湘教版九年级上册2.1 一元二次方程优秀教案

教学流程

设计说明

<一>设置悬念，引发兴趣：

1、我们已经学会了怎么解一元二次方程，一元二次方程的根有哪几种情况？能不能不解方程便判断出它们根的情况？

这样设计，能激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造最佳的心理状态。

<二>设置练习，创设情境。

用公式法解下列一元二次方程

使学生亲身感知一元二次方程根的情况，回顾已有知识

<三>启发引导，发现结论：

观察解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，都是先确定了a、b、c的值，然后求出的值，为什么要这样做呢？学生能说出 的作用是：它能决定方程是否可解。

由此可见：在解一元二次方程时，代数式起着重要的作用，显然我们可以根据的值的符号来判断一元二次方程  的根的情况，因此我们把  叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△”来表示，即△=。在今后的数学学习中还会遇到用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要适应这一点，它体现了数学的简洁美。

让学生明白： 的值的符号在解一元二次方程中所起的重要作用，从而很自然地引出了根的判别式概念。

培养学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣。

<四>引导学生，理论验证：

 利用配方法，可以把一元二次方程变形为：

因为正数、零还是负数直接对方程的根产生影响

2、b2-4ac=0时，方程有两个相等的根

   3、b2-4ac<0时，方程没有实数根

培养学生思维的严谨性，养成严格论证问题的习惯。

<五>揭示定理：

（1）由此我们就得出了关于一元二次方程 的根的判别式定理：代数式b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式. 用“△”表示

在一元二次方程中，

     若△＞0  则方程有两个不相等的实数根

     若△ = 0 则方程有两个相等的实数根

     若△＜0  则方程没有实数根

     (若△≥0  则方程有实数根)

 （2）这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：

在一元二次方程中，

     若方程有两个不相等的实数根，则△＞0

     若方程有两个相等的实数根，则△= 0

     若方程没有实根，  则△＜0

(若方程有实数根,  则△≥0)

培养学生学会如何用数学语言来阐述发现的结论，如何将感性认识上升到理性认识，以及加深学生对定理的认识，为正确运用做好铺垫。

  <六>应用定理，解决问题：

 例题一：不解方程，判别下列方程根的情况

 分析：判别方程根的情况，根据定理可知，就是要确定△值的符号

练习

（4）题补充了一个含有字母系数的方程，补充此题的目的是：发展学生的符号意识，为今后解综合性问题打好基础。

以上练习的设计，主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会，同时也为了吸引和调动全班同学参与到积极动脑，各抒己见的活跃气氛中来，并培养学生分析问题，解决问题的能力。

 3.若关于x的方程x2-2x+k =0无实数根，则实数k的取值范围———

4.若一元二次方程x2-4x+m=0(a≠0)总有实数根，则m应满足的条件是（   ）

A.m＞4                   B. m=4    

C. m<4                  D. m ≤4

例2：m为何值时，关于x的一元二次方程

      2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：

（1）有两个不相等的实数根？

（2）有两个相等的实数根？

（3）没有实数根？  

分析：要解决这个问题，应先根据方程根的情况，得出△的取值，从而求出的取值范围。

巩固练习：

1、            关于x的方程mx2-（3m-1）x +2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m的值及方程的根。

本题是一个用逆定理来解决的问题，以巩固逆定理的运用方法，本题让学生自己分析，教师只帮助学生理清思路，最后让学生自己完成。

例题2的目的是让学生掌握逆用根的判别式。

巩固练习，学生自己动手，加深应用

<七>归纳小结

一元二次方程中，什么情况下

（1）方程有两个不相等的实数根 (2)方程有两个相等的实数根 (3)方程没有实数根

使学生系统地了解和掌握本节课的内容

< 八>作业布置：

  （必做题）不解方程判定下列方程根的情况：

（选做题）已知：方程有两个实数根，

求：的取值范围

使学生能及时巩固本节课所学知识，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间。