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湘教版八年级上册2.1 三角形精品达标测试
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这是一份湘教版八年级上册2.1 三角形精品达标测试，共24页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
2.3 等腰三角形
基础过关全练
知识点1 等腰三角形的性质
1.(2022湖南张家界期中)如图,两根长度为12米的绳子一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面两个木桩上,则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的关系是( )
A.BD>CD B.BD
2.如图,AB=AC,∠B=40°,∠E=28°,则∠AFD的度数为( )
A.68° B.96° C.108° D.120°
3.(2019甘肃兰州中考)在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠B= .
4.(2022独家原创)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=50°,且∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P,则∠BPC= .
5.已知:如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=30°,试求∠B和∠C的度数.
6.(2020湖南师大附中月考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D,∠ADC=130°,求∠BAC的度数.
7.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BC=8,∠BAC=90°,AD是∠BAC的平分线,交BC于D,AD=4,E是AB的中点,连接DE.
(1)求∠B的度数;
(2)求△BDE的面积.
知识点2 等边三角形的性质
8.如图,AD是等边三角形ABC的中线,AE=AD,则∠EDC=( )
A.30° B.20° C.25° D.15°
9.如图,等边△ABC中,BE和CD分别是AC和AB边上的高,且相交于点F,则∠BFC的度数为 .
10.如图,△ABC是等边三角形,D为AC的中点,延长BC到点E,使CE=CD,试求出∠BDE的度数.
知识点3 等腰三角形的判定
11.如图所示的三角形中,等腰三角形的个数是( )
① ② ③ ④
A.4 B.3 C.2 D.1
12.(2022湖南娄底期中)如图,△ABC中,点D在AC上,连接BD,
∠ABD=2∠DBC,∠ADB=2∠C,∠DBC=∠A,则图中的等腰三角形有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
13.(教材P66变式题)已知:如图,AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线,DE∥AB,交AC于点E.求证:△AED是等腰三角形.
14.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点F,DE过点F且平行于BC.
(1)判断三角形BDF的形状,并证明;
(2)若∠A=70°,求∠BFC的度数.
15.如图,在等边△ABC中,D是AC的中点,DM⊥BC,垂足为M,E是BC的延长线上的一点,CE=CD.求证:MB=ME.
16.(2020湖南郴州苏仙中学期中)如图,△ABC中,DE∥AC,EF∥AB,
∠BED=∠CEF.
(1)试说明△ABC是等腰三角形;
(2)探索AB+AC与四边形ADEF的周长关系.
知识点4 等边三角形的判定
17.(2020湖南娄底新化期中)下列条件不能得到等边三角形的是( )
A.有两个角是60°的三角形
B.有一个角是60°的等腰三角形
C.腰和底相等的等腰三角形
D.有两个角相等的等腰三角形
18.如图,△ABC是等边三角形,D是边AB上的点,过点D作DE∥AC交BC于点E,求证:△BDE是等边三角形.
19.如图,AC与BD相交于点O,若OA=OB,∠A=60°,且AB∥CD.
求证:△OCD是等边三角形.
20.在等边△ABC中.
(1)如图1,P,Q是BC边上两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度数;
(2)P,Q是BC边上的两个动点(不与B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.
①依题意将图2补全;
②求证:PA=PM.
图1 图2
能力提升全练
21.(2021湖南益阳中考,7,)如图,AB∥CD,△ACE为等边三角形,
∠DCE=40°,则∠EAB等于( )
A.40° B.30° C.20° D.15°
22.(2022湖南永州零陵期中,6,)已知等腰三角形的一个内角是50°,则它的底角度数是( )
A.50° B.50°或65° C.80°或50° D.65°
23.(2021内蒙古赤峰中考,6,)如图,AB∥CD,点E在线段BC上,CD=CE.若∠ABC=30°,则∠D的度数为( )
A.85° B.75°
C.65° D.30°
24.(2020四川绵阳中考,9,)如图为螳螂的示意图,已知AB∥DE,
△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,∠CDE=72°,则∠ACD=( )
A.16° B.28°
C.44° D.45°
25.(2022湖南宁远期中,18,)如图,已知△ABC中,CD平分∠ACB交AB于D,DE∥BC,交AC于E,若DE=4 cm,AE=5 cm,则AC= .
26.(2020浙江台州中考,13,)如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA的方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是 .
27.(2022湖南常德安乡期中,20,)如图,在等腰三角形ABC中,
AB=AC,CD⊥AB,∠B=70°,求∠ACD的度数.
28.(2021浙江温州中考,18,)如图,BE是△ABC的角平分线,在AB上取点D,使DB=DE.
(1)求证:DE∥BC;
(2)若∠A=65°,∠AED=45°,求∠EBC的度数.
素养探究全练
29.[逻辑推理](2021浙江绍兴中考)如图,在△ABC中,∠A=40°,点D,E分别在边AB,AC上,BD=BC=CE,连接CD,BE.
(1)若∠ABC=80°,求∠BDC,∠ABE的度数;
(2)写出∠BEC与∠BDC之间的关系,并说明理由.
30.[数学建模](2022广东珠海期中)如图,在等边△ABC中,AB=9 cm,点P从点C出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动,点Q从点B出发沿BA边向点A以5 cm/s的速度移动.P、Q两点同时出发,它们移动的时间为t秒.
(1)用含t的式子表示BP和BQ的长度;
(2)移动几秒时,△PBQ为等边三角形?
(3)若P、Q两点都按顺时针方向沿△ABC三边运动,请问经过几秒时点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
答案全解全析
基础过关全练
1.C ∵AD⊥BC,AB=AC=12米,∴BD=CD.
2.C ∵AB=AC,∠B=40°,
∴∠C=40°,
∵∠E=28°,
∴∠BDF=∠C+∠E=40°+28°=68°,
∴∠AFD=∠B+∠BDF=40°+68°=108°.
3.70°
解析 ∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=40°,
∴∠B=∠C==70°.
4.115°
解析 ∵AB=AC,∠A=50°,
∴∠ABC=∠ACB=65°.
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P,
∴∠PBC=∠ABC=32.5°,∠PCB=∠ACB=32.5°,
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-65°=115°.
5.解析 ∵AB=AD,∠BAD=30°,
∴∠B=∠ADB=(180°-∠BAD)=×(180°-30°)=75°,
又∵AD=DC,
∴∠C=∠CAD=∠ADB=37.5°,
故∠B=75°,∠C=37.5°.
6.解析 ∵AB=AC,AE平分∠BAC,
∴AE⊥BC,
∵∠ADC=130°,
∴∠CDE=50°,
∴∠DCE=180°-90°-∠CDE=40°,
又∵CD平分∠ACB,
∴∠ACB=2∠DCE=80°,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB=80°,
∴∠BAC=180°-(∠B+∠ACB)=20°.
7.解析 (1)∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=45°.
(2)∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,
∴AD⊥BC,BD=BC=4,
∵E是AB的中点,
∴S△AED=S△BED=S△ABD=×AD·BD=××4×4=4.
8.D ∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵AD是△ABC的中线,
∴∠DAC=∠BAC=30°,AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∵AE=AD,
∴∠ADE===75°,
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.
9.120°
解析 ∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,
∵BE和CD分别是AC和AB边上的高,
∴∠BEC=90°,∠ADC=90°,
∴∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-60°-90°=30°,
∴∠BFC=∠BEC+∠ACD=90°+30°=120°.
10.解析 ∵△ABC是等边三角形,D为AC的中点,
∴BD⊥AC,∠ACB=60°,
∴∠BDC=90°,
∵CE=CD,
∴∠E=∠EDC.
∵∠ACB=∠E+∠EDC,
∴∠EDC=30°,
∴∠BDE=∠BDC+∠EDC=120°.
11.B 题图①的三角形有两条边相等,故是等腰三角形;题图②的三角形的三个内角分别为50°,35°,95°,故不是等腰三角形;题图③的三角形的三个内角分别为100°,40°,40°,故是等腰三角形;题图④的三角形的三个内角分别为90°,45°,45°,故是等腰三角形.综上,是等腰三角形的有3个.
12.D ∵∠ADB=∠C+∠DBC,∠ADB=2∠C,
∴∠DBC=∠C,
∴△BCD是等腰三角形;
∵∠ABD=2∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴△ABD是等腰三角形;
∵∠DBC=∠A,
∴∠A=∠C,
∴△ABC是等腰三角形.故共有3个等腰三角形.
13.证明 ∵△ABC是等腰三角形,∴AB=AC,
∵AD是底边BC上的中线,
∴AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD,
∵DE∥AB,
∴∠ADE=∠BAD,
∴∠ADE=∠CAD,
∴△AED是等腰三角形.
14.解析 (1)△BDF是等腰三角形.
证明:∵BF是∠ABC的平分线,
∴∠ABF=∠CBF.
∵DE∥BC,
∴∠DFB=∠CBF.
∴∠ABF=∠DFB,
∴△BDF是等腰三角形.
(2)∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点F,
∴∠CBF=∠ABC,∠BCF=∠ACB.
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°,∠A=70°,
∴∠ABC+∠ACB=110°.
∵∠BCF+∠CBF+∠BFC=180°,
∴∠BFC=180°-(∠CBF+∠BCF)
=180°-(∠ABC+∠ACB)
=180°-×110°
=180°-55°=125°.
15.证明 如图,连接BD.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∵D是AC的中点,
∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°,
∵CE=CD,
∴∠CDE=∠E,
∵∠ACB=∠CDE+∠E,
∴∠E=30°,
∴∠DBC=∠E,
∴△BDE为等腰三角形,
又∵DM⊥BC,
∴MB=ME.
16.解析 (1)∵DE∥AC,∴∠BED=∠C,
∵EF∥AB,∴∠CEF=∠B,
∵∠BED=∠CEF,∴∠B=∠C,
∴△ABC是等腰三角形.
(2)∵DE∥AC,∴∠BED=∠C,
∵EF∥AB,∴∠CEF=∠B,
∵∠BED=∠CEF,
∴∠C=∠CEF=∠BED=∠B,
∴EF=CF,DE=DB,
∴AB+AC=AD+BD+CF+AF=AD+DE+EF+AF=四边形ADEF的周长.
17.D 根据有两个角是60°,且三角形的内角和是180°,可知另一个角也是60°,故该三角形为等边三角形,故A选项正确;有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形,故B选项正确;腰和底相等的等腰三角形,即三边都相等的三角形是等边三角形,故C选项正确;等腰三角形中两个底角是相等的,故不能判定有两个角相等的等腰三角形是等边三角形,故D选项错误.故选D.
18.证明 ∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠A=∠C=60°,
∵DE∥AC,
∴∠BDE=∠A=60°,∠BED=∠C=60°,
∴△BDE是等边三角形.
19.证明 ∵OA=OB,
∴∠B=∠A=60°,
∵AB∥CD,
∴∠C=∠A=60°,∠D=∠B=60°,
∴∠DOC=60°,
∴△OCD是等边三角形.
20.解析 (1)∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=60°,
∴∠APC=∠BAP+∠B=80°.
∵AP=AQ,
∴∠AQB=∠APC=80°.
(2)①补全图形如图所示.
②证明:过点A作AH⊥BC于点H,如图.
由△ABC为等边三角形,AP=AQ,可得∠PAH=∠QAH,∠BAH=∠CAH,
∴∠PAB=∠QAC,
∵点Q,M关于直线AC对称,
∴∠QAC=∠MAC,AQ=AM,
∴∠MAC=∠PAB,AP=AM,
∴∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC=60°,
∴△APM为等边三角形,
∴PA=PM.
能力提升全练
21.C ∵AB∥CD,
∴∠DCA+∠CAB=180°,
即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB=180°,
∵△ACE为等边三角形,
∴∠ECA=∠EAC=60°,
∴∠EAB=180°-40°-60°-60°=20°.
22.B ①底角为50°;②当顶角为50°时,底角的度数为(180°-50°)÷2=65°.故底角的度数是50°或65°,故选B.
23.B ∵AB∥CD,∴∠C=∠ABC=30°,
∵CD=CE,∴∠D=∠CED,
∵∠C+∠D+∠CED=180°,
∴30°+2∠D=180°,∴∠D=75°.
24.C 如图,延长ED,交AC于F,
∵△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,
∴∠A=∠ACB=×(180°-124°)=28°,
∵AB∥DE,
∴∠CFD=∠A=28°,
∵∠CDE=∠CFD+∠ACD,
∴∠ACD=∠CDE-∠CFD=72°-28°=44°.
25.9 cm
解析 ∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCB,
∵DE∥BC,∴∠EDC=∠DCB,
∴∠EDC=∠ECD,∴DE=EC=4 cm,
∵AE=5 cm,
∴AC=AE+EC=5+4=9(cm).
26.6
解析 ∵等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点,∴EF=2,
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,
又∵DE∥AB,DF∥AC,
∴∠DEF=∠B=60°,∠DFE=∠C=60°,
∴△DEF是等边三角形,
∴剪下的△DEF的周长是2×3=6.
27.解析 ∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,
∵∠B=70°,∴∠BCD=180°-90°-70°=20°,
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=70°,
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=70°-20°=50°.
28.解析 (1)证明:∵BE是△ABC的角平分线,
∴∠DBE=∠EBC,
∵DB=DE,∴∠DEB=∠DBE,
∴∠DEB=∠EBC,∴DE∥BC.
(2)∵DE∥BC,∴∠C=∠AED=45°,
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-65°-45°=70°.
∵BE是△ABC的角平分线,
∴∠EBC=∠ABC=35°.
素养探究全练
29.解析 (1)∵∠ABC=80°,BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD=×(180°-80°)=50°,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=40°,
∴∠ACB=180°-40°-80°=60°,
∵CE=BC,
∴△BCE是等边三角形,
∴∠EBC=60°,
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=80°-60°=20°.
(2)∠BEC+∠BDC=110°.
理由:设∠BEC=α,∠BDC=β,
则α=∠A+∠ABE=40°+∠ABE,
∵CE=BC,
∴∠CBE=∠BEC=α,
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠A+2∠ABE=40°+2∠ABE,
∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC=β,
∴∠BDC+∠BCD+∠DBC=2β+40°+2∠ABE=180°,
∴β=70°-∠ABE,
∴α+β=40°+∠ABE+70°-∠ABE=110°,
∴∠BEC+∠BDC=110°.
30.解析 (1)∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AB=9 cm,
∵点P的速度为2 cm/s,时间为t s,
∴CP=2t cm,∴BP=(9-2t)cm.
∵点Q的速度为5 cm/s,时间为t s,∴BQ=5t cm.
(2)若△PBQ为等边三角形,则有BQ=BP,
即5t=9-2t,解得t=,
所以移动 s时,△PBQ为等边三角形.
(3)t s时,Q与P第一次相遇,
根据题意得5t-2t=18,解得t=6,
故6 s时,两点第一次相遇.
当t=6时,P点移动的长度为2×6=12 cm,而9<12<18,∴此时P在AB边上,
∴经过6秒时点P与点Q第一次在△ABC的AB边上相遇.
2.3 等腰三角形
基础过关全练
知识点1 等腰三角形的性质
1.(2022湖南张家界期中)如图,两根长度为12米的绳子一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面两个木桩上,则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的关系是( )
A.BD>CD B.BD
2.如图,AB=AC,∠B=40°,∠E=28°,则∠AFD的度数为( )
A.68° B.96° C.108° D.120°
3.(2019甘肃兰州中考)在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠B= .
4.(2022独家原创)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=50°,且∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P,则∠BPC= .
5.已知:如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=30°,试求∠B和∠C的度数.
6.(2020湖南师大附中月考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D,∠ADC=130°,求∠BAC的度数.
7.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BC=8,∠BAC=90°,AD是∠BAC的平分线,交BC于D,AD=4,E是AB的中点,连接DE.
(1)求∠B的度数;
(2)求△BDE的面积.
知识点2 等边三角形的性质
8.如图,AD是等边三角形ABC的中线,AE=AD,则∠EDC=( )
A.30° B.20° C.25° D.15°
9.如图,等边△ABC中,BE和CD分别是AC和AB边上的高,且相交于点F,则∠BFC的度数为 .
10.如图,△ABC是等边三角形,D为AC的中点,延长BC到点E,使CE=CD,试求出∠BDE的度数.
知识点3 等腰三角形的判定
11.如图所示的三角形中,等腰三角形的个数是( )
① ② ③ ④
A.4 B.3 C.2 D.1
12.(2022湖南娄底期中)如图,△ABC中,点D在AC上,连接BD,
∠ABD=2∠DBC,∠ADB=2∠C,∠DBC=∠A,则图中的等腰三角形有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
13.(教材P66变式题)已知:如图,AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线,DE∥AB,交AC于点E.求证:△AED是等腰三角形.
14.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点F,DE过点F且平行于BC.
(1)判断三角形BDF的形状,并证明;
(2)若∠A=70°,求∠BFC的度数.
15.如图,在等边△ABC中,D是AC的中点,DM⊥BC,垂足为M,E是BC的延长线上的一点,CE=CD.求证:MB=ME.
16.(2020湖南郴州苏仙中学期中)如图,△ABC中,DE∥AC,EF∥AB,
∠BED=∠CEF.
(1)试说明△ABC是等腰三角形;
(2)探索AB+AC与四边形ADEF的周长关系.
知识点4 等边三角形的判定
17.(2020湖南娄底新化期中)下列条件不能得到等边三角形的是( )
A.有两个角是60°的三角形
B.有一个角是60°的等腰三角形
C.腰和底相等的等腰三角形
D.有两个角相等的等腰三角形
18.如图,△ABC是等边三角形,D是边AB上的点,过点D作DE∥AC交BC于点E,求证:△BDE是等边三角形.
19.如图,AC与BD相交于点O,若OA=OB,∠A=60°,且AB∥CD.
求证:△OCD是等边三角形.
20.在等边△ABC中.
(1)如图1,P,Q是BC边上两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度数;
(2)P,Q是BC边上的两个动点(不与B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.
①依题意将图2补全;
②求证:PA=PM.
图1 图2
能力提升全练
21.(2021湖南益阳中考,7,)如图,AB∥CD,△ACE为等边三角形,
∠DCE=40°,则∠EAB等于( )
A.40° B.30° C.20° D.15°
22.(2022湖南永州零陵期中,6,)已知等腰三角形的一个内角是50°,则它的底角度数是( )
A.50° B.50°或65° C.80°或50° D.65°
23.(2021内蒙古赤峰中考,6,)如图,AB∥CD,点E在线段BC上,CD=CE.若∠ABC=30°,则∠D的度数为( )
A.85° B.75°
C.65° D.30°
24.(2020四川绵阳中考,9,)如图为螳螂的示意图,已知AB∥DE,
△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,∠CDE=72°,则∠ACD=( )
A.16° B.28°
C.44° D.45°
25.(2022湖南宁远期中,18,)如图,已知△ABC中,CD平分∠ACB交AB于D,DE∥BC,交AC于E,若DE=4 cm,AE=5 cm,则AC= .
26.(2020浙江台州中考,13,)如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA的方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是 .
27.(2022湖南常德安乡期中,20,)如图,在等腰三角形ABC中,
AB=AC,CD⊥AB,∠B=70°,求∠ACD的度数.
28.(2021浙江温州中考,18,)如图,BE是△ABC的角平分线,在AB上取点D,使DB=DE.
(1)求证:DE∥BC;
(2)若∠A=65°,∠AED=45°,求∠EBC的度数.
素养探究全练
29.[逻辑推理](2021浙江绍兴中考)如图,在△ABC中,∠A=40°,点D,E分别在边AB,AC上,BD=BC=CE,连接CD,BE.
(1)若∠ABC=80°,求∠BDC,∠ABE的度数;
(2)写出∠BEC与∠BDC之间的关系,并说明理由.
30.[数学建模](2022广东珠海期中)如图,在等边△ABC中,AB=9 cm,点P从点C出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动,点Q从点B出发沿BA边向点A以5 cm/s的速度移动.P、Q两点同时出发,它们移动的时间为t秒.
(1)用含t的式子表示BP和BQ的长度;
(2)移动几秒时,△PBQ为等边三角形?
(3)若P、Q两点都按顺时针方向沿△ABC三边运动,请问经过几秒时点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
答案全解全析
基础过关全练
1.C ∵AD⊥BC,AB=AC=12米,∴BD=CD.
2.C ∵AB=AC,∠B=40°,
∴∠C=40°,
∵∠E=28°,
∴∠BDF=∠C+∠E=40°+28°=68°,
∴∠AFD=∠B+∠BDF=40°+68°=108°.
3.70°
解析 ∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=40°,
∴∠B=∠C==70°.
4.115°
解析 ∵AB=AC,∠A=50°,
∴∠ABC=∠ACB=65°.
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P,
∴∠PBC=∠ABC=32.5°,∠PCB=∠ACB=32.5°,
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-65°=115°.
5.解析 ∵AB=AD,∠BAD=30°,
∴∠B=∠ADB=(180°-∠BAD)=×(180°-30°)=75°,
又∵AD=DC,
∴∠C=∠CAD=∠ADB=37.5°,
故∠B=75°,∠C=37.5°.
6.解析 ∵AB=AC,AE平分∠BAC,
∴AE⊥BC,
∵∠ADC=130°,
∴∠CDE=50°,
∴∠DCE=180°-90°-∠CDE=40°,
又∵CD平分∠ACB,
∴∠ACB=2∠DCE=80°,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB=80°,
∴∠BAC=180°-(∠B+∠ACB)=20°.
7.解析 (1)∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=45°.
(2)∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,
∴AD⊥BC,BD=BC=4,
∵E是AB的中点,
∴S△AED=S△BED=S△ABD=×AD·BD=××4×4=4.
8.D ∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵AD是△ABC的中线,
∴∠DAC=∠BAC=30°,AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∵AE=AD,
∴∠ADE===75°,
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.
9.120°
解析 ∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,
∵BE和CD分别是AC和AB边上的高,
∴∠BEC=90°,∠ADC=90°,
∴∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-60°-90°=30°,
∴∠BFC=∠BEC+∠ACD=90°+30°=120°.
10.解析 ∵△ABC是等边三角形,D为AC的中点,
∴BD⊥AC,∠ACB=60°,
∴∠BDC=90°,
∵CE=CD,
∴∠E=∠EDC.
∵∠ACB=∠E+∠EDC,
∴∠EDC=30°,
∴∠BDE=∠BDC+∠EDC=120°.
11.B 题图①的三角形有两条边相等,故是等腰三角形;题图②的三角形的三个内角分别为50°,35°,95°,故不是等腰三角形;题图③的三角形的三个内角分别为100°,40°,40°,故是等腰三角形;题图④的三角形的三个内角分别为90°,45°,45°,故是等腰三角形.综上,是等腰三角形的有3个.
12.D ∵∠ADB=∠C+∠DBC,∠ADB=2∠C,
∴∠DBC=∠C,
∴△BCD是等腰三角形;
∵∠ABD=2∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴△ABD是等腰三角形;
∵∠DBC=∠A,
∴∠A=∠C,
∴△ABC是等腰三角形.故共有3个等腰三角形.
13.证明 ∵△ABC是等腰三角形,∴AB=AC,
∵AD是底边BC上的中线,
∴AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD,
∵DE∥AB,
∴∠ADE=∠BAD,
∴∠ADE=∠CAD,
∴△AED是等腰三角形.
14.解析 (1)△BDF是等腰三角形.
证明:∵BF是∠ABC的平分线,
∴∠ABF=∠CBF.
∵DE∥BC,
∴∠DFB=∠CBF.
∴∠ABF=∠DFB,
∴△BDF是等腰三角形.
(2)∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点F,
∴∠CBF=∠ABC,∠BCF=∠ACB.
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°,∠A=70°,
∴∠ABC+∠ACB=110°.
∵∠BCF+∠CBF+∠BFC=180°,
∴∠BFC=180°-(∠CBF+∠BCF)
=180°-(∠ABC+∠ACB)
=180°-×110°
=180°-55°=125°.
15.证明 如图,连接BD.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∵D是AC的中点,
∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°,
∵CE=CD,
∴∠CDE=∠E,
∵∠ACB=∠CDE+∠E,
∴∠E=30°,
∴∠DBC=∠E,
∴△BDE为等腰三角形,
又∵DM⊥BC,
∴MB=ME.
16.解析 (1)∵DE∥AC,∴∠BED=∠C,
∵EF∥AB,∴∠CEF=∠B,
∵∠BED=∠CEF,∴∠B=∠C,
∴△ABC是等腰三角形.
(2)∵DE∥AC,∴∠BED=∠C,
∵EF∥AB,∴∠CEF=∠B,
∵∠BED=∠CEF,
∴∠C=∠CEF=∠BED=∠B,
∴EF=CF,DE=DB,
∴AB+AC=AD+BD+CF+AF=AD+DE+EF+AF=四边形ADEF的周长.
17.D 根据有两个角是60°,且三角形的内角和是180°,可知另一个角也是60°,故该三角形为等边三角形,故A选项正确;有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形,故B选项正确;腰和底相等的等腰三角形,即三边都相等的三角形是等边三角形,故C选项正确;等腰三角形中两个底角是相等的,故不能判定有两个角相等的等腰三角形是等边三角形,故D选项错误.故选D.
18.证明 ∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠A=∠C=60°,
∵DE∥AC,
∴∠BDE=∠A=60°,∠BED=∠C=60°,
∴△BDE是等边三角形.
19.证明 ∵OA=OB,
∴∠B=∠A=60°,
∵AB∥CD,
∴∠C=∠A=60°,∠D=∠B=60°,
∴∠DOC=60°,
∴△OCD是等边三角形.
20.解析 (1)∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=60°,
∴∠APC=∠BAP+∠B=80°.
∵AP=AQ,
∴∠AQB=∠APC=80°.
(2)①补全图形如图所示.
②证明:过点A作AH⊥BC于点H,如图.
由△ABC为等边三角形,AP=AQ,可得∠PAH=∠QAH,∠BAH=∠CAH,
∴∠PAB=∠QAC,
∵点Q,M关于直线AC对称,
∴∠QAC=∠MAC,AQ=AM,
∴∠MAC=∠PAB,AP=AM,
∴∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC=60°,
∴△APM为等边三角形,
∴PA=PM.
能力提升全练
21.C ∵AB∥CD,
∴∠DCA+∠CAB=180°,
即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB=180°,
∵△ACE为等边三角形,
∴∠ECA=∠EAC=60°,
∴∠EAB=180°-40°-60°-60°=20°.
22.B ①底角为50°;②当顶角为50°时,底角的度数为(180°-50°)÷2=65°.故底角的度数是50°或65°,故选B.
23.B ∵AB∥CD,∴∠C=∠ABC=30°,
∵CD=CE,∴∠D=∠CED,
∵∠C+∠D+∠CED=180°,
∴30°+2∠D=180°,∴∠D=75°.
24.C 如图,延长ED,交AC于F,
∵△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,
∴∠A=∠ACB=×(180°-124°)=28°,
∵AB∥DE,
∴∠CFD=∠A=28°,
∵∠CDE=∠CFD+∠ACD,
∴∠ACD=∠CDE-∠CFD=72°-28°=44°.
25.9 cm
解析 ∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCB,
∵DE∥BC,∴∠EDC=∠DCB,
∴∠EDC=∠ECD,∴DE=EC=4 cm,
∵AE=5 cm,
∴AC=AE+EC=5+4=9(cm).
26.6
解析 ∵等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点,∴EF=2,
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,
又∵DE∥AB,DF∥AC,
∴∠DEF=∠B=60°,∠DFE=∠C=60°,
∴△DEF是等边三角形,
∴剪下的△DEF的周长是2×3=6.
27.解析 ∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,
∵∠B=70°,∴∠BCD=180°-90°-70°=20°,
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=70°,
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=70°-20°=50°.
28.解析 (1)证明:∵BE是△ABC的角平分线,
∴∠DBE=∠EBC,
∵DB=DE,∴∠DEB=∠DBE,
∴∠DEB=∠EBC,∴DE∥BC.
(2)∵DE∥BC,∴∠C=∠AED=45°,
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-65°-45°=70°.
∵BE是△ABC的角平分线,
∴∠EBC=∠ABC=35°.
素养探究全练
29.解析 (1)∵∠ABC=80°,BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD=×(180°-80°)=50°,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=40°,
∴∠ACB=180°-40°-80°=60°,
∵CE=BC,
∴△BCE是等边三角形,
∴∠EBC=60°,
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=80°-60°=20°.
(2)∠BEC+∠BDC=110°.
理由:设∠BEC=α,∠BDC=β,
则α=∠A+∠ABE=40°+∠ABE,
∵CE=BC,
∴∠CBE=∠BEC=α,
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠A+2∠ABE=40°+2∠ABE,
∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC=β,
∴∠BDC+∠BCD+∠DBC=2β+40°+2∠ABE=180°,
∴β=70°-∠ABE,
∴α+β=40°+∠ABE+70°-∠ABE=110°,
∴∠BEC+∠BDC=110°.
30.解析 (1)∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AB=9 cm,
∵点P的速度为2 cm/s,时间为t s,
∴CP=2t cm,∴BP=(9-2t)cm.
∵点Q的速度为5 cm/s,时间为t s,∴BQ=5t cm.
(2)若△PBQ为等边三角形,则有BQ=BP,
即5t=9-2t,解得t=,
所以移动 s时,△PBQ为等边三角形.
(3)t s时,Q与P第一次相遇,
根据题意得5t-2t=18,解得t=6,
故6 s时,两点第一次相遇.
当t=6时,P点移动的长度为2×6=12 cm,而9<12<18,∴此时P在AB边上,
∴经过6秒时点P与点Q第一次在△ABC的AB边上相遇.
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