北师大版八年级上册2 一定是直角三角形吗优秀巩固练习

1.2  《一定是直角三角形吗》

一、选择题

1.我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中，不能用来证明勾股定理的是（  ）

A． B． C． D．

2．如图所示，在正方形中，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到长为的正方形，则下列等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

3．下图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”,它解决的数学问题是(　　)

A.黄金分割 B．垂径定理 C．勾股定理 D．正弦定理

4．如图，以一直角三角形的三边为边向外作正方形，已知其中两个正方形的面积如图所示，则字母A所代表的正方形的面积为（　  　）

A．2 B．4 C．6 D．8

5．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与中间小正方形的面积差是（      ）

A．9 B．36

C．27 D．3

6．如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔东南方向24m处有一建筑工地B，在A、B间建一直水管，则水管的长为（　　）

A．40m B．45m C．50m D．56m

7．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？(　　)

A．4米 B．3米

C．5米 D．7米

8．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

1．利用图或图两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为___________，该定理的结论其数学表达式是__________.

2．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角θ的正切为，那么大正方形的面积是_____．

3. 如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整：

∵S1=      ，S2=      ，S3=      ，

∴S1+S2     S3.

即（    ）2+（    ）2=（    ）2．

4．如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，5，3，4，则最大正方形E的面积是___．

5．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为             ．

6．如图，以直角三角形一边向外作正方形，其中两个正方形的面积为100和64，则正方形A的面积为_____

7．如图，由四个直角边分别为8和6的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分面积为__________．

8．如图，长方体的底面边长分别为和，高为.若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径的长度是________.

9．如图，圆柱体的高为，底面周长为，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从点到点，路线如图所示，则最短路程为_______．

三、解答题

1．如图由4个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求的值．

2. 如图所示，以的三边为直径分别向外作三个半圆，已如以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，以为直径的半国的面积为．

（1）求证：；

（2）若将图中半圆改为分别以三边为斜边的等腰直角三角形，如图所示，探究（1）中的结论是否仍成立？

3．如图，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．

4.我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何译文大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，BC＝8，，点D是边BC上的一个动点，连接AD，以AD为直角边向右作等腰Rt△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝90°，点F是DE的中点，连接CE．

（1）如图①，连接CF，求证：DE＝2CF；

（2）如图②，连接AF并延长，交BC边所在直线于点G，若CG＝2，求BD的长．

6. Rt△AB C中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．当t为何值时，△ABP为直角三角形？

答案

一、选择题

C.B． C.B.B．A．A.C．

二、填空题

  1．勾股定理    c2=a2+b2   

2.169．

3. 4，9，13，=，AC,BC,AB

4.66．

5.25

6.36．

7.4．

8.13.

9.5cm.

三、解答题

1.解：小正方形面积=

4个小直角三角形的面积=

∴

∴

2.解：（1），，，

∵，

；

（2）成立，

，，，

∵，

.

3.解：设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺，

根据勾股定理可得：，解得，

∴门高7.5尺，竹竿高尺．

4.解：设水的深度为x尺，如下图，

根据题意，芦苇长：OB＝OA＝(x＋1)尺，

在Rt△OCB中，

52＋x2＝(x＋1)2

解得：x＝12，

x＋1＝13

所以，水的深度是12尺，芦苇的长度是13尺.

5.解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45º,

∴∠BAD+∠DAC=90º，

∵以AD为直角边向右作等腰Rt△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝90°，

∴∠DAC+∠CAE=90º，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B=∠ACD=45º，

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45º+45º=90º，

∵点F是DE的中点，

∴CF=DE，

DE=2CF；

（2）设BD=x=CE，由（1）△ABD≌△ACE得BD=CE，

当点G在BC上，CG=2，BC=8， DG=8-x-2=6-x，

∵△ADE等腰直角三角形，点F是DE的中点，

∴AF⊥ DE，DF=EF

∴DG=GE=6-x，

在Rt△GCE中，

由勾股定理得：CG2+CE2=GE2，即22+x2=(6-x)2，

6.解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：

BC2+AC2=AB2

∴BC2+62=102

∴BC=8，

当∠AP1B=90°，△ABP1为直角三角形时，P1在C处，即BP1=8，

∴8÷2=4（s）；

当∠BAP2=90°，△ABP2为直角三角形时，

设BP2为x，则CP2=x-8

在△ACP2中，由勾股定理得：

AC2+CP22=AP22

∴62+（x-8）2=AP22

在△BAP2中，由勾股定理得：

AB2+AP22=BP22

∴AP22= BP22- AB2=x2-102

∴x2-102=62+（x-8）2

∴x=12.5．