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【同步练习】高中数学人教A版(2019)选修第一册--2.3.1两条直线的交点坐标 练习（含答案）
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这是一份【同步练习】高中数学人教A版(2019)选修第一册--2.3.1两条直线的交点坐标 练习（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教A版（2019）选修一2.3.1两条直线的交点坐标
（共22题）
一、选择题（共13题）
1. 已知 △ABC 的顶点坐标为 A7,8，B10,4，C2,−4，则 BC 边上的中线 AM 的长为 ( )
A． 8 B． 13 C． 215 D． 65
2. 不论 m 为何实数直线 l : m−1x+2m−3y+m=0 恒过定点
A． −3,−1 B． −2,−1
C． −3,1 D． −2,1
3. 已知直线 l1:Ax+3y+C=0 与 l2:2x−3y+4=0，若 l1，l2 的交点在 y 轴上，则 C 的值为
A． 4 B． −4
C． 4 或 −4 D．与 A 的取值有关
4. 以方程组 y−x=1,y+x=2 的解为坐标的点 x,y 在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5. 已知 A2,4，B1,0，动点 P 在直线 x=−1 上，当 ∣PA∣+∣PB∣ 取最小值时，点 P 的坐标为
A． −1,85 B． −1,215 C． −1,2 D． −1,1
6. 若二元一次方程 3x−y=7，2x+3y=1，y=kx−9 有公共解，则实数 k 的值为
A． 3 B． −3 C． −4 D． 4
7. 对于平面直角坐标系内任意两点 Ax1,y1，Bx2,y2，定义它们之间的一种“新距离”：∣∣AB∣∣=∣x2−x1∣+∣y2−y1∣．给出下列三个命题：
①若点 C 在线段 AB 上，则 ∣∣AC∣∣+∣∣CB∣∣=∣∣AB∣∣；
②在 △ABC 中，若 ∠C=90∘，则 ∣∣AC∣∣2+∣∣CB∣∣2=∣∣AB∣∣2；
③在 △ABC 上，∣∣AC∣∣+∣∣CB∣∣>∣∣AB∣∣．
其中的真命题为
A．①③ B．①② C．① D．③
8. 已知直线 l 上两点 A，B 的坐标分别为 3,5，a,2，且直线 l 与直线 3x+4y−5=0 垂直，则 ∣AB∣ 的值为
A． 114 B． 154 C． 134 D． 5
9. 若在直线 2x−3y+5=0 上存在点 P 满足点 P 和 A2,3 的距离为 13，则点 P 的坐标是
A． 5,5 B． −1,1
C． 5,5 或 −1,1 D． 5,5 或 1,−1
10. 经过两条直线 2x+y−4=0 和 x−y+1=0 的交点，且与直线 2x+3y−1=0 平行的直线的方程为
A． 2x+3y−7=0 B． 3x−2y+1=0
C． 2x+3y−8=0 D． 2x−3y+2=0
11. 若方程 y=ax 和 y=x+aa>0 所表示的曲线有两个公共点，则实数 a 的取值范围是
A． a>1 B． 01 D． ∅
12. 已知 A3,0，B0,3，从点 P0,2 射出的光线经 x 轴反射到直线 AB 上，又经过直线 AB 反射回到 P 点，则光线所经过的路程为
A． 210 B． 6 C． 33 D． 26
13. 在直线 2x−3y+5=0 上求点 P，使点 P 到 A2,3 的距离为 13，则点 P 的坐标是
A． 5,5 B． −1,1
C． 5,5 或 −1,1 D． 5,5 或 1,−1
二、填空题（共5题）
14. 已知平面直角坐标系中，点 A4,1，B0,4，直线 l:y=3x−1，则直线 AB 与直线 l 的交点坐标为 ．
15. 已知直线 l:y=−abx+2b 与直线 lʹ:y=23x−43 平行，且直线 l 与 y 轴的交点为 0,1，则 a= ，b= ．
16. 已知 M1,0，N−1,0，点 P 在直线 2x−y−1=0 上移动，则 PM2+PN2 的最小值为 ．
17. 三条直线 x=1，2x−y−1=0 及 ax+by+3=0 交于一点，则 a+b= ．
18. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l:x+y+a=0 与点 A2,0，若直线 l 上存在点 M 满足 ∣MA∣=2∣MO∣（O 为坐标原点），则实数 a 的取值范围是 ．
三、解答题（共4题）
19. 已知 △ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为 x−2y+1=0，∠A 的平分线所在的直线方程为 y=0，点 C 的坐标为 1,2．
(1) 求点 A 和点 B 的坐标；
(2) 过点 C 作直线 l 与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于点 M，N，求 △MON（O 为坐标原点）的面积最小值及此时直线 l 的方程．
20. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为 2，宽为 1，边 AB，AD 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，点 A 与坐标原点重合．将矩形折叠，使点 A 落在线段 DC 上．若折痕所在直线的斜率为 k，试写出折痕所在的直线方程．
21. 在 △ABC 中，点 A3,2，B−1,5，点 C 在直线 3x−y+3=0 上．若 △ABC 的面积为 10，求点 C 的坐标．
22. 如图，抛物线 x2=y 与直线 y=1 交于 M，N 两点．Q 为该抛物线上异于 M，N 的任意一点，直线 MQ 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，B，直线 NQ 与 x 轴、 y 轴分别交于点 C，D．
(1) 求 M，N 两点的坐标；
(2) 证明：B，D 两点关于原点 O 对称；
(3) 设 △QBD，△QCA 的面积分别为 S1，S2，若点 Q 在直线 y=1 的下方，求 S2−S1 的最小值．
答案
一、选择题（共13题）
1. 【答案】D
【解析】由 B10,4，C2,−4 可得中点 M6,0，
又 A7,8，
所以 ∣AM∣=6−72+0−82=65．
2. 【答案】C
【解析】据题意将直线方程变形为 x+2y+1m−x−3y=0 ,
因为 m 为任意实数，
所以联立 x+2y+1=0,−x−3y=0,
解得 x=−3,y=1,
所以直线 l 过定点 −3,1 .故选C.
3. 【答案】B
【解析】因为两直线的交点在 y 轴上，且直线 2x−3y+4=0 与 y 轴的交点是 0,43，所以点 0,43 在直线 Ax+3y+C=0 上，则 A×0+3×43+C=0，解得 C=−4．
4. 【答案】A
【解析】解方程组 y−x=1,y+x=2 得 x=12,y=32,
点 12,32 在第一象限．
5. 【答案】A
【解析】点 B 关于直线 x=−1 对称的点为 B1−3,0．
由图形知，当 A，P，B1 三点共线时，∣PA∣+∣PB1∣=∣PA∣+∣PB∣min．
此时，直线 AB1 的方程为 y=45x+3，
令 x=−1，得 y=85．
6. 【答案】D
【解析】由题意得 y=kx−9 与二元一次方程组 3x−y=7,2x+3y=1 有公共解，解二元一次方程组 3x−y=7,2x+3y=1 得 x=2,y=−1.
将 x=2,y=−1 代入 y=kx−9，解得 k=4．故选D．
7. 【答案】C
【解析】对于①，若点 C 在线段 AB 上，设点 C 的坐标为 x0,y0，则 x0 在 x1，x2 之间，y0 在 y1，y2 之间，则 ∣∣AC∣∣+∣∣CB∣∣=∣x0−x1∣+∣y0−y1∣+∣x2−x0∣+∣y2−y0∣=∣x2−x1∣+∣y2−y1∣=∣∣AB∣∣ 成立，故①正确；
对于②，在 △ABC 中，若 ∠C=90∘，则 ∣AC∣2+∣CB∣2=∣AB∣2 是几何距离而非题目定义的“新距离”，所以②不正确；
对于③，在 △ABC 中，
∣∣AC∣∣+∣∣CB∣∣=∣x0−x1∣+∣y0−y1∣+∣x2−x0∣+∣y2−y0∣≥∣x0−x1+x2−x0∣+∣y0−y1+y2−y0∣=∣x2−x1∣+∣y2−y1∣=∣∣AB∣∣.
当 x0−x1 与 x2−x0 同号，且 y0−y1 与 y2−y0 同号时，等号成立，故③不一定成立．
因此只有命题①成立，所以C选项是正确的．
8. 【答案】B
【解析】直线 3x+4y−5=0 的斜率为 −34，
若直线 l 与直线 3x+4y−5=0 垂直，则直线 l 的斜率存在，
由直线 l 上两点的坐标分别为 A3,5，Ba,2，
得 kl=5−23−a=33−a．
由 −34⋅33−a=−1，解得 a=34．
所以 ∣AB∣=3−342+5−22=154．
9. 【答案】C
【解析】设点 Px,y，则 y=2x+53．由 ∣PA∣=13，得 x−22+2x+53−32=13，即 x−22=9，解得 x=−1 或 x=5．当 x=−1 时，y=1；当 x=5 时，y=5，
所以 P−1,1 或 5,5．
10. 【答案】C
11. 【答案】A
12. 【答案】D
【解析】由题易知直线 AB 的方程为 x+y=3，
点 P0,2 关于 x 轴的对称点为 P10,−2，
设点 P0,2 关于直线 AB 的对称点为 P2a,b，
如图．
所以 b−2a×−1=−1,a2+2+b2=3,
解得 a=1,b=3.
所以 P21,3．
所以光线所经过的路程为 ∣PQ∣+∣QM∣+∣MP∣=P1P2=12+3+22=26．
13. 【答案】C
【解析】设点 Px,y，则 y=2x+53．
由 ∣PA∣=13，得 x−22+2x+53−32=13，
即 x−22=9，解得 x=−1 或 x=5．
当 x=−1 时，y=1；
当 x=5 时，y=5，
所以 P 的坐标为 −1,1 或 5,5．
二、填空题（共5题）
14. 【答案】 (43,3)
【解析】由题意得，直线 AB 的方程为 y−1x−4=4−10−4，
即 3x+4y−16=0．
由 3x+4y−16=0,y=3x−1, 得 x=43,y=3,
所以直线 AB 与直线 l 的交点坐标为 43,3．
15. 【答案】 −43 ； 2
【解析】由直线 l:y=−abx+2b 与直线 lʹ:y=23x−43 平行，且直线 l 与 y 轴的交点为 0,1，得 −ab=23,2b=1, 解得 a=−43,b=2.
16. 【答案】 125
【解析】因为点 P 在直线 2x−y−1=0 上，
所以可设 P 的坐标为 a,2a−1，
所以
PM2+PN2=a−12+2a−12+a+12+2a−12=10a2−8a+4=10a−252+125.
当 a=25 时，PM2+PN2 取得最小值 125．
17. 【答案】 −3
18. 【答案】 [2−423,2+423]
【解析】设 Mx,−x−a．由 ∣MA∣=2∣MO∣，得 x−22+−x−a2=4x2+4−x−a2，整理，得 6x2+6a+4x+3a2−4=0．由 Δ≥0 得 9a2−12a−28≤0，解得 2−423≤a≤2+423，故 a 的取值范围为 2−423,2+423．
三、解答题（共4题）
19. 【答案】
(1) 因为点 A 在 BC 边上的高所在的直线 x−2y+1=0 上，且在 ∠A 的平分线所在的直线 y=0 上，
所以解方程组 x−2y+1=0,y=0, 得 A−1,0．
因为 BC 边上的高所在的直线方程为 x−2y+1=0，所以 kBC=−2，
因为点 C 的坐标为 1,2，所以直线 BC 的方程为 2x+y−4=0，
因为 kAC=1，kAB=−kAC=−1，所以直线 AB 的方程为 x+y+1=0，
解方程组 x+y+1=0,2x+y−4=0, 得 B5,−6，
故点 A，点 B 的坐标分别为 −1,0，5,−6．
(2) 依题意得直线的斜率存在，设直线 l 的方程为 y−2=kx−1k<0，
则 Mk−2k,0，N0,2−k，
所以
S△MON=12⋅k−2k⋅2−k=12⋅4−k−4k≥124+2−4k⋅−k=4,
当且仅当 −4k=−k，即 k=−2 时取等号，
所以 S△MONmin=4，此时直线 l 的方程是 2x+y−4=0．
20. 【答案】（1）k=0 时，A 与 D 重合，折痕所在直线方程为 y=12；
（2）k≠0 时，点 A 关于折痕 EF 对称点 G 在 DC 上，
设点 G 的坐标为 t,1，则 1t=−1k，t=−k，G−k,1，M−k2,12，
直线 EF 的方程为 y=kx+k22+12．
21. 【答案】由题意知 ∣AB∣=3+12+2−52=5，
设 AB 边上的高为 h，
因为 S△ABC=12∣AB∣⋅h=10，
所以 h=4．
设点 C 的坐标为 x0,y0，
易知 AB 边所在直线的方程为 y−2=−34×x−3，
即 3x+4y−17=0．
由 3x0−y0+3=0,3x0+4y0−175=4.
解得 x0=−1,y0=0 或 x0=53,y0=8.
故点 C 的坐标为 −1,0 或 53,8．
22. 【答案】
(1) 由 y=x2,y=1 解得 x=−1,y=1 或 x=1,y=1.
因此 M，N 的坐标为 M−1,1，N1,1；
(2) 设点 Q 的坐标为 Qx0,x02，
则直线 MQ 的方程为 y=x0−1x+1+1，
令 x=0，得点 B 的坐标为 B0,x0．
直线 NQ 的方程为 y=x0+1x−1+1．
令 x=0，得点 D 的坐标为 D0,−x0．
综上所述，点 B，D 关于原点 O 对称；
(3) 由（2）得 ∣BD∣=2∣x0∣，
因此 S1=12⋅∣BD∣⋅∣x0∣=x02．
在直线 MQ 的方程中，令 y=0，得 Ax01−x0,0．
在直线 NQ 的方程中，令 y=0，得 Cx01+x0,0．
因此 ∣AC∣=∣x01−x0−x01+x0∣=2x021−x02，S2=12⋅∣AC∣⋅x02=x041−x02，S2−S1=x041−x02−x02=2x04−x021−x02，
令 t=1−x02，由题意得 −1
当且仅当 t=22，即 x0=±2−22 时取等号．
综上所述，S2−S1 的最小值是 22−3．
人教A版（2019）选修一2.3.1两条直线的交点坐标
（共22题）
一、选择题（共13题）
1. 已知 △ABC 的顶点坐标为 A7,8，B10,4，C2,−4，则 BC 边上的中线 AM 的长为 ( )
A． 8 B． 13 C． 215 D． 65
2. 不论 m 为何实数直线 l : m−1x+2m−3y+m=0 恒过定点
A． −3,−1 B． −2,−1
C． −3,1 D． −2,1
3. 已知直线 l1:Ax+3y+C=0 与 l2:2x−3y+4=0，若 l1，l2 的交点在 y 轴上，则 C 的值为
A． 4 B． −4
C． 4 或 −4 D．与 A 的取值有关
4. 以方程组 y−x=1,y+x=2 的解为坐标的点 x,y 在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5. 已知 A2,4，B1,0，动点 P 在直线 x=−1 上，当 ∣PA∣+∣PB∣ 取最小值时，点 P 的坐标为
A． −1,85 B． −1,215 C． −1,2 D． −1,1
6. 若二元一次方程 3x−y=7，2x+3y=1，y=kx−9 有公共解，则实数 k 的值为
A． 3 B． −3 C． −4 D． 4
7. 对于平面直角坐标系内任意两点 Ax1,y1，Bx2,y2，定义它们之间的一种“新距离”：∣∣AB∣∣=∣x2−x1∣+∣y2−y1∣．给出下列三个命题：
①若点 C 在线段 AB 上，则 ∣∣AC∣∣+∣∣CB∣∣=∣∣AB∣∣；
②在 △ABC 中，若 ∠C=90∘，则 ∣∣AC∣∣2+∣∣CB∣∣2=∣∣AB∣∣2；
③在 △ABC 上，∣∣AC∣∣+∣∣CB∣∣>∣∣AB∣∣．
其中的真命题为
A．①③ B．①② C．① D．③
8. 已知直线 l 上两点 A，B 的坐标分别为 3,5，a,2，且直线 l 与直线 3x+4y−5=0 垂直，则 ∣AB∣ 的值为
A． 114 B． 154 C． 134 D． 5
9. 若在直线 2x−3y+5=0 上存在点 P 满足点 P 和 A2,3 的距离为 13，则点 P 的坐标是
A． 5,5 B． −1,1
C． 5,5 或 −1,1 D． 5,5 或 1,−1
10. 经过两条直线 2x+y−4=0 和 x−y+1=0 的交点，且与直线 2x+3y−1=0 平行的直线的方程为
A． 2x+3y−7=0 B． 3x−2y+1=0
C． 2x+3y−8=0 D． 2x−3y+2=0
11. 若方程 y=ax 和 y=x+aa>0 所表示的曲线有两个公共点，则实数 a 的取值范围是
A． a>1 B． 0
12. 已知 A3,0，B0,3，从点 P0,2 射出的光线经 x 轴反射到直线 AB 上，又经过直线 AB 反射回到 P 点，则光线所经过的路程为
A． 210 B． 6 C． 33 D． 26
13. 在直线 2x−3y+5=0 上求点 P，使点 P 到 A2,3 的距离为 13，则点 P 的坐标是
A． 5,5 B． −1,1
C． 5,5 或 −1,1 D． 5,5 或 1,−1
二、填空题（共5题）
14. 已知平面直角坐标系中，点 A4,1，B0,4，直线 l:y=3x−1，则直线 AB 与直线 l 的交点坐标为 ．
15. 已知直线 l:y=−abx+2b 与直线 lʹ:y=23x−43 平行，且直线 l 与 y 轴的交点为 0,1，则 a= ，b= ．
16. 已知 M1,0，N−1,0，点 P 在直线 2x−y−1=0 上移动，则 PM2+PN2 的最小值为 ．
17. 三条直线 x=1，2x−y−1=0 及 ax+by+3=0 交于一点，则 a+b= ．
18. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l:x+y+a=0 与点 A2,0，若直线 l 上存在点 M 满足 ∣MA∣=2∣MO∣（O 为坐标原点），则实数 a 的取值范围是 ．
三、解答题（共4题）
19. 已知 △ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为 x−2y+1=0，∠A 的平分线所在的直线方程为 y=0，点 C 的坐标为 1,2．
(1) 求点 A 和点 B 的坐标；
(2) 过点 C 作直线 l 与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于点 M，N，求 △MON（O 为坐标原点）的面积最小值及此时直线 l 的方程．
20. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为 2，宽为 1，边 AB，AD 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，点 A 与坐标原点重合．将矩形折叠，使点 A 落在线段 DC 上．若折痕所在直线的斜率为 k，试写出折痕所在的直线方程．
21. 在 △ABC 中，点 A3,2，B−1,5，点 C 在直线 3x−y+3=0 上．若 △ABC 的面积为 10，求点 C 的坐标．
22. 如图，抛物线 x2=y 与直线 y=1 交于 M，N 两点．Q 为该抛物线上异于 M，N 的任意一点，直线 MQ 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，B，直线 NQ 与 x 轴、 y 轴分别交于点 C，D．
(1) 求 M，N 两点的坐标；
(2) 证明：B，D 两点关于原点 O 对称；
(3) 设 △QBD，△QCA 的面积分别为 S1，S2，若点 Q 在直线 y=1 的下方，求 S2−S1 的最小值．
答案
一、选择题（共13题）
1. 【答案】D
【解析】由 B10,4，C2,−4 可得中点 M6,0，
又 A7,8，
所以 ∣AM∣=6−72+0−82=65．
2. 【答案】C
【解析】据题意将直线方程变形为 x+2y+1m−x−3y=0 ,
因为 m 为任意实数，
所以联立 x+2y+1=0,−x−3y=0,
解得 x=−3,y=1,
所以直线 l 过定点 −3,1 .故选C.
3. 【答案】B
【解析】因为两直线的交点在 y 轴上，且直线 2x−3y+4=0 与 y 轴的交点是 0,43，所以点 0,43 在直线 Ax+3y+C=0 上，则 A×0+3×43+C=0，解得 C=−4．
4. 【答案】A
【解析】解方程组 y−x=1,y+x=2 得 x=12,y=32,
点 12,32 在第一象限．
5. 【答案】A
【解析】点 B 关于直线 x=−1 对称的点为 B1−3,0．
由图形知，当 A，P，B1 三点共线时，∣PA∣+∣PB1∣=∣PA∣+∣PB∣min．
此时，直线 AB1 的方程为 y=45x+3，
令 x=−1，得 y=85．
6. 【答案】D
【解析】由题意得 y=kx−9 与二元一次方程组 3x−y=7,2x+3y=1 有公共解，解二元一次方程组 3x−y=7,2x+3y=1 得 x=2,y=−1.
将 x=2,y=−1 代入 y=kx−9，解得 k=4．故选D．
7. 【答案】C
【解析】对于①，若点 C 在线段 AB 上，设点 C 的坐标为 x0,y0，则 x0 在 x1，x2 之间，y0 在 y1，y2 之间，则 ∣∣AC∣∣+∣∣CB∣∣=∣x0−x1∣+∣y0−y1∣+∣x2−x0∣+∣y2−y0∣=∣x2−x1∣+∣y2−y1∣=∣∣AB∣∣ 成立，故①正确；
对于②，在 △ABC 中，若 ∠C=90∘，则 ∣AC∣2+∣CB∣2=∣AB∣2 是几何距离而非题目定义的“新距离”，所以②不正确；
对于③，在 △ABC 中，
∣∣AC∣∣+∣∣CB∣∣=∣x0−x1∣+∣y0−y1∣+∣x2−x0∣+∣y2−y0∣≥∣x0−x1+x2−x0∣+∣y0−y1+y2−y0∣=∣x2−x1∣+∣y2−y1∣=∣∣AB∣∣.
当 x0−x1 与 x2−x0 同号，且 y0−y1 与 y2−y0 同号时，等号成立，故③不一定成立．
因此只有命题①成立，所以C选项是正确的．
8. 【答案】B
【解析】直线 3x+4y−5=0 的斜率为 −34，
若直线 l 与直线 3x+4y−5=0 垂直，则直线 l 的斜率存在，
由直线 l 上两点的坐标分别为 A3,5，Ba,2，
得 kl=5−23−a=33−a．
由 −34⋅33−a=−1，解得 a=34．
所以 ∣AB∣=3−342+5−22=154．
9. 【答案】C
【解析】设点 Px,y，则 y=2x+53．由 ∣PA∣=13，得 x−22+2x+53−32=13，即 x−22=9，解得 x=−1 或 x=5．当 x=−1 时，y=1；当 x=5 时，y=5，
所以 P−1,1 或 5,5．
10. 【答案】C
11. 【答案】A
12. 【答案】D
【解析】由题易知直线 AB 的方程为 x+y=3，
点 P0,2 关于 x 轴的对称点为 P10,−2，
设点 P0,2 关于直线 AB 的对称点为 P2a,b，
如图．
所以 b−2a×−1=−1,a2+2+b2=3,
解得 a=1,b=3.
所以 P21,3．
所以光线所经过的路程为 ∣PQ∣+∣QM∣+∣MP∣=P1P2=12+3+22=26．
13. 【答案】C
【解析】设点 Px,y，则 y=2x+53．
由 ∣PA∣=13，得 x−22+2x+53−32=13，
即 x−22=9，解得 x=−1 或 x=5．
当 x=−1 时，y=1；
当 x=5 时，y=5，
所以 P 的坐标为 −1,1 或 5,5．
二、填空题（共5题）
14. 【答案】 (43,3)
【解析】由题意得，直线 AB 的方程为 y−1x−4=4−10−4，
即 3x+4y−16=0．
由 3x+4y−16=0,y=3x−1, 得 x=43,y=3,
所以直线 AB 与直线 l 的交点坐标为 43,3．
15. 【答案】 −43 ； 2
【解析】由直线 l:y=−abx+2b 与直线 lʹ:y=23x−43 平行，且直线 l 与 y 轴的交点为 0,1，得 −ab=23,2b=1, 解得 a=−43,b=2.
16. 【答案】 125
【解析】因为点 P 在直线 2x−y−1=0 上，
所以可设 P 的坐标为 a,2a−1，
所以
PM2+PN2=a−12+2a−12+a+12+2a−12=10a2−8a+4=10a−252+125.
当 a=25 时，PM2+PN2 取得最小值 125．
17. 【答案】 −3
18. 【答案】 [2−423,2+423]
【解析】设 Mx,−x−a．由 ∣MA∣=2∣MO∣，得 x−22+−x−a2=4x2+4−x−a2，整理，得 6x2+6a+4x+3a2−4=0．由 Δ≥0 得 9a2−12a−28≤0，解得 2−423≤a≤2+423，故 a 的取值范围为 2−423,2+423．
三、解答题（共4题）
19. 【答案】
(1) 因为点 A 在 BC 边上的高所在的直线 x−2y+1=0 上，且在 ∠A 的平分线所在的直线 y=0 上，
所以解方程组 x−2y+1=0,y=0, 得 A−1,0．
因为 BC 边上的高所在的直线方程为 x−2y+1=0，所以 kBC=−2，
因为点 C 的坐标为 1,2，所以直线 BC 的方程为 2x+y−4=0，
因为 kAC=1，kAB=−kAC=−1，所以直线 AB 的方程为 x+y+1=0，
解方程组 x+y+1=0,2x+y−4=0, 得 B5,−6，
故点 A，点 B 的坐标分别为 −1,0，5,−6．
(2) 依题意得直线的斜率存在，设直线 l 的方程为 y−2=kx−1k<0，
则 Mk−2k,0，N0,2−k，
所以
S△MON=12⋅k−2k⋅2−k=12⋅4−k−4k≥124+2−4k⋅−k=4,
当且仅当 −4k=−k，即 k=−2 时取等号，
所以 S△MONmin=4，此时直线 l 的方程是 2x+y−4=0．
20. 【答案】（1）k=0 时，A 与 D 重合，折痕所在直线方程为 y=12；
（2）k≠0 时，点 A 关于折痕 EF 对称点 G 在 DC 上，
设点 G 的坐标为 t,1，则 1t=−1k，t=−k，G−k,1，M−k2,12，
直线 EF 的方程为 y=kx+k22+12．
21. 【答案】由题意知 ∣AB∣=3+12+2−52=5，
设 AB 边上的高为 h，
因为 S△ABC=12∣AB∣⋅h=10，
所以 h=4．
设点 C 的坐标为 x0,y0，
易知 AB 边所在直线的方程为 y−2=−34×x−3，
即 3x+4y−17=0．
由 3x0−y0+3=0,3x0+4y0−175=4.
解得 x0=−1,y0=0 或 x0=53,y0=8.
故点 C 的坐标为 −1,0 或 53,8．
22. 【答案】
(1) 由 y=x2,y=1 解得 x=−1,y=1 或 x=1,y=1.
因此 M，N 的坐标为 M−1,1，N1,1；
(2) 设点 Q 的坐标为 Qx0,x02，
则直线 MQ 的方程为 y=x0−1x+1+1，
令 x=0，得点 B 的坐标为 B0,x0．
直线 NQ 的方程为 y=x0+1x−1+1．
令 x=0，得点 D 的坐标为 D0,−x0．
综上所述，点 B，D 关于原点 O 对称；
(3) 由（2）得 ∣BD∣=2∣x0∣，
因此 S1=12⋅∣BD∣⋅∣x0∣=x02．
在直线 MQ 的方程中，令 y=0，得 Ax01−x0,0．
在直线 NQ 的方程中，令 y=0，得 Cx01+x0,0．
因此 ∣AC∣=∣x01−x0−x01+x0∣=2x021−x02，S2=12⋅∣AC∣⋅x02=x041−x02，S2−S1=x041−x02−x02=2x04−x021−x02，
令 t=1−x02，由题意得 −1
当且仅当 t=22，即 x0=±2−22 时取等号．
综上所述，S2−S1 的最小值是 22−3．
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