专题2.18 圆周角（直通中考）（培优练）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

这是一份专题2.18 圆周角（直通中考）（培优练）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版），共30页。

专题2.18 圆周角（直通中考）（培优练）
【要点回顾】
1.圆周角定理：
　　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2.圆周角定理的推论
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
3.圆内接四边形：
（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．
一、单选题
1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（    ）
  
A． B． C． D．
2．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（    ）
  
A． B． C． D．
3．（2023·天津·统考中考真题）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（    ）
  
A．9 B．8 C．7 D．6
4．（2022·山东枣庄·统考中考真题）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（　　）

A．28° B．30° C．36° D．56°
5．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（    ）
  
A．138° B．121° C．118° D．112°
6．（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，是的外接圆，且，在弧AB上取点D（不与点A，B重合），连接，则的度数是（    ）

A．60° B．62° C．72° D．73°
7．（2021·西藏·统考中考真题）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（    ）

A．40° B．55° C．70° D．110°
8．（2021·广西贵港·统考中考真题）如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（    ）

A． B．2 C． D．1
9．（2021·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，，点E是上任意一点，连接BE，CE，则的度数为（    ）

A．20° B．30° C．40° D．60°
10．（2021·辽宁营口·统考中考真题）如图，中，点C为弦中点，连接，，，点D是上任意一点，则度数为（    ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是 ．
  
12．（2022·江苏南京·统考中考真题）如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则 ．

13．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为，那么弦AC所对的圆周角的度数等于 ．
14．（2022·上海·统考中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ．
15．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ．

16．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为 cm．

17．（2022·湖北随州·统考中考真题）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠ACB=60°，则∠AOB的度数为 .

18．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．
  
三、解答题
19．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接．
（1）求证：；（请用两种证法解答）
（2）若，的半径为3，，求的长．









20．（2023·甘肃武威·统考中考真题）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知，是上一点，只用圆规将的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）
①以点为圆心，长为半径，自点起，在上逆时针方向顺次截取；
②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于上方点；
③以点为圆心，长为半径作弧交于，两点．即点，，，将的圆周四等分．



21．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足．
（1）求证：直线直线；
（2）若；
①求证：；
②若，求四边形的周长．






22．（2023·安徽·统考中考真题）已知四边形内接于，对角线是的直径．
（1）如图1，连接，若，求证；平分；
（2）如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．












23．（2023·江苏泰州·统考中考真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．
知识回顾
（1）如图①，中，B、C位于直线异侧，．
①求的度数；
②若的半径为5，，求的长；
逆向思考
（2）如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
（3） 如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．







24．（2023·北京·统考中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
（1）求证平分，并求的大小；
（2）过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．













参考答案
1．A
【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可．
解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查圆的性质，涉及到圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度，熟记知识点是关键．
2．D
【分析】先根据圆周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再根据直径所对的圆周角是直角，即，然后利用进而可求出．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵为直径，即，
∴，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识．
3．D
【分析】由作图可知直线为边的垂直平分线，再由得到，则可知三点在以为圆心直径的圆上，进而得到，由勾股定理求出即可．
解：由作图可知，直线为边的垂直平分线，
∵
∴，
∵，
∴，
∴三点在以为圆心直径的圆上，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌握常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论．
4．A
【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB＝86°−30°＝56°，根据圆周角定理得∠ACB＝∠AOB，即可得到∠ACB的大小．
解：设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，

∵∠AOB＝86°−30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°．
故选A．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．C
【分析】由圆内接四边形的性质得，再由圆周定理可得．
解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴
∵
∴
∴
故选：C
【点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键
6．C
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质可求∠ACB的度数，然后根据圆周定理求出∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，从而可求出的度数．
解：连接CD，

则∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∠BAC=36°，
∴∠ACB=，
∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=72°．
故选：C．
【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD是解题的关键．
7．B
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠D＝140°，根据垂径定理得到∠COA，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
解：连接OB，OC，
∵∠D＝70°，
∴∠BOC＝2∠D＝140°，
∵OA⊥BC，
∴∠COA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣70°）＝55°，
故选：B．

【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
8．A
【分析】连接、、、、，过点作于点，根据圆内接四边形的性质得，根据对称以及圆周角定理可得，由点是的中点可得，，根据等腰三角形以及直角三角形的性质即可求解．
解：连接、、、、，过点作于点，

，
，
点关于对称的点为，
，
，
点是的中点，
，
，
，，
，，
直径，
，
，
．
故选：A．
【点拨】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形以及直角三角形的性质，求出是解题的关键．
9．B
【分析】根据圆内接四边形的性质可得，连接AC，得，进一步得出，从而可得结论．
解：连接AC，如图，

∵A，B，C，D在以AB为直径的半圆上，
∴
∵
∴
∵AB为半圆的直径
∴，
∴
∴
故选：B．
【点拨】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．
10．B
【分析】连接OA，在上取点E，连接AE，BE，先证明，可得∠AOB=112°，结合圆周角定理和圆内接四边形的性质，即可求解．
解：连接OA，在上取点E，连接AE，BE，

∵点C为弦中点，
∴OC ⊥AB，即∠ACO=∠BCO=90°，
又∵AC=BC，OC=OC，
∴，
∴∠AOC=，即：∠AOB=112°，
∴∠E=∠AOB=56°，
∵四边形ADBE是的内接四边形，
∴=180°-56°=124°，
故选B．
【点拨】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、圆的内接四边形的性质，添加辅助线，构造圆的内接四边形，是解题的关键．
11．4
【分析】根据圆周角定理得出，再由勾股定理确定，半径为，利用垂径定理确定，且，再由勾股定理求解即可．
解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D，M分别是弦，弧的中点，
∴，且，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点拨】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
12．/72度
【分析】根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质可求出，再根据平角的定义求解．
解：如图，延长到H，

四边形内接于，
，
，
，，的度数之比为，
，，，的度数之比为，
，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查圆内接四边形，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补，外角和是360度．
13．45°或135°
【分析】直径所对圆周角是直角，勾股定理求出BC，证得△ABC为等腰直角三角形
即可解得．
解：如图

连接BC，
∵⊙O的直径AB
∴∠ACB=90°
根据勾股定理得

∴
∴△ABC为等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
=135°
∴弦AC所对的圆周角的度数等于45°或者135°
【点拨】此题考查了求圆周角，解题的关键是构造直角三角形．
14．/
【分析】如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，再证明经过圆心，，分别求解AC，BC，CF， 设的半径为 再分别表示 再利用勾股定理求解半径r即可．
解：如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，


过圆心O，，


设的半径为
∴



整理得：
解得：

不符合题意，舍去，
∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为
故答案为：
【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键．
15．1
【分析】连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可．
解：连接、，

，
，
，即，
解得：，
故答案为：1．
【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．
16．
【分析】连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理和圆周角定理可得，，再根据等腰三角形的性质可得，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
17．120°
【分析】由∠ACB=60°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB的度数．
解：∵点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°．
故答案为120°．
【点拨】此题考查了圆周角定理．注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
18．/
【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可．
解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，
  
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点F在以为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值，
∵，
∴，，
∴，
的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键．
19．（1）证明见分析；（2）8
【分析】（1）证法一：连接，得到，因为，所以；证法二：连接，可得，则，根据，可得，即可得到结果；
（2）连接，根据角度间的关系可以证得为直角三角形，根据勾股定理可得边的长，进而求得结果．
解：（1）证法一：如图，连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
  
证法二：如图，连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
  
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵的半径为3，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
  
【点拨】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角度之间的关系是解题的关键．
20．见分析
【分析】根据作图提示逐步完成作图即可．再根据图形基本性质进行证明即可．
解：如图，
  
即点，，，把的圆周四等分．
理由如下：
如图，连接，
  
由作图可得：，且，
∴为等边三角形，，
同理可得：，
∴，
∴A，O，D三点共线，为直径，
∴，
设，而，
∴，，
由作图可得：，而，
∴，，
∴由作图可得，
而，
∴，
∴，
同理，
∴点，，，把的圆周四等分．
【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，圆弧与圆心角之间的关系，等边三角形的判定与性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，圆周角定理的应用，熟练掌握图形的基本性质并灵活应用于作图是解本题的关键．
21．（1）见分析；（2）①见分析，②．
【分析】（1）在中，根据同弧所对的圆周角相等可得，结合已知在中根据三角形内角和定理可求得；
（2）①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得，由直径所对的圆周角是直角和（1）可得，结合已知即可证得；
②在中由，可得，结合题意易证，在中由勾股定理可求得，由①可知易得，最后代入计算即可求得周长．
解：（1）证明：在中，
，
，即，
在中，
，
，
即直线直线；
（2）①四边形是半径为R的的内接四边形，
，
，
，
是的直径，
，
由（1）可知，
，
在与中，
，
，
②在中，，
，
是的直径，
，
，
，
，
在中，
，
即，
解得：，
由①可知，
，
，
四边形的周长为：
．
【点拨】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解．
22．（1）见分析；（2）
【分析】（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可．
（2）证明四边形平行四边形，后用勾股定理计算即可．
解：（1）∵对角线是的直径，
∴，
∴，
∴平分．
（2）∵对角线是的直径，
∴，
∴
∵，
∴，
∴四边形平行四边形，
∴，
又∵，
∴．
【点拨】本题考查了垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
23．（1）①；②；（2）见分析；（3）见分析
【分析】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②构造直角三角形；
（2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可；
（3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等．
（1）解：①，，
，
．
②连接，过作，垂足为，
  
，，
是等腰直角三角形，且，
，，
是等腰直角三角形，
，
在直角三角形中，，
．
（2）证明：延长交圆于点，则，
  
，
，
，
，
，
，
，
为该圆的圆心．
（3）证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，，
  
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
必有一个点的位置始终不变，点即为所求．
【点拨】本题考查了圆周角定理，还考查了勾股定理和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于是关键．
24．（1）见分析，；（2）
【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解．
（1）解：∵
∴，
∴，即平分．
∵平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴是直径，
∴；
（2）解：∵，，
∴，则．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，则．
∵平分，
∴．
∵是直径，
∴，则．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是直径，
∴此圆半径的长为．
【点拨】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．