初中数学湘教版八年级上册2.1 三角形优秀教学设计

这是一份初中数学湘教版八年级上册2.1 三角形优秀教学设计，共10页。教案主要包含了三角形的高，三角形的角平分线，三角形的中线等内容，欢迎下载使用。

第2章 三角形
2.1 三角形
第2课时 三角形的高线、角平分线与中线
教学目标
1.通过观察、画、折、交流等实践操作过程，认识三角形的高、中线、角平分线、重心.
2.会画出任意三角形的高、中线、角平分线；通过画图、折纸了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线会交于一点.
3.在画、折等实践操作活动过程中，发展和培养学生的空间观念、推理能力及创新精神，提高用数学知识解决实际问题的能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力.
教学重难点
重点：1.三条重要线段概念的理解.探索三条重要线段分别交于一点，明确交点的位置.
2.利用“三线”的性质进行简单地推理证明.
难点：1.“三线”画法，特别是钝角三角形高线的画法.
2.“三线”性质的应用.
教学过程
复习回顾
类别
定义
图示
垂线
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线

线段中点
把一条线段分成两条相等的线段的点

角平分线
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线

探究新知
一、三角形的高
教师：在黑板上给出一个△ABC，请学生回忆怎样作出△ABC的高.
教师提问：（1）你用什么工具作出三角形的高？
（2）三角形有几条高？
（3）你能用折纸的方法作出三角形的高吗？
（4）用折纸的方法折出的高与你用三角尺画出的高一致吗？
（5）你发现三角形的三条高有何特点？
学生活动
学生利用已准备好的其中一个三角形纸片，边折纸边思考以上问题.
归纳：
1.高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
如图1，从△ABC的顶点A向它的对边BC所在直线画垂线，垂足为H,所得线段AH叫作△ABC的边BC上的高.

图 1
2.三角形三条高
三角形的高有三条，三条高的交点在什么位置？
学生活动
找三名学生板演，其余学生动手画出三种三角形的三条高.如图2所示.
　 　　 　
　　①　 　 　 ②　 　③
图 2
教师和学生一起归纳：
①锐角三角形三条高的交点在三角形内部；②钝角三角形三条高的延长线的交点在三角形外部；③直角三角形三条高的交点在直角顶点上.直角三角形的两直角边也是三角形的两条高线.
注意：三角形的高是线段.
高的应用：
由定义可知：若AD是△ABC的高，则AD⊥BC.
二、三角形的角平分线
在黑板上画一个△ABC，问学生如何画一个角的平分线，比如画∠A的平分线？并提问：
（1）三角形有几条角平分线？
（2）你发现三角形的三条角平分线有何特点？
学生活动
动手画、折三角形的角平分线，观察、猜想、验证，学生小组交流讨论.
　　　　
图 3　　　 　　　　　　图 4
在刚才折纸的基础上，教师引导学生归纳：
（1）角平分线的定义：在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.如图3，∠BAD＝∠CAD，则线段AD是△ABC 的一条角平分线.
（2）三角形的三条角平分线相交于一点，交点在三角形的内部（如图4）.
（3）角平分线的应用：
∵ BE是△ABC的角平分线，
∴ ∠ABE＝∠CBE＝∠ABC.
∵ CF是△ABC的角平分线，
∴ ∠ACB＝2∠ACF＝2∠BCF.
交流与讨论：三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？
学生讨论后派代表回答：
三角形的角平分线是一条线段，角的平分线是一条射线.
三、三角形的中线
教师提出问题：（1）图5①中的点D是不是BC的中点？
（2）什么是线段的中点呢？你有什么方法得到线段的中点呢？如何定义三角形的中线呢？
（3）三角形有几条中线？
（4）你发现三角形的三条中线有何特点？
学生活动
动手画、折三角形的中线，观察、猜想、验证，学生小组交流讨论.
　 　
① 　　 　　　　　②
图5
在刚才折纸的基础上，教师引导学生归纳：
（1）中线的定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线.如图5①.
（2）三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形的内部，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，如图5②所示，点O是三角形ABC的重心.
（3）中线的应用：
由定义可知：若AD是△ABC的边BC上的中线，则有BD＝CD＝BC，如图5①所示.
【注意】1.三角形的高、中线、角平分线都是线段.注意与线段的高线、中线、角平分线的区别.
2.三角形的高、中线、角平分线各有三条，在叙述这“三线”时，语言描述要严谨，要明确高、中线是哪边上的，角平分线是哪个角的平分线.
新知应用
例1　（1）如图6，CD，BE是△ABC的角平分线，它们相交于点I，则
①∠ACD＝　　　　＝　　　 ∠ACB，∠ABC＝　　　　∠ABE.
②若∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，则∠BIC＝　　　　.
③画出△ABC的第三条角平分线.
　　　　
图 6　　　 　　　　　图 7
（2）如图7，
①若AD是△ABC的中线，则BD＝　 　＝ 　　　　BC，BC＝　　　　BD.
②若BD＝CD，则AD是△ABC的　　　　.
③若AD是△ABC的中线，则△ABD的面积与△ADC的面积有什么关系？
师生活动
学生先独立思考，然后同桌进行交流，教师巡视指导.
解：（1）①∠BCD　　2；②110°；③提示：连接AI，并延长交BC于点F，则AF就是△ABC的第三条角平分线.
（2）①CD　　2；②中线；③相等
例2　在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为3，AB＝8，求AC的长.
解：∵ AD为BC边的中线，∴ BD＝CD，
∴ △ABD与△ADC的周长差＝（AB+AD+BD）-（AC+AD+CD）＝AB-AC.
又∵ △ABD与△ADC的周长差为3，AB＝8，∴ 8- AC＝3，解得AC＝5.
图8
例3　如图8所示，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数.
解：∵ AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴ ∠DAC＝∠BAD＝30°.
∵ CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴ ∠B＝50°.
∴ ∠ADB＝180°-∠B-∠BAD＝180°-50°-30°＝100°.
课堂练习
1.如图9,在△ABC中, ∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF交AD于H，判断下列说法的正误.
（1）AD是△ABE的角平分线.（ ）
（2）BE是△ABD边AD上的中线.（ ）
图9
（3）BE是△ABC边AC上的中线.（ ）
2.如图10所示，在△ABC中，AD，CE分别是△ABC，△ACD的中线，△ABC的面积是4 cm2，那么△BCE的面积是（　　）
A.2.5 cm2 B.2 cm2 C.1.5 cm2 D.1 cm2
3.如图11所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4. 若点P在边AC上移动，则BP长的最小值是 　　　　.
4.在△ABC中，AC＝5 cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2 cm，则BA＝________.
5.如图12所示，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成12和6两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长.
　　　　
图10　　　　　 图11　　　 图12　　 图13
6.如图13，AE是△ABC的角平分线.已知∠B＝45°,∠C＝60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
参考答案
1.（1）×（2）×（3）×　2.B　3. 4.7 cm
5.解：设AB＝AC＝2x，则AD＝CD＝x.
（1）当AB+AD＝12，BC+CD＝6 时，有2x+x＝12，
所以x＝4，2x＝8. 所以AB＝AC＝8，BC＝6-4＝2.
（2）当BC+CD＝12，AB+AD＝6 时，有2x+x＝6，
解得x＝2，所以2x＝4.
所以AB＝AC＝4，BC＝12-2＝10.
因为4+4<10，所以此时不能构成三角形.
综上所述，等腰三角形ABC的腰长为8，底边长为2.
6.解：∵ AE是△ABC的角平分线，∴ ∠CAE＝∠BAE＝∠BAC.
∵ ∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴ ∠BAC＝180°-∠B-∠C＝180°-45°-60°＝75°，
∴ ∠BAE＝37.5°.
∵ ∠AEB＝∠CAE+∠C，∠CAE＝∠BAE＝37.5°，
∴ ∠AEB＝37.5°+60°＝97.5°.
课堂小结
三角形的
重要线段
概念
图形
几何语言
三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段

∵ AD是△ABC的边BC上的高，
∴ AD⊥BC，
∠ADB＝∠ADC＝90°
三角形的中线
三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段

∵ AD是△ABC的边BC上的中线，
∴ BD＝CD＝BC
三角形的
角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段

∵ AD是△ABC的平分线，
∴ ∠1＝∠2＝∠BAC
布置作业
教材第45页练习.
板书设计
2.1 三角形
第2课时　三角形的高、中线与角平分线
1.三角形的高
（1）定义：
（2）应用：
2.三角形的中线
（1）定义：
（2）应用：
3.三角形的角平分线
（1）定义：
（2）应用：
（3）三角形角平分线与角的平分线的区别：
例2　在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为3，AB＝8，求AC的长
例3　如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE ＝40°，求∠ADB的度数


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