2023年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考模拟数学试题（解析版）

这是一份2023年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考模拟数学试题（解析版），共26页。试卷主要包含了 若与a互为相反数，则， 下列计算正确的是．， 如果 ，那么下列不等式成立是等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 若与a互为相反数，则（ ）
A. 0 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的性质，两个数的和为0，解简单方程即可．
【详解】解：与a互为相反数，
∴-2+a=0，
解得a=2．
故选择B．
【点睛】本题考查互为相反数的性质，简单方程的解法，掌握相反数的性质是解题关键．
2. 下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
3. 光在真空中的速度约为每秒30万千米，用科学记数法表示为（ ）千米/秒
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可．
【详解】解：光在真空中的速度约为每秒30万千米，
光在真空中的速度约为30万千米/秒，
30万千米千米，3后面有5个0，
用科学记数法表示为千米/秒，
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键．
4. 下列计算正确的是（　　）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数的计算法则计算即可.
【详解】解：A、不能合并，错误；
B、，错误；
C、，正确；
D、，错误；
故选C．
【点睛】本题主要考查指数的计算法则，是考试的重点，应当熟练的掌握.
5. 如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（　　）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看易得俯视图：

故选：C．
【点睛】本题考查几何体的俯视图,关键在于牢记俯视图的定义.
6. 数据1，2，3，4，5，x存在唯一众数，且该组数据的平均数等于众数，则x的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，该组数据的平均数为，且是6的倍数，然后根据题意求解即可．
【详解】解：由题意知，该组数据的平均数为，
∴是6的倍数，且x是1-5中的一个数，
解得，则平均数是3．
故选B．
【点睛】本题考查了平均数与众数．解题的关键在于熟练掌握众数与平均数的定义与求解．
7. 已知，一次函数的图象如图，下列结论正确的是（　　）

A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象在坐标平面内的位置确定k，b的取值范围，从而求解．
【详解】解：如图所示，一次函数的图象，y随x的增大而增大，所以，
直线与y轴负半轴相交，所以．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数图象与系数的关系，解答本题注意理解：直线所在的位置与，的符号有直接的关系，时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与y轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交．
8. 如果 ，那么下列不等式成立是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断即可．
【详解】解：因为，
所以（不等式的两边同时乘同一个负数，不等号的方向改变）．
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个 数或同一个式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
9. 在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是( )
A. BC边上的高和中线互相重合
B. AB和AC边上的中线相等
C. 三角形中顶点为B和顶点为C的角平分线相等
D. AB，BC边上的高相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等．[简称：等边对等角]；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合[三线合一]．轴对称图形的对称轴的定义即可求解．
【详解】A、BC边上的高线和中线互相重合，故本选项正确，不符合题意；
B、AB和AC边上的中线相等，故本选项正确，不符合题意；
C、三角形ABC中∠B和∠C的角平分线相等，故本选项正确，不符合题意；
D、AB，BC边上的高不一定相等，只有当AB=BC时，它们才相等，故本选项不正确，符合题意．
故选D．
【点睛】考查了等腰三角形等腰三角形的两腰相等，等边对等角，三线合一的性质以及轴对称图形的定义．
10. 五角星是我们中华人民共和国国旗的元素，如图是从一个五角星中分离出来的等腰三角形，已知，平分，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，得出，证明，进而即可求解．
详解】解：依题意，等腰三角形，，
∴
∴
∵平分，
∴
∴，则，
∴，则，
又
∴
∴
设，
则
解得：或
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 因式分解：3mn2﹣12mn+12m＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】原式，
故答案为：
【点睛】本题考查的是因式分解，因式分解的方法有：①公因式法；②公式法；③分组分解法；④十字相乘法.
12. 已知y＝+2+2．那么x＝_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数是非负数求得x＝3．
【详解】解：根据题意知，3﹣x≥0且x﹣3≥0．
∴x-3=0，
∴x＝3．
故答案是：3．
【点睛】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟记二次根式的性质是解题的关键．
13. 在平面直角坐标系中，四边形与四边形位似，位似中心为点O，位似比为2，那么四边形每个顶点的横、纵坐标都应在四边形的横、纵坐标的基础上乘以 ____________________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据位似变换的概念解答即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，四边形与四边形位似，位似中心为点O，位似比为2，那么四边形每个顶点的横、纵坐标都应在四边形的横、纵坐标的基础上乘以或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，坐标与图形性质，掌握位似变换的概念是解题的关键．
14. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是___________．
【答案】且
【解析】
【分析】由于关于的一元二次方程有两个实数根，根据一元二次方程的定义以及根的判别式△的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
且，即，
解得且，
的取值范围为且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了不等式的解法．
15. 一个扇形的半径长为7cm，面积为，用这个扇形做成一个圆锥的侧面，则做成的圆锥的高为_____cm．
【答案】
【解析】
【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式得到，然后解方程即可求得半径，利用勾股定理求得高即可．
【详解】解：设圆锥的底面半径为，

根据题意得：，
解得：，
∴圆锥的底面圆半径r为，
高为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；合理运用扇形的半径是圆锥的母线以及扇形的周长是圆锥的底面圆半径这一知识点是该类题重要解题技巧；熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
16. 如图，已知锐角三角形内接于半径为2的，于点，，则________．

【答案】1
【解析】
【分析】连接OB和OC，根据圆周角定理得出∠BOC的度数，再依据等腰三角形的性质得到∠BOD的度数，结合直角三角形的性质可得OD.
【详解】解：连接OB和OC，
∵△ABC内接于半径为2的圆O，∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，OB=OC=2，
∵OD⊥BC，OB=OC，
∴∠BOD=∠COD=60°，
∴∠OBD=30°，
∴OD=OB=1，
故答案为：1.

【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外接圆的性质，等腰三角形三线合一，30°的直角三角形的性质，解题时需要添加辅助线，从而运用圆周角定理.
三．解答题（共9小题）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】直接利用零指数幂性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式＝

．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18. 先化简再求值：，其中
【答案】
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再将x和y值代入即可．
【详解】解：
=
=
=
将代入，
原式=．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则，以及准确计算．
19. 如图，小山岗的斜坡的坡度是，在与山脚水平距离300米的处（、、在同一直线上），测得山顶的仰角为30°，求小山岗的高．

【答案】米
【解析】
【分析】先由坡度的定义得：设米，则米，再由锐角三角函数定义得，得，求出（米），即可解决问题．
【详解】解：，
设米，则米，
，
（米），
，
，
（米），
（米），
即小山岗的高为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题；熟练掌握坡度的定义和锐角三角函数定义是解题的关键．
20. 为全面开展“阳光大课间”活动，某中学三个年级准备成立“足球”、“篮球”、“跳绳”、“踢毽”四个课外活动小组，学校体育组根据七年级学生的报名情况（每人限报一项）绘制了两幅不完整的统计图（如图），

请根据以上信息，完成下列问题：
（1）m= ，n= ，并将条形统计图补充完整；
（2）根据七年级的报名情况，试问全校2000人中，大约有多少人报名参加足球活动小组？
（3）根据活动需要，从“跳绳”小组的二男二女四名同学中随机选取两人到“踢毽”小组参加训练，请用列表或树状图的方法计算恰好选中一男一女两名同学的概率．
【答案】(1)25，108；画图见解析（2）600人；（3）．
【解析】
【分析】（1）先利用参加踢毽活动小组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算m的值和n的值，然后补全条形统计图；
（2）利用样本估计总体，用2000乘以样本中参加足球活动小组的百分比即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一男一女两名同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）调查的总人数=15÷15%=100（人），
所以m%=×100%=25%，即m=25，
参加跳绳活动小组的人数=100-30-25-15=30（人），
所以n°= ，即n=108，
如图，

故答案为：25，108；
（2），
所以全校2000人中，大约有600人报名参加足球活动小组；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中一男一女两名同学的结果数为8，
所以恰好选中一男一女两名同学的概率=．
21. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．

（1）求证：≌；
（2）判定四边形AODF的形状并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形AODF为矩形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理即可；
（2）先证明四边形AODF为平行四边形，再结合∠AOD=90°，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵DF∥AC，
∴∠OAD=∠ADF，
∵∠AEO=∠DEF，
∴△AOE≌△DFE（ASA）；
【小问2详解】
解：四边形AODF为矩形．
理由：∵△AOE≌△DFE，
∴AO=DF，
∵DF∥AC，
∴四边形AODF为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠AOD=90°，
∴平行四边形AODF为矩形．
【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键．
22. 某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下：
茶叶品种
进价（元/斤）
售价（元/斤）
甲
a
200
乙

300
已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同．
（1）求a的值；
（2）茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤．
①求销售完这两种茶叶的最大利润；
②“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低m元（），甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求m的最大值．
【答案】（1）100 （2）①41000元；②m的最大值为40
【解析】
【分析】（1）由题意：用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
（2）①设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，由题意得出y与x的一次函数关系式，再由一次函数的性质即可得出结论；
②设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，由题意得出y与x的一次函数关系式，再由一次函数的性质结合题意得出一元一次不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴a的值为100；
【小问2详解】
解：①设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，
由题意得：，其中，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y的最大值，
答：销售完这两种茶叶的最大利润为41000元；
②设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，
由题意得：，
∵，
∴，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，y的最小值，
解得：，
∴m的最大值为40．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确得出一元一次不等式和一次函数关系式．
23. 如图，在中，，，，是三角形的角平分线；是边上的动点，于，交于，、分别交于、．

（1）如果是等腰三角形，求的长；
（2）以为圆心、长为半径作，再以为圆心、为半径作．如果与相切，求的长；
（3）在点的运动过程中，是否可能与相似？如果能相似，求此时的长；如果不能相似，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）能，或或
【解析】
【分析】（1）设，则，，，可得是的角平分线，过点作于，根据角平分线性质可得：，利用三角形面积可得，设，则，建立方程即可求得答案；
（2）如图2，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，过点作于，则，，，根据角平分线性质可得，利用面积法即可求得：，的半径为3，可得，故与轴的交点为，过点作轴于，由，可得，运用相似三角形性质可得：，，故，再通过，即可求得答案；
（3）设直线的解析式为，将代入，可得直线的解析式为，令，得，，由，可得，进而得出，故，利用待定系数法可得：直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，通过联立方程组可分别得出：，，，，，如图3，过点作轴，过点作于点，过点作于点，则，，假设与相似，，分两种情况：或，可得或，分别建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：是等腰三角形，且于，，
是等腰直角三角形，，
平分，
，
设，
则，，
，
，
，
是的角平分线，
过点作于，

平分，，，
，
，，
，即，
在中，，，，
，
设，则，
，
解得：，
；
【小问2详解】
解：如图2，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
过点作于，

则，，，
平分，，，
，
，
，
，的半径为3，
，
与轴的交点为，
，
过点作轴于，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，即，
；
小问3详解】
解：能与相似，
如图3，设交轴于点，直线的解析式为，将代入，

得：，
解得：，
直线的解析式为，令，得，
，
，
，
，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，将，代入，
得：，
解得：，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
由（2）知，
，
，
直线的解析式为，
联立方程组：，
解得：，
，
联立方程组：，
解得：，
，
联立方程组：，
解得：，
，
，
直线的解析式为，
联立直线与直线的解析式，得，
解得：，
，
过点作轴，过点作于点，过点作于点，
则，，
，
，，
，
，
，
假设与相似，，
或，
或，
或，
当时，
则，
，
，
或，
若，则，
若时，则；
当时，
则，
，
，
，
；
综上，的长为或或．
【点睛】本题是有关圆的几何综合题，考查了两圆相切的性质，角平分线性质，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积，勾股定理，待定系数法，一次函数图象的交点坐标等，综合性很强，难度大，合理添加辅助线构造相似三角形，运用代数知识解决几何问题是解题关键．
24. 如图，在等腰△ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不B、C重合），以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF．

【猜想】如图①，当点D在线段BC上时，直接写出CF、BC、CD三条线段的数量关系．
【探究】如图②，当点D在线段BC的延长线上时，判断CF、BC，CD三条线段的数量关系，并说明理由．
【应用】如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A、F分别在直线BC两侧，AE．DF交点为点O连接CO，若，，则 ．
【答案】【猜想】CD= BC- CF，理由见解析；【探究】CF= BC+ CD，理由见解析；【应用】
【解析】
【分析】【猜想】 利用SAS证明△BAD≌△CAF，得出BD= CF，然后根据线段的和差关系可得结论；
【探究】利用SAS证明△BAD≌△CAF，得出BD= CF，然后根据线段的和差关系可得出结论；
【应用】 利用SAS证明△BAD≌△CAF，得出BD= CF，∠ACF=∠ABD = 135°，求出∠DCF= 90°，在Rt△DCF中利用勾股定理求出DF，利用直角三角形的斜边中线的性质可得结论．
【详解】解：【猜想】CD= BC- CF，理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD= AF，∠DAF= 90°=∠BAC，
∴∠BAD=∠FAC，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD= CF，
∵CD= BC- BD，
∴CD= BC- CF：
解：【探究】CF= BC+ CD，理由如下：
∵∠BAC= 90°，AB= AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形 ADEF是正方形，
∴ AD= AF，∠DAF= 90°，
∴∠BAD=∠BAC +∠DAC，
∴∠CAF=∠DAF+∠DAC，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD= CF，
∵BD= BC＋CD，
∴CF= BC+CD；
解：【应用】∵∠BAC= 90°，AB= AC,
∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD= AF，∠DAF= 90°，
∴∠BAC=∠DAF，
∴，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD=CF,
∴∠ACF=∠ABD= 180°- 45°= 135°，,
∴∠FCD=∠ACF-∠ACB = 90°，
∴△FCD为直角三角形，
∵，
∴ ，
∴CD= BC+ BD，
∴ CD = BC+CF= 2+1=3，
∴ ，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识点，解题的关键是能够综合运用运用有关的知识解决问题．
25. 阅读与思考
巧用方程思想解决函数交点问题
我们知道，求两个一次函数图像的交点坐标时，可将问题转化为求方程组的解，即联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是其交点的坐标，同样，我们解决二次函数与直线的交点问题时，也可以类比这一思路求解．
下面是小林同学通过类比上述思路解决二次函数图像与一次函数图像的交点情况的部分探究过程：
联立得．
整理，得．
∵，
∴方程是关于x的一元二次方程．
∴．
当时，方程有两个不相等的实数根，
∴二次函数的图像与一次函数的图像有两个交点．
任务：
（1）请参照阅读材料中的分析过程，分别写出和时的分析结果；
（2）若二次函数的图像与一次函数的图像有一个交点，求t的值；
（3）实际上，除了上述两种函数图像的交点外，初中数学还会遇到反比例函数图像与一次函数图像的交点情况，例如：反比例函数的图像与一次函数的图像有两个交点，则这个一次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可）
【答案】（1）当时，方程有两个相等的实数根，
二次函数的图像与一次函数的图像有一个交点；
当时，方程没有实数根，
二次函数的图像与一次函数的图像没有交点；
（2）；
（3），答案不唯一，合理即可．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式说明根的情况和函数图像交点的情况即可；
（2）联立方程组，化简成一元二次方程的一般形式，用根的判别式，代入求解；
（3）函数图像有两个交点，保证根的判别式即可．
【小问1详解】
解：根据一元二次方程根的判别式可得：
当时，方程有两个相等的实数根，
二次函数的图像与一次函数的图像有一个交点；
当时，方程没有实数根，
二次函数的图像与一次函数的图像没有交点；
小问2详解】
联立函数表达式：，
可得：，
化简得： ，
函数图像有一个交点，
，
解得：；
故答案为：；
【小问3详解】
反比例函数图像与一次函数图像有两个交点
∴联立反比例函数与一次函数解析式，满足，
如：，答案不唯一，合理即可．
【点睛】本题考查联立函数解析式求交点坐标和个数，解题的关键是掌握二次函数与一次函数、反比例函数与一次函数联立时，可得一元二次方程，需判断根的根的判别式：若时，方程有两个不相等的实数根，即有两个交点；若时，方程有两个相等的实数根，即有一个交点；若时，方程无实数根，即没有交点．