人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线优秀导学案

3.2.2　双曲线的简单几何性质

【学习目标】

1．掌握双曲线的简单几何性质．

2．了解双曲线的渐近性及渐近线的概念．

3．能区别椭圆与双曲线的性质．

【学习过程】

一、课前预习

预习课本P121～124，思考并完成以下问题

1．双曲线有哪些几何性质？

2．双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？

3．双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？

二、课前小测

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)双曲线－＝1的焦点在y轴上. (　　)

(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔. (　　)

(3)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条. (　　)

2．双曲线－y2＝1的顶点坐标是(　　)

A．(4,0)，(0,1)　　　　　 B．(－4,0)，(4,0)

C．(0,1)，(0，－1) D．(－4,0)，(0，－1)

3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是(　　)

A.－＝1                        B.－＝1或－＝1

C.－＝1                      D.－＝1或－＝1

4．(全国卷Ⅲ)双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.

三、新知探究

1．双曲线的几何性质

2．等轴双曲线

实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝.

[说明]　对双曲线的简单几何性质的几点认识

(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；

(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．

四、题型突破

题型一  已知方程求其几何性质

[例1] 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．

反思感悟

由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤

跟踪训练

1．已知双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(，0)，则其渐近线方程为(　　)

A．y＝±x　　　　　　　　 B．y＝±4x

C．y＝±x   D．y＝±2x

题型二　利用几何性质求双曲线的标准方程

[例2] 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：

(1)双曲线过点(3,9)，离心率e＝；

(2)与双曲线x2－2y2＝2有共同的渐近线，且经过点(2，－2)；

(3)过点P(2，－1)，渐近线方程是y＝±3x.

[思路分析]　(1)可用待定系数法求出a，b，c后解方程；

(2)(3)可以利用渐近线的方程进行求解．

反思感悟

1．待定系数法求双曲线标准方程的步骤

2．根据渐近线方程求双曲线方程

(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可表示为－＝λ(λ≠0)．

(2)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线方程可表示为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)；与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线方程可表示为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．

跟踪训练

2. 双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，原点到直线AB的距离为，其中A(0，－b)，B(a,0)，求该双曲线的标准方程．

题型三 双曲线的离心率、渐近线

[例3]　(1)已知双曲线－＝1(a>)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D．2

(2)若F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1的共同的左、右焦点，点P是两曲线的一个交点，且△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是(　　)

A．3x±y＝0   B.x±3y＝0

C．3x±y＝0   D.x±3y＝0

(3)设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，且||＝||，则该双曲线的离心率为________．

反思感悟

1．求双曲线离心率的常见方法

(1)①依据条件求出a，c，利用e＝求解；

②利用e＝求解；

③依据条件，建立关于a，b，c的齐次关系式，消去b转化为离心率e的方程求解．

(2)求离心率的范围，常结合已知条件构建关于a，b，c的不等关系．

2．求双曲线渐近线方程的两种方法

跟踪训练

3．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A.若|OA|＝b，则该双曲线的离心率为________．

五、达标检测

1．(全国新课标Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x　　　　　　 B．y＝±x

C．y＝±x   D．y＝±x

2．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1   D.－＝1

3．已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的(　　)

A．实轴长相等   B．虚轴长相等

C．焦距相等   D．离心率相等

4．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)

A.　　　    B.　　　    C.　　　    D．3

六、本课小结

1．对双曲线的几何性质的四点说明

(1)双曲线的范围反映了其图象是两支，且在范围内向两方无限延伸．

(2)双曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，(0,0)为对称中心，坐标轴为对称轴．

(3)双曲线的离心率e＝反映了双曲线开口的大小，e越大，双曲线的开口就越大

(4)双曲线的渐近线是两条直线，当x，y趋向于无穷大时，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点．

2．双曲线与椭圆的六点不同

参考答案

课前小测

1．答案：(1)×　(2)√　(3)×

2．答案：B

3．答案：B

4．答案：5

题型突破

[例1] [解析]　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，

即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝，

因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，

焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，

实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，

离心率e＝＝，

渐近线方程y＝±x.作草图如图所示．

跟踪训练

1．答案：D

解析：双曲线方程化为x2－＝1，由题意可得，1＋＝5，解得k＝，即双曲线方程为x2－＝1，则其渐近线方程为y＝±2x.

[例2] [解析]　(1)由e2＝，得＝，

设a2＝9k(k>0)，则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.

设所求双曲线方程为－＝1①或－＝1②.

把(3,9)代入①，得k＝－161，与k>0矛盾，无解；

把(3,9)代入②，得k＝9.

故所求双曲线方程为－＝1.

(2)设所求双曲线方程为x2－2y2＝k.③

由于双曲线过点(2，－2)，将(2，－2)代入③，

得k＝22－2·(－2)2＝－4.

故所求双曲线方程为x2－2y2＝－4，

即－＝1.

(3)由渐近线方程可设所求双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)．④

将点P(2，－1)代入④，得λ＝35，

故所求的双曲线方程为－＝1.

跟踪训练

2. 解：∵e＝2，

∴1＋＝4，

∴b2＝3a2.①

又∵AB的方程为bx－ay－ab＝0，

由点到直线的距离公式，可得＝，②

由①②联立，可解得a2＝1，b2＝3，

∴双曲线方程为x2－＝1.

[例3] (1) [答案]　A

[解析]　双曲线－＝1(a>)的两条渐近线方程为y＝±x.由a>，得0<<1，

∴直线y＝x的倾斜角小于.

∴＝tan＝，解得a＝.

又c2＝a2＋2＝8，∴c＝2，∴e＝＝.

(2)[答案]　D

[解析]　由题意得F1(－4,0)，F2(4,0)，

故双曲线中c＝4，

如图所示，若△PF1F2为等腰三角形，

则需满足|PF1|＝|F1F2|＝8，

依据椭圆与双曲线的定义应有

解得a＝3，

故b＝＝，

又双曲线的焦点在x轴上，

故所对应的渐近线方程为y＝±x，

化为一般式方程为x±3y＝0.

故选D.

(3)[答案]　＋1

[解析]∵(＋)·＝0，

∴OB⊥PF2，且B为PF2的中点．

又O是F1F2的中点，∴OB∥PF1，∴PF1⊥PF2.

∵|PF1|－|PF2|＝2a，又∵||＝||，

∴|PF2|＝(＋1)a，|PF1|＝(＋3)a.

∴由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得

(12＋6)a2＋(4＋2)a2＝4c2，

∴e2＝4＋2，∴e＝＋1.

跟踪训练

3．答案：

解析：如图所示，延长F2A交PF1于点B.

依题意可得|BF1|＝|PF1|－|PF2|＝2a.又因为点A是BF2的中点，所以|OA|＝|BF1|，所以b＝a.

所以c＝a.所以离心率为.

达标检测

1．答案：C

解析：因为双曲线－＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.又离心率e＝＝＝＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选C.

2．答案：B

解析：由题意可知c＝3，a＝2，b＝＝＝，故双曲线的方程为－＝1.

3．答案：D

解析：双曲线C1的离心率e1＝＝＝＝，双曲线C2的离心率e2＝＝＝＝＝＝，所以e1＝e2，而双曲线C1的实轴长为2a1＝2cos θ，虚轴长为2b1＝2sin θ，焦距为2c1＝2＝2，双曲线C2的实轴长为2a2＝2sin θ，虚轴长为2b2＝2sin θtan θ，焦距为2c2＝2＝2＝2tan θ，所以A，B，C均不对，故选D.

4．答案：B

解析：依题意得|PF1|－|PF2|＝±2a，又|PF1|＋|PF2|＝3b，(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2＝9b2－4a2，即有4|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2，又4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此有9b2－4a2＝9ab，即92－－4＝0，＝0，＝，该双曲线的离心率e＝＝，故选B.