人教版九年级上册22.1.1 二次函数优质课教案

《二次函数的图象和性质》教学设计

一、内容和内容解析

（一）内容

二次函数的图象和性质．

（二）内容解析

类比一次函数图象和性质的研究，采用从特殊函数到一般函数的研究方法．最简单二次函数的图象和性质，对a>0、a<0分别进行探究．通过用描点法在同一坐标系内画出的图象，引导学生观察这些函数图象的共同点和不同点，归纳得出二次函数的的图象和性质，同样类比研究的性质，最后从对称性、最值、增减性几个方面归纳出，体现了研究代数学问题的一般方法．

二、目标和目标解析

（一）教学目标

1．理解并掌握二次函数的图象和性质；  

2．经历、探索二次函数图象性质的过程，学会研究函数性质的方法，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯．

重点与难点：

重点：二次函数的图象和性质．

难点：数形结合探讨二次函数的图象和性质．

（二）目标解析

1．二次函数性质是由解析式和自变量取值范围决定的，所以从解析式分析得到函数图象的示意图和函数的性质，用图象来验证性质．

2．通过对多个函数图象的对比，发现共性，归纳函数的性质，帮助学生直观地理解二次函数的性质．

三、教学问题诊断分析

画二次函数的图象时学生容易出现的问题是点与点之间用折线连接，尤其在顶点附近部分图象画不好，可以让学生多画几对点，图象本身就是近似的，点取的越多越接近于标准．

本节课突出培养从特殊到一般、数形结合和类比思想解决问题，为学生学习后续函数、研究后续函数的图形和性质奠定扎实的基础．

本课的教学重点是理解二次函数的图象和性质，从解析式、表格、图象三种途径分别发现函数性质、理解函数性质．

本课的教学难点是二次函数的图象和性质的探究过程．

四、教学过程设计

（一）温故知新

1．回顾研究一次函数的基本方法：概念→图象和性质→应用性质．

2．按怎样的顺序研究一次函数的图象和性质？

令b=0，特殊的一次函数即正比例函数→b≠0的一次函数 ，可以通过正比例函数上下平移或左右平移得到即特殊→一般．

 3．如何来研究二次函数的图形和性质呢？

引导学生仿照一次函数的研究方法，从特殊形式的二次函数入手，如：令时或令时或令时，从最简单、最特殊的形式开始研究，从而引出本节课的重点：探究二次函数的图象和性质．

师生活动：回忆一次函数的研究顺序，寻找最特殊的二次函数并入手研究二次函数的性质．

【设计意图】回顾一次函数的研究程序：概念→图象和性质→应用，类比研究二次函数的图象和性质．既巩固函数的研究方法，又引出今天学习的内容．

（二）合作交流，探究性质

1．从最简单的二次函数开始研究它的图象和性质．分a>0 和a<0，先研究a>0，并从a=1入手探究的图象和性质．

（1）从解析式研究函数的图象和性质．

从解析式研究下面的内容：

①自变量取值范围：x取全体实数；

②函数值y的取值范围：；

③当x取相反数时，函数y值相等；（对称性）

④当x=0时，y有最小值，y的最小值为0；

⑤当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小；

⑥图象分布于第一、二象限和原点；

⑦图象有最低点（0，0），图象在第一象限部分会是直线吗？不可能是直线，因为在第一象限部分，y随着x的增大不是匀速增大的，比如x=1时，y=1；当x=2时，y=4；当x=3时，y=9．x从1增加到2，y增加了3个单位，而x从2增加到3，y增加了5个单位，也就是说y不是匀速增大的而是有一个加速度的．所以它的图象在第一象限部分不是直线，而是曲线，并且y随着x的增大而增大．猜想二次函数在第一象限的示意图可能是如图1或如图2．

二次函数的示意图在第一象限部分示意图如图1还是如图2那样呢？图1是y的增长速度先慢后快，图2是先快后慢．比如取特殊点时，，y的增长速度先慢后快，可以判断图象应该如图1．

由前面第（3）条性质，当x取相反数时，函数y值相等，说明函数图象关于y轴对称，完整的示意图应该如图3．

归纳二次函数的性质：

图象关于y轴对称； 图象有最低点（0，0）； 在y轴左侧，y随着x的增大而减小；在y轴右侧，y随着x的增大而增大．

师生活动：由解析式分析函数图象和性质，从自变量和函数值范围、对称性、增减性、最值等几个方面分析，得到函数性质和猜想函数示意图．

【设计意图】学会从函数解析式研究函数性质的方法，了解对一个新函数应该从哪些内容、按什么顺序研究它的性质，为探究函数性质的知识体系打下基础，并从中积累基本的数学活动经验．

（2）从表格研究函数的图象和性质．

为了得到准确的的图象，用描点法来画．

描点法的步骤是列表、描点、连线．列表时根据自变量的对称性取一些有代表性的对称点，由于时，，估计学生画图时会出现问题，建议在0到1之间多取几对数，如．

引导学生从表格发现二次函数的性质：

图象关于y轴对称； 图象有最低点（0，0）；在y轴左侧，y随着x的增大而减小；在y轴右侧，y随着x的增大而增大．

学生在画图过程中容易出现点与点之间用折线连接，突破的办法就是多取几对点，尤其是自变量在0在1之间．

师生活动：用描点法画准确的的图象，先列表，取代表性的一些特殊值，从表格探究函数的性质．

【设计意图】从表格发现函数的图象和性质，从多种角度帮助学生理解函数的图象和性质，突出重点，突破难点，为学生后续研究函数性质奠定基础．

（3）从图象研究函数的性质．

用描点法得到y= x2的图象，给图象命名．二次函数y= x2的图象形状类似于投篮或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫抛物线y= x2．

二次函数的图象都是抛物线．

一般地，二次函数的图象叫做抛物线 ．

抛物线y= x2关于y轴对称，y轴是它的对称轴．

对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点．

抛物线y= x2在x轴上方(除顶点外)，顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展; 当x=0时，函数 y的值最小，最小值是0．

在对称轴左侧（或x<0时)，y随着x的增大而减小；

在对称轴右侧（或x>0时)，y随着x的增大而增大．

师生活动：对照描点法画出的y= x2．的图象，给图象命名．在经历解析式、表格分析函数性质的基础上，归纳二次函数y= x2．的性质．

【设计意图】用描点法画出准确的图象验证猜想所得示意图，对照图象研究函数性质．从解析式、列表、图象三种函数表示法分别研究函数性质，帮助学生理解函数的性质．

2．从特殊到一般地归纳函数的图象和性质

画一画：在同一坐标系中画出下列函数的图象：y= x2 、y= 2x2 、y=x2、、、，并比较它们的相同点与不同点．

让学生讨论、交流，达成共识，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，抛物线自左向右下降；在对称轴的右侧，抛物线自左向右上升，顶点是抛物线上位置最低点．图象的这些特点，反映了当时，函数的性质；当时，函数值y随x的增大而减小；与时，函数值y随x的增大而增大，当时，函数值取得最小值，最小值是y＝0．

当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，抛物线自左向右上升；在对称轴的右侧，抛物线自左向右下降，顶点是抛物线上位置最高点．图象的这些特点，反映了当时，函数的性质；当x<0时，函数值y随x的增大而增大；与x>0时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值取得最大值，最大值是y＝0．

师生活动：在同一坐标系中画出不同的函数图象，合作交流，归纳二次函数的图象和性质．

【设计意图】通过对函数图象的画和分析，让学生一方面熟悉二次函数图象，见到二次函数想到抛物线，另一方面归纳总结的性质，渗透从特殊到一般的方法．对于a对抛物线开口大小的影响，教师还可以借助几何画板演示，多展示一些抛物线，给学生以直观的形象，进一步加深理解．

（三）新知应用，加深理解

例1 (1)抛物线的顶点坐标是        ，对称轴是      ，在        侧，y随着x的增大而增大；在         侧，y随着x的增大而减小，当 x=    时，函数 y的值最    ，最     值是     ，抛物线在x轴的     方(除顶点外)．  

(2)抛物线在x轴的       方(除顶点外)，在对称轴的左侧，y随着x的                     ；在对称轴的右侧，y随着x的                     ，当x = 0时，函数y的值最       ，最    值是      ；当x      0时，y < 0．

师生活动：直接应用函数的图象和性质，二次函数的图象分两类，开口向上和向下．

【设计意图】巩固刚学的图象和性质，要求学生见解析式想图象．

例2  已知二次函数． 

（1）当m取何值时，它的图象开口向下；

（2）当x>0时，y随x的增大而增大，求函数关系式．

师生活动：联系二次函数概念，直接考查函数的图象和性质．

【设计意图】建构新旧知识体系，要求学生从函数性质想图象．

（四）巩固概念，学以致用

巩固练习：教科书32页练习，增加一问：说出函数的增减性．

【设计意图】见函数想图象，数形结合，巩固二次函数的图象和性质．

（五）归纳小结，反思提高

不仅总结今天所学的知识，重点归纳数学方法和数学思维．

1．从函数解析式、表格、图象研究函数图象和性质的几个方面：自变量取值范围，函数值取值范围，对称性，最值，增减性等．

2．二次函数的图象和性质．

3．数形结合──图象和性质密不可分．由图象想性质、由性质想图象．

（六）布置作业：

1．完成表格．

2．教科书习题22.1巩固练习第3，4题．

五、目标检测设计

1．抛物线共有的性质是（    ）．

A．开口向上  B．对称轴都是轴   C．都有最高点   D．顶点都是原点

【设计意图】考查对二次函数的性质．

2．已知函数y＝(m2－3m)的图象是抛物线，则函数的解析式为              ，抛物线的顶点坐标为______，对称轴为______，开口______．

【设计意图】由自变量的二次和的条件得到函数解析式，从解析式得到函数性质．

3．二次函数中，当时，与的大小关系是             ．

【设计意图】考查对二次函数的增减性．