【同步教案】湘教版数学九年级上册--4.1 正弦和余弦 教案（共3课时）

正弦和余弦

【教学目标】

（一）知识与技能

1．使学生理解锐角正弦的定义。

2．会求直三角形中锐角的正弦值。

3．会用计算器计算任意一个锐角的正弦值。

（二）过程与方法

使学生经历探索正弦定义的过程，逐步培养学生观察、比较、分析、归纳的能力。

（三）情感态度

通过探索、发现，培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。

【教学重难点】

1．重点：根据定义求锐角的正弦值。

2．难点：探索“在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值是一个常数”的过程。

【课时安排】

2课时

【第一课时】

【教学过程】

一、情景导入，初步认知

下图是上海东方明珠电视塔的远景图，你能想办法求出旗杆的高度吗？

学习了本章内容你就能简捷地解决这类问题，本章将介绍锐角三角形函数，它们的本事可大了，可以用来解决实际问题，今天我们来学习第一节“正弦和余弦”。

教学说明：

通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探究的欲望，有利于引导学生进行数学思考。

二、思考探究，获取新知

（一）画一个直角三角形，其中一个锐角为65°，量出65°角的对边长度和斜边长度，计算：65°角的对边/斜边=_______=_______。

1．与同桌和邻桌的同学交流，看看你们计算出的比值是否相等。

2．根据计算的结果，你能得到什么结论？

3．这个结论是正确的吗？

4．若把65°角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？

（二）如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α、∠C=∠F=90°，则BC/AB=EF/DE成立吗？请说出你的证明过程。

通过我们的证明，说明在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关。

归纳结论：在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正弦。记作sinα。

（三）计算sin30°、sin45°、sin60°的值。

归纳结论：sin30°=1/2；sin45°=/2；sin60°=/2

（四）我们已经知道了三个特殊角（30°、45°、60°）的正弦值，而对于一般锐角α的正弦值，我们应该如何来计算呢？

例如：利用计算器计算sin50°的值。

在计算器上依次按键sin 5 0，则屏幕上显示的就是sin50°的值，

（五）如果已知正弦值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数。

例如：已知sinα=0.7071，求α的度数。我们可以依次按键2ndF sin 0 ． 7 0 7 1，则屏幕上显示的就是α的度数。

三、运用新知，深化理解

（一）见教材相关例1、例2。

（二）在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，a=2，则b等于（    ）。

A．6       B．2       C．3       D．26

答案：A

（三）计算sin36°=_____。（保留四个有效数字）。

答案：0.5878

（四）若sinA=0.1234，sinB=0.2135，则A_____B（填<、>、=）

解析：根据sin30°=1/2，sin45°=/2，sin60°=/2，我们可以发现锐角的度数越大，正弦值越大。

答案：<

（五）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．

1．求∠A的正弦sinA。

2．求∠B的正弦sinB。

分析：先利用勾股定理算出AB的长，再利用正弦的计算方法进行计算。

解：1．∠A的对边BC=3，斜边AB=5，于是sinA=3/5

2．∠B的对边是AC，因此sinB=AC/AB=4/5

（六）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍，则锐角A的正弦值（    ）。

A．不变化                                B．扩大3倍

C．缩小1/3                               D．缩小3倍

分析：因为各边值都扩大3倍，所以锐角A的对边与斜边的比值不变。

答案：A

（七）已知：在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=2，求BC的长。

分析：作△ABC的一条高，把原三角形转化成直角三角形，并注意保留原三角形中的特殊角。

（八）求sin63°52′41″的值。（精确到0.0001）

解：先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：

所以sin63°52′41″≈0.8979

四、师生互动、课堂小结

首先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，最后教师作以补充。

【作业布置】

教材“习题4.1”中第3、4题。

【教学反思】

本节课，重难点就是对比值的理解，可以从以下几方面着手研究：

（一）讨论角的任意性（从特殊到一般）；

（二）运用相似三角形性质，让学生领悟到：在直角三角形中，对于固定角，无论直角三角形大小怎么样改变，都影响不到其对边与斜边的比值。

【第二课时】

【教学目标】

一、知识与技能

（一）使学生理解锐角余弦的定义。

（二）会求直三角形中锐角的余弦值。

（三）会用计算器求一般锐角的余弦值。

二、过程与方法

通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。

三、情感态度

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。

【教学重难点】

求直三角形中锐角的余弦值。

【教学过程】

一、情景导入，初步认知

（一）什么叫做正弦？

（二）sin30°、sin45°、sin60°的值分别是多少？

二、思考探究，获取新知

（一）如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？

由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关。

归纳结论：在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫做角α的余弦。记作cosα。即cosα=角α的邻边/斜边。

从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有cosα=sin(90°-α)，从而有：

sinα=cos(90°-α)。

（二）计算cos30°，cos45°，cos60°的值。

（三）我们已经知道了三个特殊角（30°、45°、60°）的余弦值，而对于一般锐角α的余弦值，我们可以用计算器来计算。

例如，求cos50°角的余弦值，我们可以在计算器上依次按键，则屏幕上显示的就是cos50°的值。

（四）如果已知余弦值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数。

例如：已知cosα=0.8661，求α的度数。我们可以依次按键，则屏幕上显示的就是α的度数。

三、运用新知，深化理解

（一）见教材相关例4。

（二）下列说法正确的个数有（    ）。

1．对于任意锐角α，都有0<sinα<1和0<cosα<1

2．对于任意锐角α1，α2，如果α1<α2，那么cosα1<cosα2

3．如果sinα1<sinα2，那么锐角α1<锐角α2

4．对于任意锐角α，都有sinα=cos(90°-α)

A．1个   B．2个   C．3个   D．4个

答案：C

（三）在△ABC中，∠C=90°，若2AC=AB，求∠A的度数及cosB的值。

分析：利用三角形中边的比值关系，结合三角函数的定义解决问题，注意对特殊角三角函数值的逆向应用。

（四）计算：

1．｜-｜-2sin60°+sin45°·cos45°

2．cos260°+cos245°+sin30°·sin45°

（五）用计算器求值（保留四位小数）：

1．sin38°19′；2．cos78°43′16″。

解：1．按MODE，出现：DEG，按sin，38，“.”，19，“.”，=，显示：0.620007287，则结果为0.6200.

2．按MODE，出现：DEG，按cos，78，“.”，43，“.”，16，“.”=，显示：0.195584815，则结果为0.1956．

（六）若sin40°=cosα，求α的度数。

解：∵sin40°=cosα

∴α=90°-40°=50°

（七）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=3/5，求BC/AB的值。

解：∵sin2B+cos2B=1，∠B为Rt△ABC的内角

∴cosB= =4/5

即cosB=BC/AB=4/5

（八）正方形网格中，∠AOB如图放置，求cos∠AOB的值。

解：如图，在OA上取一点E，过点E作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=。

四、师生互动、课堂小结

首先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，最后教师作以补充。

【作业布置】

教材“习题4.1”中第6、7、8题。

【教学反思】

教学中要关注学生的情感态度，对那些积极动脑，热情参与的同学都给予鼓励和表扬，促使学生的情感和兴趣始终保持最佳状态，从而保证施教活动的有效性。在学生“心求通而未得，口欲言而不能”的状态下，适时导出概念，自然而合理，符合新课标的理念。若干年后，或许对余弦概念的表达式已经彻底忘记，但对探索概念的过程，创新意识，数学思想，将深深铭刻在他们的脑海中。

【第三课时】

【教学目标】

一、知识与技能

（一）进一步认识正弦和余弦。

（二）正弦和余弦的综合应用。

二、过程与方法

通过合作交流，能够根据直角三角形中边角关系，进行简单的计算。

三、情感态度

经过探索，引导、培养学生观察，分析、发现问题的能力。

【教学重难点】

直角三角形中锐角的正弦、余弦的综合应用。

【教学过程】

一、情景导入，初步认知

（一）正弦和余弦的定义是什么？

（二）正弦和余弦之间有什么关系？

二、思考探究，获取新知

一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。（结果精确到0.01m）

分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

解：根据题意（如图）

可知，∠BOD=60°

OB=OA＝OD=2.5m

∠AOD＝1/2×60°＝30°

∴OC=OD·cos30°

=2.5×≈2.165(m)

∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m)

所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34m。

三、运用新知，深化理解

（一）求下列式子的值。

（二）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=3/5，求cosA。

（三）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝12/13，AC＝10，AB等于多少？sinB呢？

（四）已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2＝AB·BD。（用正弦、余弦函数的定义证明）

解：在Rt△ABC中

sinA=BC/AB

在Rt△BCD中

cosB=BD/BC

根据上题中的结论，可知：

在Rt△ABC中，sinA=cosB

BC/AB=BD/BC

即：BC2＝AB·BD

四、师生互动、课堂小结

首先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，最后教师作以补充。

【作业布置】

教材“习题4.1”中第9、10题。

【教学反思】

传统教学存在弊端，同时也具有不合理的元素，因此，我的课堂教学特别强调通过情景引导，使学生学会应用知识，通过探究，将学生引向知识深处，在整个过程中体现了教师的主导作用，学生的主体地位。在教学过程中，如何保证每位学生都得到发展，如何给予每个学生以发展平台，这是每位教师在课堂教学中必须做到的。