人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题优秀教案

13.4课题学习《最短路径问题》教学设计

一、教学目标

1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。

2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用。 

3.体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。

二、重点难点：

重点：1.能将实际问题抽象为数学问题；

2.能通过逻辑推理证明所求距离最短。

难点：能通过逻辑推理证明所求距离最短，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。

三、教学过程：

(一)回顾与思考：

1.点到点：两点之间，线段最短。

练习一：两个村庄之间要修一条公路，怎样设计才能最省材料？

先将实际问题转化为数学问题，将村庄用点来表示，最后利用“两点之间，线段最短”解决。

2. 点到线：垂线段最短。

练习二：从河边引水到村庄里，怎样铺设管道才能最省材料？

    同样先将实际问题转化为数学问题，将村庄用点表示，河流用直线表示，最后利用“垂线段最短”解决。

3.思考：同学们觉得上述两个问题有什么共同特点，解决方法有什么类似之处？

 都是将实际问题转化为数学问题，从而解决了实际问题。

设计意图：回顾反思，掌握知识点间的联系，用问题的形式，引起学生的注意，激发学生探索数学奥秘的热情。

(二)过程探究

1、  课例探究

探究1. 要在燃气管道l上修建一个泵站C，分别向A、B两镇供气，泵站C修在管道l的什么地方，可以最省材料？

转化——猜想——尝试——验证——总结

请把你的猜想在练习纸上尝试一下，画一画。                

 ●A

          l

                       ●B

设计意图：通过添加一条直线，利用学过的“两点之间，线段最短”解决这一类实际问题，体会以不变应万变的数学方法。

探究2.如图，要在燃气管道l上修建一个泵站C，分别向A、B两镇供气，泵站C修在管道l的什么地方，可以最节省材料？

●B            

 ●A

         l

       猜想一下，点C的位置会在哪儿呢？

       请把你的猜想在练习纸上尝试一下，画一画，量一量。

设计意图：在探究一的基础上，改变点的位置，引导学生用已有的经验和方法解决类似的问题，体会思考问题、解决问题的方法。

探究3.在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，若泵站修在点C处最省材料，你知道点C是怎么找到的吗？试着画一画吧

●B            

      ●A

         L                        ●

                                      C

      求：线段AC+BC最短。

      证明：在l上任取另一点C’，

             连结BC’、AC’、B’C’

            ∵直线MN是点B、B’的对称轴，点C、C’在对称轴上，

            ∴BC=B’C， BC’=B’C’

            ∴BC+A C=B’C+AC=AB’

            ∴BC’+AC’=B’C’+AC’

            在△AB’C’中，AC’+B’C’ >AB’

            即：AC’+BC’ >AC+BC

问：通过以上几个问题的探究、学习，请同学们总结一下，解决类似最短路径问题时，应采用什么方法，具体步骤是什么？

设计意图：在探究二的方法选择遇到困难的基础上，给出C点的正确位置，引导学生用已有的经验和方法去验证能否刚好得到C点，最终确定可行的方法，并通过推理验证其正确性和唯一性。

总结归纳：解决最短路径问题的基本步骤：

1.实际问题---数学问题（点、线）；

2.未知---已知；

3.利用轴对称变换将“折”线段转化为“直”线段；

4.根据“两点之间，线段最短” ，确定最短路径。

设计意图：通过小组合作，学生经历了思考，探索，总结的过程，加强团队合作，提升自主学习的信心。

2、练习巩固：

练习1.如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，求点P的位置.

设计意图：将新知应用到平面直角坐标系中，找到问题中的直线，会确定该问题的类型并利用新知解决。

练习2. 已知：P、Q是△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？

设计意图：将图形变换为三角形，让学生在更复杂的图形下，找出基本图形，从而用新知解决问题。

练习3.已知等腰△ABC，AB=AC,AD是BC边上的高，E是AB边上的中点，

(1)在AD上找到点p，使PB+PE最短；

(2)在AC上找到点p1，使PB+PE最短。

设计意图：应用轴对称的知识方法，解决不同类型的最短路径问题，从轴对称的“桥梁”作用中，感悟转化思想。

（三）课堂小结：老师和学生一起回忆：

(1)我们学到了什么知识？

最短路径问题的基本模型：

（同侧）                      

●B            

 ●A

         l

（异侧）

●A

          l

                       ●B

（2）我们掌握了什么方法？

     利用轴对称变换，把“折”路径摆成“直”路径.

设计意图：通过讨论、交流，加深对所学知识的认识，体验探索中的新发现，锻炼学生自主归纳小结的能力。

（四）作业布置

   课本复习题13第15题。