【同步教案】北师大版数学八年级上册--第一章 回顾与思考教案

勾股定理 回顾与思考

【教学目标】

（一）教学知识点

1．对直角三角形的特殊性质全面进行总结。

2．让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法的应用。

3．了解勾股定理的历史。

（二）能力训练要求

1．体会在结论获得和验证过程中的数形结合的思想方法。

2．在回顾与思考的过程中，提高学生分析问题、解决问题的能力，鼓励学生要善于思考、善于创新。

（三）情感与价值观要求

1．在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽乐趣。

2．通过对勾股定理历史的了解，培养学生的爱国主义精神，体验科学给人类带来的力量。

【教学重点】

1．回顾并思考勾股定理及其逆定理的获得和验证过程；总结直角三角形边、角之间分别存在的关系。

2．在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法。

【教学难点】

1．在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法。

2．建立本章的知识框架图。

【教学方法】

交流与反思-----合作与探究

【教学过程】

创设情境，导入新课

活动一：展示两幅图片，第一幅图片为2002年在我国北京召开的第24届国际数学家大会的场景，值得一提的是这次大会的会徽，为著名的赵爽弦图。

第二幅图片为我国著名数学家华罗庚教授提议的向宇宙发射的勾股定理的图形，用来与外星人联系。我国著名数学家华罗庚曾经说过：“把勾股定理送到外星球，与外星人进行数学交流”。

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学的发展中起着重要作用，在现实世界中有着广泛的应用。勾股定理的发现、验证及应用的过程蕴含了丰富的文化价值。这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史和它的广泛应用。

设计意图：这样的导入富有科学特色和浓郁的数学气息，激起学生强烈的兴趣和求知欲。

反思交流，探求新知：

一、议一议：

直角三角形的边、角之间分别存在什么关系？

（1）在△ABC中，∠C＝90º，a，b，c为三角形的三边，则：

角与角之间的关系：∠A＋∠B＝90º

边与边之间的关系：a2 + b2 = c2

（2）在△ABC中，a，b，c为三角形的三边，

如果∠A＋∠B＝90º，则三角形为直角三角形。

a2 + b2 = c2则三角形为直角三角形。

活动三：回顾勾股定理及直角三角形的判别条件

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

直角三角形的判别条件：如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ，

那么这个三角形是直角三角形。

满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数。

游戏：叫一列学生玩常见勾股数的接龙游戏。3、4、5；6、8、10；9、12、15；15、20、25；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41等。

二、方格纸中勾股定理的验证

方法一：分割为四个直角三角形和一个小正方形。

方法二：补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积。

方法三：将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形。

方法四：利用皮克公式

正方形周边上的格点数a=12，正方形内部的格点数b=13，所以，正方形C的面积为：S=1/2a+b-1。

三、史话勾股定理的证明

1．三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明。它用几何图形来证明代数式之间的恒等关系，体现了以形证数、形数统一、代数和几何的紧密结合 。

2．传说古希腊的毕达哥拉斯用下面的两个图形证明了勾股定理，你能直接观察验证勾股定理吗？

活动：通过本章的学习，你还知道勾股定理的哪些证明方法？请同学们介绍。

1．美国总统伽菲尔德的证明。 他的方法直观、简捷、易懂、明了。

2．刘徽的“青朱出入图”，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”。

3．著名画家达芬奇的证明

同学们，通过了解勾股定理的历史，我们感受到古代数学家的伟大成就和勾股定理丰富的文化价值，希望同学们在今后的学习中善于探索，善于创新，并且把这些成就发扬光大。

四、欣赏美丽的勾股树，感受数学图形之美，创造之美。

五、拓展与应用  

勾股定理中的思想方法

数学思想方法是解决数学问题的灵魂。正解的运用数学思想方法也是成功解题的关键。尤其是在运用勾股定理解题时，更应注重思想方法的运用，那么你知道运用勾股定理解题应注重哪些思想方法呢？为了帮助同学们能清楚地知道这一问题，现就常用的思想方法举例说明，供同学们学习时参考。

类型之一、分类讨论思想

已知一个直角三角形的两边长是和，求第三边的长。

分析　已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论。

解：当和是两条直角边时，则利用勾股定理求得第三条边即斜边是＝5；当是直角边，是斜边时，仍由勾股定理求得另一条直角边是㎝。

说明　求解本题许多同学往往受勾3股4弦5的思维定势，而误认为和就是直角三角形的两条直角边，斜边当然是了，从而漏掉一解导致错误。

构造直角三角形解题

类型之二    转化思想   台阶中的最值问题

空间图形的距离最短问题是勾股定理在实际生活中的具体应用，一般地求距离最短问题要把“立体图形”转化为“平面图形”，再利用“两点之间线段最短”，以及“勾股定理”等知识来解决问题，这类问题涉及的几何体主要有长方体、正方体、圆柱等。

1．台阶中的最值问题

如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于５cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？

解：台阶展开成平面如图所示，连接AB。

因为BC＝3×3＋1×3＝12，AC=5，所以AB2=AC2+BC2=169，AB＝13cm，所以蚂蚁爬行的最短路线为13cm。

B

类型之三   方程思想

3．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面3尺。突然，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？

分析：由题意，我们知在图1-1中为AB湖水的深度，AC为荷花的长，△ABC为直角三角形。

解：设水深为x尺，则荷花的长为（x+3）尺，由勾股定理得：

62+ x2= （x+3）2

　　解得：x=4．5，所以这个湖的水深为4．5尺。

类型之四   数形结合思想

应用勾股定理及其逆用解决有关航海问题的应用题，首先要能从实际问题中抽象出数学模型，画出图形，结合其他知识求出直角三角形的未知边或相关的量。

例如：甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以30海里/小时的速度向北偏东35°的方向航行，乙船以40海里/小时的速度另一个方向航行，2小时后，甲船达到C岛，乙船到达B岛。若两岛相距100海里，问：乙船航行的方向是南偏东多少度？

解：如图所示，在△ABC中，因为AC=2 × 30=60，

AB=2×40=80，BC=100，所以AC2+BC2=602+802=3600+6400=10000=1002=BC2，

所以△ABC是直角三角形，

且∠BAC=90°。

由于180°－35°－ 90°=  55°，

所以乙船航行的方向是南偏东55 °。

六、跟踪练习

1．已知一个Rt△ABC的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是  

2．有一个圆柱，它的高等于13厘米，底面半径等于3厘米。一只蚂蚁从距底面1米的A点爬行到对角B点处去食物，需要爬行的最短路程是多少？(π的值取3)。

解：将圆柱的侧面展开成平面图形，连接AB。

因为AC＝13－1＝12 cm，

BC=3×3＝9cm ，

所以AB2=AC2+BC2=225，AB＝15cm，

所以蚂蚁爬行的最短路线为15cm 。

七、感悟与收获

1．通过这节课的学习活动你有哪些收获？

2．通过本节课的学习，你获得了那些数学思想和方法？

3．学习过程中你还有什么困惑？

【作业布置】

必做题 ：

1．课后练习；

2．独立完成一份小结，用自己的语言梳理本章的内容。

选做题：

    1.勾股定理不仅在数学的发展中起着重要作用，而且在现实世界中有着广泛应用，请同学们试举几例，感受数学与生活紧密相连。