数学人教A版 (2019)8.3 简单几何体的表面积与体积优质导学案

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第八章 立体几何初步8.3　简单几何体的表面积与体积一、棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体__     __的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的__   _的面积的和.1.棱柱的表面积棱柱的表面积：S表＝      ．其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧＝      ；长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表＝             ；棱长为a的正方体的表面积：S表＝      .2.棱锥的表面积棱锥的表面积：S表＝S侧＋S底；底面周长为C，斜高(侧面三角形底边上的高)为h′的正棱锥的侧面积：S侧＝         .3.棱台的表面积棱台的表面积：S表＝                 ．多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和．【答案】各个面  各个面  1.S侧＋2S底   Ch  2(ab＋ac＋bc)  6a2    2.Ch′  3.S侧＋S上底＋S下底  二、棱柱、棱锥、棱台的体积1．棱柱的体积(1)棱柱的高是指      之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V＝   .2．棱锥的体积(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，   与    (垂线与底面的交点)之间的距离．(2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V＝     .3．棱台的体积(1)棱台的高是指       之间的距离．(2)棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝           ．【答案】1.两底面  Sh  2.顶点   垂足  Sh   3.两个底面  h(S′＋＋S) 三、圆柱、圆锥、圆台的表面积 图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝         侧面积：S侧＝        表面积：S＝        圆锥底面积：S底＝        侧面积：S侧＝        表面积：S＝        圆台上底面面积：S上底＝        下底面面积：S下底＝        侧面积：S侧＝        表面积：S＝        【答案】2πr2  2πrl  2πr(r＋l)  πr2  πrl  πr(r＋l)  πr′2  πr2   π(r′l＋rl)  π(r′2＋r2＋r′l＋rl)四、圆柱、圆锥、圆台的体积几何体体积说明圆柱V圆柱＝Sh＝        圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆锥V圆锥＝Sh＝        圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆台V圆台＝(S＋＋)h＝        圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h【答案】πr2h   πr2h    π(r2＋rr′＋r′2)h五、球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S＝      (R为球的半径).2．球的体积公式V＝      .【答案】4πR     πR3 一、单选题1．圆锥的轴截面为面积为2的直角三角形，则圆锥的侧面积为（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】如同，设圆锥的轴截面为，底面圆心为，则由题可得为等腰直角三角形，则，则，所以，即底面半径，所以该圆锥的侧面积为.故答案为：D.2．表面积为 的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是14，则这个正四棱柱的表面积等于（　　）  A．567 B．576 C．240 D．【答案】B【解析】设球的半径为 ，正四棱柱的底面边长为 ，作轴的截面如图 ， ，又因为 ，所以 ，可得： ，所以 ，所以 ，所以正四棱柱的表面积 ，故答案为：B3．金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体．若某金刚石的棱长为2，则它的体积为（　　）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，设底面中心为，连接，由几何关系知，，则正八面体体积为.故答案为：C4．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是 ，则该棱台的体积是（　　）  A． B． C．20 D．21【答案】A【解析】由棱台的几何特征可得其高为： ，则其体积为： 。故答案为：A5．已知一个圆锥的母线长为 ，侧面展开图是圆心角为 的扇形，则该圆锥的外接球的体积为（　　）  A．36π B．48π C．36 D．【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为r，由侧面展开图是圆心角为 的扇形得： ，解得： .作出圆锥的轴截面如图所示：设圆锥的高为h，则 .设该圆锥的外接球的球心为O，半径为R,则有 ，即 ，解得：R=3，所以该圆锥的外接球的体积为 .故答案为：A.6．据《九章算术》记载，“鳖臑(biēnào)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”， 底面 ， ，且 ，三棱锥外接球表面积为（　　）  A． B． C． D．【答案】C【解析】∵ 底面 ， ， ，将三棱锥 补全图形为正方体如图所示，∴三棱锥的外接球即正方体的外接球.设外接球的半径为 ，则 ，解得 .所以外接球的表面积为 .故答案为：C二、填空题7．已知一个圆锥的底面半径为2，高为1，则该圆锥的侧面积为　     　.【答案】【解析】根据题意，圆锥母线长为： ，底面周长为： ，则圆锥侧面积为： .故答案为： .8．已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为　     　.【答案】14π【解析】∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，∴长方体的对角线长为： ，∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径，∴球半径为R= ，，可得球的表面积为4πR2=14π。故答案为14π。三、解答题9．已知圆柱的底面半径长为1，母线长为2，求它的侧面积和体积.【答案】 圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，  所以圆柱的高等于母线长 圆柱的侧面积为 ；圆柱的积为 ．【解析】利用圆柱的侧面积公式以及体积公式求解即可。10．已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥 ，求它的表面积．  【答案】解：∵四棱锥S﹣ABCD的各棱长均为5，  底面为正方形，各侧面均为正三角形，设E为AB的中点，则SE⊥AB，SE ∴S侧＝4S△SAB＝4 25 ， 25，它的表面积S＝S底+S侧＝25+25 ．【解析】设E为AB的中点，则SE⊥AB，由已知条件求出S侧＝4S△SAB＝4 25 ， 25，由此能求出它的表面积．