
∴△CBB′为等边三角形，
∴BB′=CB= 3，
∴△A′BB′的周长为A′B+AB′+BB′=2+1+ 3=3+ 3，
故答案为：3+ 3．
【解析】(1)根据旋转的性质得到CA=CA′，CB=CB′，∠ACA′=∠BCB′，则可判断△CAA′为等边三角形；
(2)推出∠ACA′=60°，证明A′B=A′C=1，求出AB，BC，然后判断△CBB′为等边三角形，从而得到BB′的长，于是得到结论．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质及勾股定理．
22.【答案】y1=60t y2=100t−150
【解析】解：(1)设y1与t的函数表达式为y1=kt，
∵点(5,300)在该函数图象上，
∴300=5k，
解得k=60，
即y1与t的函数表达式为y1=60t；
设y2与t的函数表达式为y2=at+b，
∵点(1.5,0)，(4.5,300)在该函数图象上，
∴1.5a+b=04.5a+b=300，
解得a=100b=−150，
即y2与t的函数表达式为y2=100t−150；
故答案为：y1=60t；y2=100t−150；
(2)当两车相遇时，y1=y2，
即60t=100t−150，
解得t=3.75，
∴当t=3.75时，轿车与货车相遇；
(3)由题意可得：
60t−(100t−150)<30100t−150−60t<30，
解得3
(2)令y1=y2，求出相应的x的值即可；
(3)根据题意可得到关于t的不等式组，然后求解即可．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式和列出相应的不等式组．
23.【答案】解：(1)∵ a−4+(a−b+2)2=0，
∴a−4=0a−b+2=0，
解得：a=4b=6，
∴点A(2,4)，B(6,2)；
(2)如图1，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
则四边形ACDB为梯形，
∵点A(2,4)，B(6,2)，
∴AC=4，OC=2，OD=6，BD=2，CD=6−2=4，
∴S△OAB=S△AOC+S梯形ACDB−S△BOD=12OC⋅AC+12(AC+BD)⋅CD−12BD⋅OD=12×2×4+12×(4+2)×4−12×2×6=4+12−6=10；
(3)如图2，
∵点A(2,4)，B(6,2)，线段AB平移到EF，点E在x轴上，点F在y轴上，
∴横坐标减6，纵坐标减4，
∴点E(−4,0)，
∴OE=4，
∵点D在直线EF上，且D点的纵坐标为t，
∴S△DOE=12×OE×|t|=12×4×|t|=2|t|，
∵12S△DOE≥23S△AOB，
∴12×2|t|≥23×10，
∴|t|≥203，
∴解得：t≥203或t≤−203，
∴当满足12S△DOE≥23S△AOB时，t的取值范围是t≥203或t≤−203．
【解析】(1)根据算术平方根和偶次方的非负性质得a−4=0a−b+2=0，解方程组即可；
(2)过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，则四边形ACDB为梯形，求出AC=4，OC=2，OD=6，BD=2，CD=4，再由S△OAB=S△AOC+S梯形ACDB−S△BOD，代入计算即可；
(3)由平移的性质得点E(−4,0)，则OE=4，再由S△DOE=2|t|与12S△DOE≥23S△AOB，列出不等式，解不等式即可．
本题是三角形综合题，考查了算术平方根和偶次方的非负性质、平移的性质、坐标与图形性质、梯形面积与三角形的面积计算等知识，本题综合性强，熟练掌握平移的性质和三角形的面积是解题的关键，属于中考常考题型．
2022-2023学年广东省揭阳市普宁市赤岗中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 已知等腰三角形的两边长分别为4cm、8cm，则该等腰三角形的底边长是( )
A. 12cm B. 8cm C. 4cm或8cm D. 4cm
3. 已知点M(m+2,−1)在第四象限，则m的取值范围是( )
A. m>−2 B. m<−2 C. m>0 D. −2
A. (−1,1) B. (−1,−2) C. (−1,2) D. (1,2)
5. 下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 对顶角相等 B. 同位角相等
C. 若a2=b2，则a=b D. 若a>b，则−2a>−2b
6. 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为( )
A. 30°
B. 45°
C. 90°
D. 135°
7. 一次函数y=3x+b和y=ax−3的图象如图所示，其交点为P(−2,−5)，则不等式3x+b>ax−3的解集在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，△DAF沿直线AD平移得到△CDE，CE，AF的延长线交于点B.若∠AFD=111°，则∠CED的度数为( )
A. 69° B. 111° C. 112° D. 113°
9. 若关于x的不等式组3−2x≥1x≥m+1共有2个整数解，则m的取值范围是( )
A. m=−1 B. −2
A. 15 B. 16 C. 17 D. 15.5
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若4x2m−3+1>−1是关于x的一元一次不等式，则m=______．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为______ ．
13. 若关于x的方程x−m=6的解满足不等式2x+1>3，则m的取值范围是______ ．
14. 如图，将直角△ABC沿CB边向右平移得到△DFE，DE交AB于点G.∠ABC=90°，AB=9cm，BF=3cm，AG=4cm，则图中阴影部分的面积为______ cm2．
15. 如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=16，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=4，则OM= ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解下列不等式组，并写出它的最大整数解．
x+5<0①3x−12≥2x+1②．
17. (本小题8.0分)
如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上(网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度)，将△ABC平移，使点A平移到图中A1的位置，点B的对应点是B1，点C的对应点是C1．
(1)画出平移后的△A1B1C1；
(2)线段AC在平移的过程中扫过的面积是______ ．
18. (本小题8.0分)
如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B=50°，∠C=60°．
(1)求∠ADC的度数．
(2)若DE=5，点F是AC上的动点，求DF的最小值．
19. (本小题9.0分)
某校为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和象棋供兴趣小组活动使用，若购买4副围棋5副象棋的价钱为114元，购买8副围棋3副象棋的价钱为158元．
(1)求每副围棋和每副象棋各多少元？
(2)学校决定购买围棋和象棋共40副，总费用不超过553元，那么学校最多可以购买多少副围棋？
20. (本小题9.0分)
如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．
(1)求证：△ADE≌△BEC；
(2)若DE=2，求DC的长．
21. (本小题9.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，连结BB′．
(1)说明△CAA′为等边三角形；
(2)求△A′BB′的周长．
22. (本小题12.0分)
甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y(千米)与时间t(小时)之间的函数关系；线段BD表示轿车离甲地距离y2(千米)与时间t(小时)之间的函数关系.点B的坐标是(1.5,0)，点C在线段BD上，
请根据图象解答下列问题：
(1)y1的表达式为______ ，y2的表达式为______ ；
(2)当轿车与货车相遇时，求此时t的值；
(3)当轿车与货车都在行驶时，问t在什么范围时，轿车与货车之间的距离小于30千米．
23. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系中，点A(2,a)，B(b,2)，若a，b满足 a−4+(a−b+2)2=0．
(1)求点A，B的坐标；
(2)如图1，连接OA，OB，AB，求△OAB的面积；
(3)如图2，将线段AB平移到EF，点E在x轴上，点F在y轴上，点D在直线EF上，且点D的纵坐标为t，当满足12S△DOE≥23S△AOB时，求t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意可得，
A、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形定义及中心对称图形定义逐个判断即可得到答案．
本题考查中心对称图形及轴对称图形的判断，解题的关键是熟练掌握两种图形的性质及判断的方法．
2.【答案】D
【解析】解：当腰长为4cm时，4+4=8cm，不符合三角形三边关系，故舍去，
当腰长为8cm时，符合三边关系，底边长为4cm，
故该三角形的底边为4cm，
故选：D．
题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵点M(m+2,−1)在第四象限，
∴m+2>0，
则m>−2，
故选：A．
根据第四象限内点的坐标符号特点列出不等式，解之即可．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
4.【答案】A
【解析】[分析]
根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．
本题考查了坐标的平移，掌握坐标平移变化规律是本题的解题关键．
[解答]
解：∵将点A(1,−2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，
∴点A′的横坐标为1−2=−1，纵坐标为−2+3=1，
∴A′的坐标为(−1,1)．
故选A．
5.【答案】C
【解析】解：A.“对顶角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这个命题是假命题，故不合题意；
B.“同位角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是同位角”，这个命题是假命题，故不合题意；
C.“若a2=b2，则a=b”其逆命题为“若a=b，则a2=b2”，这个命题是真命题，故符合题意：
D.“若a>b，则−2a>−2b”其逆命题为“若−2a>−2b，则a>b”，这个命题是假命题，故不合题意．
故选：C．
逆命题就是对换原命题的题设和结论之后的命题，对每一个选项的逆命题进行分析判断出正确答案即可．
主要考查逆命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，分别判断四个选项的逆命题的正确与否是解决本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，
∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，
∴旋转的角度为90°．
故选：C．
根据旋转的性质，对应边的夹角∠BOD即为旋转角．
本题考查了旋转的性质，熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：从图象得到，当x>−2时，y=3x+b的图象对应的点在函数y=ax−3的图象上面，
∴不等式3x+b>ax−3的解集为x>−2．
故选：C．
函数y=3x+b和y=ax−3的图象交于点P(−2,−5)，求不等式3x+b>ax−3的解集，就是看函数在什么范围内y=3x+b的图象对应的点在函数y=ax−3的图象上面．
本题考查了一次函数与不等式(组)的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点(交点、原点等)，数形结合即可得解．
8.【答案】B
【解析】解：∵△DAF沿直线AD平移得到△CDE，
∴∠CED=∠AFD=111°，
故选：B．
根据平移的性质即可得到结论．
本题考查了平移的性质，掌握平移前后图形的形状大小都不会发生改变是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：解不等式3−2x≥1，得：x≤1，
∵不等式组共有2个整数解，
∴不等式组的整数解为1、0，
则−1
解不等式3−2x≥1得x≤1，结合不等式组的整数解个数得出其整数解情况，据此列出关于m的不等式组，解之即可．
本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据不等式组的整数解情况得出关于m的不等式组．
10.【答案】A
【解析】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP=PC，
∴△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP，
∵两点之间线段最短，
∴AP+BP≥AB，
∴△APC的周长=AC+AP+BP≥AC+AB，
∵AC=7，AB=8，
∴△APC周长最小为AC+AB=15，
故选：A．
根据垂直平分线的性质BP=PC，所以△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP≥AC+AB=9．
本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短．解题的关键是能得出AP+BP≥AB．
11.【答案】2
【解析】解：∵4x2m−3+1>−1是关于x的一元一次不等式，
∴2m−3=1，
解得：m=2，
故答案为：2．
根据一元一次不等式的定义可得2m−3=1，分别进行求解即可．
本题主要考查一元一次不等式的定义，解题的关键是明确一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．
12.【答案】(−1,0)
【解析】解：CC′的中点坐标是(−1,0)，
故答案为：(−1,0)．
对应点连线的中点即为对称中心的坐标，以此来求解即可．
本题考查了中心对称变换，掌握根据对应点找出对称中心的方法是求解的关键．
13.【答案】m>−5
【解析】解：解方程x−m=6得：x=6+m，
解不等式2x+1>3得：x>1，
∵关于x的方程x−m=6的解满足不等式2x+1>3，
∴6+m>1，
解得：m>−5．
故答案为：m>−5．
先根据等式的性质求出方程的解，再根据不等式的性质求出不等式的解集，根据题意得出6+m>1，再求出答案即可．
本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程的解，能求出6+m>1是解此题的关键．
14.【答案】21
【解析】解：由平移的性质可知：DF=AB=9cm，
∵AB=9cm，AG=4cm，
∴BG=AB−AG=5cm，
∴S阴影部分=12×(5+9)×3=21(cm2)，
故答案为：21．
根据平移的性质求出BG，再根据梯形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是平移的性质、梯形的面积计算，熟记梯形的面积公式是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：过点P作PD⊥OB，垂足为D，
∴∠PDO=90°，
∵∠AOB=60°，
∴∠OPD=90°−∠AOB=30°，
∵OP=16，
∴OD=12OP=8，
∵PM=PN，PD⊥MN，
∴DM=12MN=2，
∴OM=OD−DM=6，
故答案为：6．
过点P作PD⊥OB，垂足为D，根据垂直定义可得∠PDO=90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠OPD=30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得OD=8，再利用等腰三角形的三线合一性质可得DM=2，最后进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16.【答案】解：解不等式①得：x<−5；
解不等式②得：x≤−3；
∴不等式组的解集为：x<−5，
∴不等式组的最大整数解为x=−6．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】9
【解析】(1)解：如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)线段AC在平移的过程中扫过的面积=3×6−2×12×2×3−2×12×1×3=9．
故答案为：9．
(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用分割法求解可得结论．
本题考查作图−平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用分割法求面积．
18.【答案】解：(1)∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=70°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD=12×70°=35°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=85°；
(2)∵点F是AC上的动点，
∴当DF⊥AC时，DF最小，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=5．
【解析】(1)根据三角形内角和求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAD，再利用外角的性质求解；
(2)根据垂线段最短得到当DF⊥AC时，DF最小，再利用角平分线的性质求出DF=DE=5．
本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，角平分线的性质，垂线段最短，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本定理和知识．
19.【答案】解：(1)设每副围棋x元，每副象棋y元，
根据题意得：4x+5y=1148x+3y=158，
解得：x=16y=10．
答：每副围棋16元，每副象棋10元；
(2)设学校购买m副围棋，则购买(40−m)副象棋，
根据题意得：16m+10(40−m)≤553，
解得：m≤512，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为25．
答：学校最多可以购买25副围棋．
【解析】(1)设每副围棋x元，每副象棋y元，根据“购买4副围棋5副象棋的价钱为114元，购买8副围棋3副象棋的价钱为158元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设学校购买m副围棋，则购买(40−m)副象棋，利用总价=单价×数量，结合总价不超过553元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20.【答案】(1)证明：∵∠1=∠2，
∴ED=CE，
∵∠A=∠B=90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
ED=CEAE=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)；
(2)解：由(1)得Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠AED=∠BCE，
∵∠B=90°，
∴∠BCE+∠CEB=90°，
∴∠AED+∠CEB=90°，
∴∠DEC=180°−(∠AED+∠CEB)=180°−90°=90°，
∵DE=2，由(1)知DE=CE，
∴CE=2，
∵∠DEC=90°，
∴CD= DE2+CE2= 22+22=2 2．
【解析】(1)利用HL即可证明△ADE≌△BEC；
(2)证明∠DEC=90°，结合(1)根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到Rt△ADE≌Rt△BEC．
21.【答案】解：(1)∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，
∴CA=CA′，CB=CB′，∠ACA′=∠BCB′，
∵CA=CA′，∠A=60°，
∴△CAA′为等边三角形；
(2)解：∵△CAA′为等边三角形，
∴∠ACA′=60°，AA′=AC=1，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠A′CB=∠A′BC=30°，
∴A′B=A′C=1，
∴AB=2，BC= AB2−AC2= 3，
∵CB=CB′，∠BCB′=60°，
∴△CBB′为等边三角形，
∴BB′=CB= 3，
∴△A′BB′的周长为A′B+AB′+BB′=2+1+ 3=3+ 3，
故答案为：3+ 3．
【解析】(1)根据旋转的性质得到CA=CA′，CB=CB′，∠ACA′=∠BCB′，则可判断△CAA′为等边三角形；
(2)推出∠ACA′=60°，证明A′B=A′C=1，求出AB，BC，然后判断△CBB′为等边三角形，从而得到BB′的长，于是得到结论．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质及勾股定理．
22.【答案】y1=60t y2=100t−150
【解析】解：(1)设y1与t的函数表达式为y1=kt，
∵点(5,300)在该函数图象上，
∴300=5k，
解得k=60，
即y1与t的函数表达式为y1=60t；
设y2与t的函数表达式为y2=at+b，
∵点(1.5,0)，(4.5,300)在该函数图象上，
∴1.5a+b=04.5a+b=300，
解得a=100b=−150，
即y2与t的函数表达式为y2=100t−150；
故答案为：y1=60t；y2=100t−150；
(2)当两车相遇时，y1=y2，
即60t=100t−150，
解得t=3.75，
∴当t=3.75时，轿车与货车相遇；
(3)由题意可得：
60t−(100t−150)<30100t−150−60t<30，
解得3
(2)令y1=y2，求出相应的x的值即可；
(3)根据题意可得到关于t的不等式组，然后求解即可．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式和列出相应的不等式组．
23.【答案】解：(1)∵ a−4+(a−b+2)2=0，
∴a−4=0a−b+2=0，
解得：a=4b=6，
∴点A(2,4)，B(6,2)；
(2)如图1，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
则四边形ACDB为梯形，
∵点A(2,4)，B(6,2)，
∴AC=4，OC=2，OD=6，BD=2，CD=6−2=4，
∴S△OAB=S△AOC+S梯形ACDB−S△BOD=12OC⋅AC+12(AC+BD)⋅CD−12BD⋅OD=12×2×4+12×(4+2)×4−12×2×6=4+12−6=10；
(3)如图2，
∵点A(2,4)，B(6,2)，线段AB平移到EF，点E在x轴上，点F在y轴上，
∴横坐标减6，纵坐标减4，
∴点E(−4,0)，
∴OE=4，
∵点D在直线EF上，且D点的纵坐标为t，
∴S△DOE=12×OE×|t|=12×4×|t|=2|t|，
∵12S△DOE≥23S△AOB，
∴12×2|t|≥23×10，
∴|t|≥203，
∴解得：t≥203或t≤−203，
∴当满足12S△DOE≥23S△AOB时，t的取值范围是t≥203或t≤−203．
【解析】(1)根据算术平方根和偶次方的非负性质得a−4=0a−b+2=0，解方程组即可；
(2)过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，则四边形ACDB为梯形，求出AC=4，OC=2，OD=6，BD=2，CD=4，再由S△OAB=S△AOC+S梯形ACDB−S△BOD，代入计算即可；
(3)由平移的性质得点E(−4,0)，则OE=4，再由S△DOE=2|t|与12S△DOE≥23S△AOB，列出不等式，解不等式即可．
本题是三角形综合题，考查了算术平方根和偶次方的非负性质、平移的性质、坐标与图形性质、梯形面积与三角形的面积计算等知识，本题综合性强，熟练掌握平移的性质和三角形的面积是解题的关键，属于中考常考题型．
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