山西省忻州市 原平市南坡中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（解析版）

这是一份山西省忻州市 原平市南坡中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年第二学期期中双减教学展示
八年级数学（人教版A）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母标号填入下表相应的空格内． ）
1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．
2. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的混合运算法则可以计算出各个选项中的正确结果，从而可以判断哪个选项中的式子是正确的．
【详解】解：A、、不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项正确，符合题意；
C、、不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误，不符合题意；
D、，故该选项错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）

A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析即可．
【详解】解：A、，，根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，不符合题意；
B、，，根据两组对角分别相等的四边形为平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，不符合题意；
C、，，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，不符合题意；
D、，，一组对边平行，另一组对边相等，无法判定这个四边形是平行四边形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题关键．
4. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，2），以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C的横坐标为（　　）

A. ﹣1 B. 2 C. ﹣1 D. 1﹣
【答案】C
【解析】
【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．
【详解】解：∵A（−1，0），B（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝，
∴AC＝AB＝，
∴OC＝，
∴点C的横坐标为（），
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，实数的大小比较，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出OC的长．
5. 如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是36，OE＝3，则四边形ABFE的周长是（ ）

A. 21 B. 24 C. 27 D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】先由ASA证明△AOE≌△COF，得OE=OF，AE=CF，再求得AB+BC=18，由平行四边形ABFE的周长=AB+AE+BF+EF=AB+BF+CF+2OE，即可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，AE=CF，
∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴AB+BC=×36=18，
∴四边形ABFE的周长=AB+AE+BF+EF=AB+BF+CF+2OE=AB+BC+2×3=18+6=24，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
6. 在四边形中，．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先证明四边形是矩形，再根据正方形的判定定理求解即可．
【详解】解：∵在四边形中，，
∴四边形是矩形，
∴当添加时，矩形是正方形，
而A、C、D、三个选项中得条件都是矩形性质所具有的，因此不能证明矩形是正方形，
∴只有B选项符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，熟知有3个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形时解题的关键．
7. 如图，一个圆桶底面直径为8cm，高为12cm，则桶内所能容下的最长木棒的长度为（ ）．

A. 8cm B. 10cm C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意画出示意图，再用勾股定理求解即可得出答案．
【详解】解：如图，AC为圆桶底面直径，BC为圆桶的高，

∴AC=8cm，BC=12cm，
∴cm，
即桶内所能容下的最长木棒的长度为cm．
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理的实际应用，将实际问题转化为数学问题，再灵活应用勾股定理是解题的关键．
8. 若菱形的周长为，有一条对角线为，则菱形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知可求得菱形的边长，根据勾股定理可求得其另一条对角线的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求得其面积．
【详解】解：因为菱形的周长为，所以其边长，
从而可得：，
∴，
∴，
从而得到菱形的面积=．
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，解答本题的关键是掌握菱形的面积等于两对角线乘积的一半，如果不能熟练掌握菱形的性质，可先画出图形，这样有助于另一条对角线的得出．
9. 如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（ ）

A. 27° B. 53° C. 57° D. 63°
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可知AE//BF，∠EAB=∠ABF，∠ABF+27°=90°，等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出∠AED．
【详解】解：如图所示：

∵AE//BF，
∴∠EAB=∠ABF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，∠ABC=90°，
∴∠ABF+27°=90°，
∴∠ABF=63°，
∴∠EAB=63°，
∵AB//CD，
∴∠AED=∠EAB=63°．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
10. 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形．如图所示，已知，正方形ADOF的边长是2，，则BD的长为（ ）

A. 6 B. C. 8 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】设，正方形ADOF的边长为2，则，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：正方形ADOF的边长为2，
则，
设，
∵，，
∴，，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分）
11. 化简：_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据，计算出结果即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
12. 如图，已知一块四边形草地，其中，，，，则这块土地的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】分别延长交于点，证明和是等腰直角三角形，然后求出和的面积即可．
【详解】解：如图，分别延长交于点，

，，
，
，
m，m，
m，m，
，，
这块土地的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，解题的关键是通过作辅助线，构造新的直角三角形，利用土地的面积来求解．
13. 已知是正整数，是整数，则的最小值是2．那么若是正整数，是大于1的整数，则的最大值与最小值的差是_______．
【答案】
【解析】
【分析】由，结合是正整数，是大于1的整数，可得是的倍数，从而可得答案．
【详解】解：∵，是正整数，是大于1的整数，
∴当时，的整数值最大为4，此时的值最小，
当时，整数值最小为2，此时的值最大，
∴的最大值与最小值的差是；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义与估算，理解题意是解本题的关键．
14. 如图，在平行四边形中，过对角线上一点作，，且，，则__．

【答案】
【解析】
【分析】由条件可证明四边形、为平行四边形，可证明，再利用面积的和差可得出四边形和四边形的面积相等，由已知条件即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴四边形、、、为平行四边形，
∴，
同理可得，，
∴，
即．
，，
；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行四边形为平行四边形，②两组对边分别相等四边形为平行四边形，③一组对边平行且相等四边形为平行四边形，④两组对角分别相等四边形为平行四边形，⑤对角线互相平分四边形为平行四边形．
15. 如图，点D是的边上的一点，连接，将沿翻折得到，连接交于点G，连接，交于点F，若的面积是，则点G到的距离是______．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意求出的面积，根据折叠的性质可知,,然后求出的长度进而求得的长度，运用勾股定理求出的长度，运用等面积法可求得结果．
【详解】解：∵，的面积为,
∴,
由折叠的性质可知:,,
∴
∴,
∴,
,
∴到距离为．
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识点，熟练运用三角形面积的不同表示方法是解本题的关键．
三、解答题（本大题有8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：
解：
……第1步
………第2步
…………………………第3步
．………………………………第4步
任务：
①上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为______（用字母表示）；
②上述解答过程，从第______步开始出错，具体的错误是______；
③计算的正确结果为______．
【答案】（1）；（2）①；②三，计算错误；③
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则进行计算即可；
（2）根据平方差公式以及完全平方公式进行解答即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）①根据题意第1步依据的乘法公式为完全平方公式，
故答案为：；
②上述解答过程，从第三步开始出错，具体的错误是计算错误，
故答案为：三，计算错误；
③




，
∴计算的正确结果为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及乘法公式，熟练掌握相关运算法则以及乘法公式的结构特点是解本题的关键．
17. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形．

（1）在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中，画一个等腰三角形，使它的面积为8；
（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积为5．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据网格特征，取三边长分别为3、4、5，即可求解；
（2）要使得面积为8，则可考虑底和高为4，结合网格特征作图即可；
（3）由于正方形的面积为5，则边长为，结合网格特征确定边长为的正方形即可．
【小问1详解】
解：如图1所示，即为所求；（图形不唯一，合理即可）
【小问2详解】
解：如图2所示，即为所求；（图形不唯一，合理即可）
【小问3详解】
解：如图3所示，正方形即为所求．（图形不唯一，合理即可）
【点睛】本题考查作图，网格作图、勾股定理及其逆定理的运用，理解所作图形的基本性质，熟练利用勾股定理是解题关键．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD＝AF．
（1）判断四边形ABFC的形状并证明；
（2）若AB＝3，∠ABC＝60°，求EF的长．

【答案】（1）矩形，见解析；（2）3
【解析】
【分析】（1）利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC＝AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形；
（2）先证△ABE是等边三角形，可得AB＝AE＝EF＝3．
【详解】解：（1）四边形ABFC是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF．
∵，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝AF，
∴BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形．
（2）∵四边形ABFC是矩形，
∴BC＝AF，AE＝EF，BE＝CE，
∴AE＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝3，
∴EF＝3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键．
19. 某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由．

【答案】该小汽车超速了，平均速度大于70千米/时．
【解析】
【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，进而得出汽车的速度，即可比较得出答案．
【详解】解：由题意知，AB＝50米，AC＝30米，且在Rt△ABC中，AB是斜边，
根据勾股定理，可以求得BC＝40米＝0.04千米，
且2秒时，所以速度为千米/时，
∵72>70，∴该小汽车超速了．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出汽车的速度是解题关键．
20. 如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝5，BC＝12，求菱形AFCE的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据ABCD为矩形，根据矩形的对边平行得到AE与CF平行，由两直线平行得到一对内错角相等，又EF垂直平分AC，根据垂直平分线的定义得到AO=CO，且AC与EF垂直，再加上一对对顶角相等，利用“ASA”得到三角形AOE与三角形COF全等，根据全等三角形的对应边相等得到AE=FC，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到AFCE为平行四边形，又根据对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证；
（2）由矩形的性质得到∠B为直角，在直角三角形ABC中，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，又已知EF的长，而AC与EF为菱形AFCE的两条对角线，根据对角线乘积的一半即可求出菱形的面积．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO＝CO，FE⊥AC，
又∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴EO＝FO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；
（2）如图，在Rt△ABC中，由AB＝5，BC＝12，

根据勾股定理得：AC＝＝13，
∴OA＝，
∵∠EAO＝∠ACB，
∴tan∠EAO＝tan∠ACB，
∴，即，
∴EO＝，
∴EF＝，
∴菱形AFCE的面积S＝AC•EF＝；
【点睛】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理．其中矩形的性质有对边平行且相等，四个角都为直角，对角线互相平行且相等；菱形的性质有四条边相等，对角线互相平分且垂直，一条对角线平分一组对角；菱形的判定方法一般有：四条边相等的四边形为菱形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，邻边相等的平行四边形为菱形等，熟练掌握这些判定与性质是解本题的关键．同时注意菱形的面积可以利用对角线乘积的一半来求．
21. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．

（1）根据题意，_______，_______，_______；
（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
（3）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______．
【答案】（1）1.6，3，1
（2）5m （3）4
【解析】
【分析】（1）由题意得，，，证四边形是矩形，得，则；
（2）设秋千的长度为，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）当时，，则，得，然后在中，由勾股定理求出的长即可．
【小问1详解】
解：（1）由题意得：，，，
，，，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：1.6，3，1；
【小问2详解】
，
，
设秋千的长度为，
则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即秋千的长度是；
【小问3详解】
当时，，
，
，
由（2）可知，，
，
在中，由勾股定理得：，
即需要将秋千往前推送，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．
22. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b的值；
（2）试着把化成一个完全平方式；
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题干中的方法应用完全平方公式展开，对应相等即可得出结果；
（2）将7拆分，然后利用完全平方公式即可求解．
【小问1详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，；
【小问2详解】


．
【点睛】题目主要考查利用完全平方公式书写二次根式，理解题意，掌握完全平方公式是解题关键．
23. 如图，四边形是正方形，是等腰三角形，，．连接，过B作于F，连接，．

（1）若，求的度数；
（2）当变化时，的大小会发生变化吗?请说明理由；
（3）试用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2）当变化时，的大小不变，理由见解析
（3）线段与的数量关系为，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质求出，根据等腰三角形的判定和性质求出，根据等边三角形的判定和性质，求出；
（2）先求出，根据等腰三角形性质求出，，即可得出结果；
（3）过C作交延长线于G，证明，得，，有，由得是等腰直角三角形，可得，即得，故．
【小问1详解】
解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：当变化时，的大小不变，理由如下：
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：线段与的数量关系为，理由如下：

过C作交延长线于G，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
由（2）知，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查正方形性质及应用，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．