数学九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆优质教案设计

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系

24.2.2 直线和圆的位置关系

（第3课时）

一、教学目标

【知识与技能】

理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.

【过程与方法】

利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念.

【情感态度与价值观】

经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力.

二、课型

新授课

三、课时

第3课时，共3课时。

四、教学重难点

【教学重点】 

切线长定理及其应用.

【教学难点】 

内切圆、内心的概念及运用.

五、课前准备 

课件、图片、圆规、直尺等.

六、教学过程

（一）导入新课

同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？（出示课件2）

（二）探索新知

探究一 切线长定理及应用

教师问：上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？（出示课件4）

学生思考，尝试作图并解答．

出示课件5:出示定义:

切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．

教师问：切线长与切线的区别在哪里？

学生思考后师生共同总结：

①切线是直线，不能度量.

②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．

教师问：PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．OB是☉O的一条半径吗？PB是☉O的切线吗？PA、PB有何关系？∠APO和∠BPO有何关系？（出示课件6）

学生思考后，尝试利用图形轴对称性解释.

教师归纳：（出示课件7）

切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.

几何语言:

∵PA、PB分别切☉O于A、B，

∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.

出示课件8：已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.

求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.

学生观察分析，合作交流后师生共同解答.

证明：∵PA切☉O于点A，

∴OA⊥PA.

同理可得OB⊥PB.

∵OA=OB，OP=OP，

∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），

∴PA=PB，∠APO=∠BPO.

教师问：若连接两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.（出示课件9）

学生操作后观察得：OP垂直平分AB.

师生共同证明如下.

证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点,

∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.

∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线

∴OP垂直平分AB.

教师问：若延长PO交⊙O于点C，连接CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.（出示课件10）

学生操作后观察得：CA=CB.

师生共同证明如下.

证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，

∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.

∴PC=PC.

∴△PCA≌△PCB，

∴AC=BC.

出示课件11：例1  已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H.

求证：AB+CD=AD+BC.

学生独立思考后师生共同解决如下.

证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H，

∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.

∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.

∴AB+CD=AD+BC.

巩固练习：（出示课件12）

PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.

（1）若AP=4,则OP=       ;

（2）若∠BPA=60°,则OP=       .

学生自主思考后口答：⑴5；⑵6.

出示课件13：例2  为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．

教师分析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA、OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径．

师生共同解答.（出示课件14）

解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.

∵AP、AQ为⊙O的切线，

∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.

又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.

在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，

即铁环的半径为

巩固练习：（出示课件15）

如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D、E两点,经测量发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为        cm(AD<BE).

学生思考后独立解决.

解析：设圆心为O,连接OD、OE,x2-25x+150=0,(x-10)(x-15)=0,

解得x1=10,x2=15,∵AD<BE,∴AD=10,BE=15,

设半径为r,又AB=AD+BE=25,∴(AD+r)2+(BE+r)2=AB2,

∴(10+r)2+(15+r)2=252,解得r=5.

探究二  三角形的内切圆及作法

出示课件16：小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？

教师问：如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？（出示课件17）

学生答：最大的圆与三角形三边都相切.

教师问：如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？(1)如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？（出示课件18）

学生答：圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.

教师问：(2)在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？

学生答：圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.

教师问：为什么？

学生答：三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.

出示课件19：做一做

已知：△ABC.

求作：和△ABC的各边都相切的圆.

引导学生分析作图的关键，师生共同作图如下：

作法：

1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.

2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.

3.以O为圆心，OD为半径作圆O.

☉O就是所求的圆.

教师归纳总结：（出示课件20）

1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.

2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.

3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.

如图，☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.

出示课件21：例 已知:△ABC(如图),

(1)求作△ABC的内切圆☉I(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,写出作法,不要求证明).

(2)在题(1)已经作好的图中,若∠BAC=88°,求∠BIC的度数.

学生观察思考交流后，师生共同解答.（出示课件22，23）

解析：(1)①以A为圆心、任意长为半径画圆,分别交AC、AB于点H、G;

②分别以H、G为圆心,以大于HG的长为半径画圆,两圆相交于K点,连接AK,则AK即为∠BAC的平分线;

③同理作出∠ABC的平分线BF,交AK于点I,则I即为△ABC内切圆的圆心;

④过I作IM⊥BC于M,以I为圆心,IM为半径画圆,则☉I即为所求圆.

(2)∵∠BAC=88°,

∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°,

∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=×92°=46°,

∴∠BIC=180°-46°=134°.

巩固练习：（出示课件24）

△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积.（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC.）

学生思考交流后自主解决.

解：设AB=c，BC=a，AC=b.

则S△OBC=ar,S△OBA=cr,S△OAC=br,

S△ABC=S△OBC+S△OBA+S△OAC

=ar+cr+br

=r（a+c+b）

=lr.

探究三 三角形的内心的定义和性质

教师问：如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段IA，IB,IC有什么特点？（出示课件25）

学生答：线段IA，IB,IC分别是∠A，∠B，∠C的平分线.

教师问：如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？（出示课件26）

学生答：IE=IF=IG.

教师归纳：三角形内心的性质（出示课件27）

三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.

出示课件28：例  如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.

教师分析后学生独立解答.

解：连接IB，IC.

∵点I是△ABC的内心，

∴IB，IC分别是∠B，∠C的平分线，

在△IBC中，

巩固练习：（出示课件29）

如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB=          .

学生自主思考后独立解答.

解析：∵点P是△ABC的内心,

∴PB平分∠ABC,PA平分∠BAC,PC平分∠ACB,

∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.

出示课件30，师生共同总结深化认知.

（三）课堂练习（出示课件31-36）

1.如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（　　）

A．3     B．  C．6     D．

2.如图，菱形ABOC的边AB、AC分别与⊙O相切于点D、E．若点D是AB的中点，则∠DOE=           ．

3.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4,∠APB=40°,则∠APO=     ,PB=       .

4.如图，已知点O是△ABC的内心，且∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BOC=     .

5.如图，在△ABC中，点I是内心，

（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠BIC=_____.

（2）若∠A=80°，则∠BIC=_____度.

（3）若∠BIC=100°，则∠A=_____度.

（4）试探索：∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？

6.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.

7.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.

参考答案：

1.D解析：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC，

∴∠OAB=60°，在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=，

∴光盘的直径为．

2.60°解析：连接OA，

∵四边形ABOC是菱形，

∴BA=BO，

∵AB与⊙O相切于点D，

∴OD⊥AB，

∵点D是AB的中点，

∴直线OD是线段AB的垂直平分线，

∴OA=OB，

∴△AOB是等边三角形，

∵AB与⊙O相切于点D，

∴OD⊥AB，

∴∠AOD=∠AOB=30°，

同理，∠AOE=30°，

∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60° ．

3.20°；4

4.110°

5.解：⑴120°；⑵130；⑶20；⑷

6.证明：连接OD，

∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC，

∴∠ODC=∠B=90°.

在Rt△OCD和Rt△OCB中，OD＝OB ，OC＝OC , 

∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），

∴∠DOC=∠BOC.

∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，

∵∠DOB=∠ODE+∠OED，

∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC.

7.证明：连接BI.

∵I是△ABC的内心，

∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI.

∵∠CBD=∠CAD，

∴∠BAD=∠CBD.

∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，

∴∠BID=∠IBD，

∴BD=ID．

（四）课堂小结

这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？

（五）课前预习

预习下节课（24.3第1课时）的相关内容.

七、课后作业

配套练习册内容

八、板书设计：

九、教学反思：

本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.