5升6奥数拓展：复杂因倍数问题-数学六年级上册人教版

5升6奥数拓展：复杂因倍数问题-数学六年级上册人教版

一、选择题

1．一次数学考试共有20道题，规定：答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得23分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题（    ）。

A．3 B．4 C．5 D．6

2．一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数恰是4的倍数，则这样的四位数中最大的一个的末位数字是（    ）。

A．3 B．6 C．7 D．9

3．一本100多页的书，被人撕掉了4张。剩下的页码总和为8037。则该书最多有（    ）页。

A．134 B．136 C．138 D．140

4．一本书的页码共需N个数字来表示，例如，本书11页，页码1～11就需13个数字表示，小虎统计了三本书（页码用数字的个数表示），分别是157、1002、2002，这3个统计数据中错误的数据是（   ）。

A．157 B．1002 C．2002

5．一个两位数，十位上的数有3个因数，个位上的数有4个因数，那么这样的两位数共有（    ）个。

A．1 B．2 C．3 D．4

6．1＋2＋3＋4＋5…＋2017＋2018的和是（    ）。

A．奇数 B．偶数 C．无法确定

二、填空题

7．在自然数中，既是合数又是奇数的是(        )。一个数有5个因数，把这5个因数从小到大排列，排第3个的是4，这个数是(        )。

8．“23□”这个三位数，当□里填(      )时是3的倍数；当□里填(      )时同时是2和5的倍数；当□里填(      )时同时是2和3的倍数。

9．两种饮水器若干个，一种容量12升水，另一种容量15升水。153升水恰好装满这些饮水器，其中15升容量的(        )个，12升容量(        )个。

10．三个连续的奇数，当最小的奇数扩大3倍后，这三个数的和是101，其中最小的奇数是(      )。

11．90＋89＋88＋87＋86＋…＋2＋1＝M，则M是(        )数。（填奇或偶）

12．13×235×51×8×97的积是(        )；（填“奇数”或“偶数”）若三个连续的偶数的和是72，最小的偶数是(        )。

13．四位数□27□能被15整除，那么这个四位数是(      )。

14．我国数学家陈景润证明了哥德巴赫猜想“1＋2”，就是任何充分大的偶数都可以写成1个质数加上不超过2个质数的乘积的形式。如：50＝17＋3×11，16＝2＋2×7，……请你也写一写：  

46＝(      )＋(      )×(      )           

98＝(      )＋(      )×(      )

三、解答题

15．学校组建合唱团，五年级有48人报名，六年级有54人报名。老师准备把两个年级的同学分别分成若干小组进行训练。

（1）要使两个年级每个小组的人数相同，每组最多有多少人？

（2）暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果采用打电话的方式，每分钟通知1人，最少要花（    ）分钟才能通知到每个人。（直接填出答案即可）

16．育新小学五年级127人参加社会实践活动，若分成6人一组，至少需要再来多少人才刚好整数组？至少减少多少人才刚好分成整数组？

17．奇偶问题：

①把10个球分成三组，要求每组球的个数都是奇数，怎样分？

②把11个苹果分给三个小朋友，要求每个小朋友分得偶数个苹果，怎样分？

18．阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：□11.4□元（□表示不明数字）。请问总价应该是多少？

19．125□是一个四位数。王老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除。”问：王老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？

20．有如下5个自然数：3124，3823，45235，5289，5588。其中能被11整除的有哪些？

参考答案：

1．A

【分析】因为得分是奇数，所以小明做错的题目一定是奇数个，若是做错3个，则应做对13个才会13×2－3＝23（分），这样小明共做13个题，未做的题是4个刚好是偶数；若是做错5个，不可能得23分，据此解答即可。

【详解】因为未答的题是偶数，得分是奇数，则小明做错的题目一定是奇数个，选项中为奇数的只有3和5，答错5个不可能，则只有3。验证：若是做错3个，则应作对13个才会13×2－3＝23（分），这样小明共做13个题，未做的题是4个刚好是偶数。

故答案为：A。

【点睛】本题考查奇数与偶数，解答本题的关键是掌握奇数与偶数的性质。

2．A

【分析】题目的要求是最大的一个数的末尾数字。首先最大我们可以先想到“9”，所以尽可能让高位为“9”，因此这个数的千位和百位均为“9”；看十位，题目给出这个数去掉末尾可以被4整除我们可以将0到9放到十位，组成的三位数哪个可以被4整除并取较大值；最后看个位，四位数能被9整除，我们可以将0到9放到个位，组成的四个数哪个可以被9整除，并取较大值，最后可以得出答案。

【详解】确定千位和百位：要数最大，尽量多的选择“9”，因此千位和百位均为“9”；

确定十位：为“9”时，992和996可以被4整除，996较大，所以十位为6；

确定个位：当确定前三位为“996”时，只有个位为“3”，这个数才能被9整除；

这个四位数是9963，因此末尾数是“3”。

故答案为：A

【点睛】做这类的题型时，要按照题目给的条件和要求，一位一位的分析计算，要遵循方法，切记毫无根据的乱猜乱写。

3．A

【解析】撕掉一张纸，其正反两面的两个页码之和为奇数，则撕掉4张，页码总数必为偶数，剩余页码和为8037，所以原书的页码总和必然为奇数，由此排除BD（BD选项能被4整除，而连续4页的页码和必然为偶数）。代入C，可知整书的页码总和为（1＋138）÷2×138＝9591，于是撕掉的页码和为9591－8037＝1554，那么撕掉的8页的页码平均值为194.25，显然与最多138页矛盾。

【详解】由分析可知，B、C、D都不符合题意，

故答案为：A。

【点睛】解答此题的关键要理解每张纸前后页码数之和是奇数。撕掉四张纸的页码数之和是偶数且剩下页码数是奇数，书总的张数是奇数。

4．C

【详解】如果一本书的总页数是两位数，那么去掉9个一位数页码，（N－9）一定是不大于180的2的倍数；如果一本书的总页数是三位数，那以去掉9个一位数和180个两位数的页码，（N－189）一定是不大于2700的3的倍数，据此，可知错误的是2002。

5．D

【分析】4的因数有：1、2、4；9的因数有：1、3、9；有3个因数的数是4和9。

6的因数有：1、2、3、6；8的因数有：1、2、4、8；有4个因数的数是6和8。

据此解答。

【详解】一个两位数，十位上的数有3个因数，个位上的数有4个因数，那么这样的两位数有46、48、96、98共有4个。

故选：D

【点睛】掌握求一个数的因数的方法是解题的关键。

6．A

【分析】观察可知，在算式1＋2＋3＋4＋5…＋2017＋2018中，奇数和偶数各占一半，根据奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，进行分析。

【详解】2018÷2＝1009（个）

奇数个偶数相加的和是偶数，奇数个奇数相加的和是奇数，奇数＋偶数＝奇数。

故答案为：A

【点睛】关键是掌握奇数和偶数的运算性质，奇数×奇数＝奇数。

7．     15     16

【分析】根据奇数的意义，不是2的倍数的数叫做奇数，一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，由此解答；根据一个数的因数的个数是奇数个，中间数的平方等于这个数。

【详解】中奇数有：11，13，15，17，19；

中合数有：10、12，14、15，16、18、20；

所以既是合数又是奇数的数是15；

4×4＝16

一个数有5个因数，把这5个因数从小到大排列，排第3个的是4，这个数是16。

【点睛】此题考查的目的是理解掌握奇数与合数的意义，用因数的中间数求出这个数。

8．     1、4、7     0     4

【分析】这个三位数前两位是23，根据3的倍数特征：各个数位上的数的和是3的倍数，即这个三位数前两位之和为5，3的倍数有6，9，12，故个位上的数为1，4，7；

2的倍数的特征是：个位为0，2，4，6，8的数，5的倍数的特征为：个位为0或5的数。要求同时是2和5的倍数，个位数符合要求的只有0；

要求同时是2和3的倍数，这个三位数前两位之和为5，个位上的数为1，4，7，而2的倍数个位为0，2，4，6，8，符合的只有4。

【详解】根据3的倍数的特征，符合3的倍数的数有：231，234，237，因此个位上的数是1，4，7；根据2和5的倍数特征，符合条件的数是230，个位上的数为0；根据2和3的倍数特征，符合条件的数是234，个位上的数为4。

【点睛】本题主要考查的是2，3，5的倍数特征，需要掌握2，3，5的倍数的特征，能方便很快得出答案。

9．     3或7     9或4

【分析】可设容量是12升的饮水器有x个，容量是15升的饮水器有y个，则x个12升的饮水器有水12x升， y个15升的饮水器有水15y升，再根据“153升水恰好装满这些饮水器”列出方程，解答即可。

【详解】解：设容量是12升的饮水器有x个，容量是15升的饮水器有y个，则：

12x＋15y＝153；

3（ 4x＋5y ）＝153；

4x＋5y＝51；

因为4x一定是偶数，而51是奇数；

所以5y必须是奇数，即y必须是奇数；

故从上面的算式得出x＝9 ，y＝3或x＝4，y＝7。

【点睛】解答此题的关键是根据题意设出未知数，再根据数量关系等式列出方程。

10．19

【分析】根据奇数的排列规律，相邻的奇数相差2，设中间奇数为X，前一个为X﹣2，后一个为X＋2，这三个数的和是101，列方程解答即可。

【详解】解：设三个连续的奇数为X﹣2、X、X＋2；最小的奇数扩大3倍后为3（X﹣2）；

因为最小的奇数扩大3倍后，这三个数的和是101；

所以3（X﹣2）＋X＋X＋2＝101

3X﹣6＋X＋X＋2＝101

5X＝105

X＝21

X﹣2＝21﹣2＝19

答：最小的奇数是19。

【点睛】此题考查目的是：奇数的排列规律和奇数的定义。

11．奇

【分析】根据题意可知，一共有90个数，45个奇数，45个偶数，45个偶数相加一定是偶数，45个奇数相加一定是奇数，一个奇数加上一个偶数结果是奇数，据此解答即可。

【详解】45个偶数的和是偶数，45个奇数的和是奇数，一个偶数加上一个奇数结果为奇数。

【点睛】本题考查了奇数、偶数的运算性质。

12．     偶数     22

【详解】主要考查学生对和与积的奇偶性规律的掌握情况。

13．3270或6270或9270或1275或4275或7275

【分析】15＝3×5，能被15整除，也就是能同时被3和5整除。

能被3整除的数：各个数位上的数字之和是3的倍数；

能被5整除的数：个位是0或5。

所以□27□既要满足个位上是0或5，又要满足各个数位上的数字之和是3的倍数。

【详解】□27□的十位和百位上的数字之和为9，是3的倍数，那么个位和千位上的数字之和也必须是3的倍数，个位上只能是0或5。当个位上是0时，千位上可以是3、6、9；当个位上是5时，千位上可以是1、4、7。

所以这个四位数可能是：3270、6270、9270、1275、4275、7275。

【点睛】本题考查能被15整除的数，将能被15整除转化成同时能被3和5整除的解答此题的关键。

14．     7     3     13     13     5     17

【分析】质数有：2、3、5、7、11、13、17、19……

采用试数的方法，从2开始代入“＋”前面的括号，再看剩下的数是否可以拆成2个质数相乘，如若不行，再将3代入……以此类推。

【详解】经计算，46＝7＋3×13， 46＝11＋5×7……；

98＝13＋5×17，98＝5＋3×31……

答案不唯一。

【点睛】本题主要考查对质数的认识，列举计算时一定要认真，以免计算错误遗漏答案。

15．（1）每组最多有6人

（2）答：最少花7分钟才能通知到每个人。

【分析】（1）由题意知：要使两个年级每个小组的人数相同并每组人数最多、这个数值既是48的最大约数，也是54的最大约数。

（2）老师首先用1分钟通知第一个队员，第二分钟由老师和1个队员两人分别通知1个队员，现在通知的一共1＋2＝3个队员，第三分钟可以推出通知的一共3 ＋4＝ 7个队员，以此类推，第四分钟通知的一共7 ＋8＝ 15个队员，第五分钟最多可通知到15 ＋ 16＝ 31个队员，

第六分钟最多可通知到31 ＋ 32 ＝ 63个队员， ……由此问题解决.

【详解】（1）48的约数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48

54的约数有：1、2、3、6、9、18、27、54

48和54的最大公约数是：6

答：每组最多有6人。

（2）第一分钟通知到1个队员；

第二分钟最多可通知到3个队员；

第三分钟最多可通知到7个队员；

第四分钟最多可通知到15个队员；

第五分钟最多可通知到31个队员；

第六分钟最多可通知到63个队员；

第7分钟最多可通知到127个队员；

127＞48＋54

所以最少需要7分钟.

答：最少花7分钟才能通知到每个人。

【点睛】在“打电话”的优化问题中：“相互通知” 这种方法最省时，所以它是最优方案；规律是：新接到通知的人数等于前一分钟通知到的师生的总人数，新接到通知的队员数是总人数的一半；本题还可以通过画示意图和列表找打电话最优方案的规律。

16．至少需要再来5人，至少减少1人

【解析】分成6人一组，且刚好分成整数组，那么总人数必然是6的倍数，求出比127大的6的最小倍数，比127小的6的最大倍数即可。

【详解】

（人）

至少需要再来5人，至少减少1人；

答：至少需要再来5人，至少减少1人。

【点睛】本题考查的是数的整除问题，可以通过余数进行分析，多多少就减多少，差多少就补多少。

17．①不能分；②不能分

【分析】不是2的倍数的数是奇数；是2的倍数的数是偶数。

【详解】①不能分。因为如果三组球，每组都是奇数个球的话，总数必是奇数，而不可能是偶数，而10个球却是个偶数。

②不能分。因为如果每个小朋友都得到偶数个苹果，那么三个小朋友得到的苹果总数也必定是个偶数。而11个苹果是个奇数，所以无法分。。

【点睛】解答此题的关键是辨别奇数和偶数。

18．811.44元

【分析】，分别考虑8和9的整除特性。

【详解】把价钱去掉小数点，看成□114□

14□÷8＝10……6□，只有64是8的倍数，所以原百分位上的数是4。

1＋1＋4＋4＝10，10＋8＝18，所以原百位数是8

答：总价应该是811.44。

【点睛】一个数的末三位数是8的倍数，那么这个数就是8的倍数；若一个整数的各数位数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

19．11

【分析】可根据能被9、11、8整除的数的特征进行计算，可得出数学老师先后填入的3个数，然后将3个数字相加即可得到答案。

【详解】因为能被9整除的四位数的各位数字之和能被9整除，1＋2＋5＋□＝8＋□，所以□内只能填1；

因为能被11整除的四位数的十位与千位的数字和减去个位与百位的数字和所得的差能被11整除，（1＋5）－（2＋□）＝4－□能被11整除，所以□内只能填4；

因为能被8整除的自然数是最后三位数能被8整除，而25□能被8整除，所以□内只能填6；

1＋4＋6＝11；

答：所填三个数字之和是11。

【点睛】此题主要考查的是能被9、11、8整除的数的特征。

20．3124，5588

【分析】能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。据此分别计算判断。

【详解】3124，3＋2＝5，1＋4＝5，5－5＝0，0能被11整除，故3124能被11整除；

3823，3＋2＝5，8＋3＝11，11－5＝6，6不能被11整除，故3823不能被11整除；

45235，4＋2＋5＝11，5＋3＝8，11－8＝3，3不能被11整除，故45235不能被11整除；

5289，5＋8＝13，2＋9＝11，13－11＝2，2不能被11整除，故5289不能被11整除；

5588，5＋8＝13，5＋8＝13，13－13＝0，0能被11整除，故5588能被11整除；

答：其中能被11整除的有3124，5588。

【点睛】牢记能被11整除的数的特征。