高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念优秀学案

1.1　集合的概念(1)

【学习目标】

1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.

2.体会元素与集合间的“从属关系”.

3.记住常用数集的表示符号并会应用．

【学习过程】

一、课前预习

预习课本P2～3，思考并完成以下问题

(1) 集合和元素的含义是什么？它们各自用什么字母表示？

(2) 元素和集合之间有哪两种关系？常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？

二、课前小测

1．下列给出的对象中，能构成集合的是(　　)

A．一切很大的数

B．好心人

C．漂亮的小女孩

D．清华大学2019年入学的全体学生

2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为(　　)

A．1　　　 B．2

C．3   D．4

3．用“∈”或“∉”填空：

________N；－3________Z；________Q；0________N*；________R.

4．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________.

三、新知探究

1．元素与集合的相关概念

(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．

(2)集合：一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．

(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．

(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．

思考：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？

(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？

提示：(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．

(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．

2．元素与集合的关系

(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.

(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.

3．常见的数集及表示符号

四、题型突破

题型一　集合的基本概念

【例1】　考察下列每组对象，能构成集合的是(　　)

①中国各地最美的乡村；

②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；

③不小于3的自然数；

④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．

A．③④　　　　 B．②③④

C．②③   D．②④

【反思感悟】　

判断一组对象能否组成集合的标准

判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.

跟踪训练1　判断下列说法是否正确，并说明理由．

(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合；

(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合；

(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．

题型二　元素与集合的关系

【例2】　(1)下列所给关系正确的个数是(　　)

①π∈R；②∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.

A．1　　　B．2      C．3　　　 D．4

(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为(　　)

A．2   B．2或4

C．4   D．0

【反思感悟】　

判断元素与集合关系的2种方法

1直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.

2推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.

跟踪训练2　集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．

题型三　集合中元素的特性及应用

[探究问题]

1．若集合A中含有两个元素a，b，则a，b满足什么关系？

提示：a≠b.

2．若1∈A，则元素1与集合A中的元素a，b存在怎样的关系？

提示：a＝1或b＝1.

【例3】　已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．

1．(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．

2．(变条件)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．

【反思感悟】

1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．

2．本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．

提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．

五、达标检测

1．思考辨析

(1)接近于0的数可以组成集合．(　　)

(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．(　　)

(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．(　　)

2．已知集合A由x<1的数构成，则有(　　)

A．3∈A　　　　          B．1∈A

C．0∈A                  D．－1∉A

3．下列各组对象不能构成一个集合的是(　　)

A．不超过20的非负实数

B．方程x2－9＝0在实数范围内的解

C.的近似值的全体

D．某校身高超过170厘米的同学的全体

4．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．

六、本课小结

1．判断一组对象的全体能否构成集合的依据是元素的确定性，若考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合．

2．集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．

3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．

参考答案

二、课前小测

1．答案：D　

解析：“很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准，故选项A、B、C中的元素均不能构成集合，故选D.

2．答案：C　

解析：由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．

3．答案：∉　∈　∉　∉　∈

4．答案：3　

解析：由题意可知a＋1＝4，即a＝3.

四、题型突破

【例1】

答案：B　

解析：①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.

跟踪训练1　

解析：(1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合．

(2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合．

(3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素．

【例2】

答案：(1)B　(2)B　

解析：(1)①π是实数，所以π∈R正确；

②是无理数，所以∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选B.

(2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，

所以a＝2，

或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，

所以a＝4，

综上所述，a＝2或4.故选B.

跟踪训练2　

答案：0,1,2　

解析：∵∈N，∴3－x＝1或2或3或6，

即x＝2或1或0或－3.

又x∈N，故x＝0或1或2.

即集合A中的元素为0,1,2.

【例3】　

解析：由题意可知，a＝1或a2＝a，

(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.

(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．

综上可知，实数a的值为0.

一题多变

1．解析：由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1.

2．解析：若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.

当a＝1时，集合A有重复元素，

所以a≠1；

当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1.

五、达标检测

1．答案：(1)×　(2)√　(3)×

2．答案：C　

解析：∵0<1，∴0是集合A中的元素，故0∈A.

3．答案：C　

解析：A项，不超过20的非负实数，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．B项，方程x2－9＝0在实数范围内的解，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．C项，的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合．D项，某校身高超过170厘米的同学，同学身高具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．故选C.

4．解析：∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，

若－3＝a－3，

则a＝0，

此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；

若－3＝2a－1，则a＝－1，

此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．

综上所述，a＝0或a＝－1.