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【同步练习】高中数学人教A版(2019)选修第一册--2.3.3点到直线的距离公式 练习（含答案）
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这是一份【同步练习】高中数学人教A版(2019)选修第一册--2.3.3点到直线的距离公式 练习（含答案），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教A版（2019）选修一2.3.3点到直线的距离公式
（共22题）
一、选择题（共13题）
1. 两平行直线 3x−2y−1=0 和 6x−4y+3=0 间的距离是
A． 51326 B． 41313 C． 21313 D． 31313
2. 点 P2,3 到直线 l:ax+y−2a=0 的距离为 d，则 d 的最大值为
A． 3 B． 4 C． 5 D． 7
3. 点 1,1 到直线 x−y−1=0 的距离是
A． 12 B． 22 C． 1 D． 2
4. 到直线 3x−4y−1=0 的距离为 2 的点的轨迹方程是
A． 3x−4y−11=0
B． 3x−4y+9=0
C． 3x−4y+11=0 或 3x−4y−9=0
D． 3x−4y−11=0 或 3x−4y+9=0
5. 过点 A1,2，且与原点距离最大的直线的方程是
A． x+2y−5=0 B． 2x+y−4=0
C． x+3y−7=0 D． x−2y+3=0
6. 已知过点 M−2,a，Na,4 的直线的斜率为 −12，则 ∣MN∣ 等于
A． 10 B． 180 C． 63 D． 65
7. 点 Px,y 到 y 轴的距离是
A． x B． y C． ∣x∣ D． ∣y∣
8. 点 P 到直线 3x+4y−12=0 的距离等于 125，则 P 点的轨迹方程是
A． 3x+4y−24=0
B． 4x+3y−24=0
C． 4x−3y3x−4y−24=0
D． 3x+4y3x+4y−24=0
9. 若直线 l 过点 2,3，倾斜角为 120∘，则点 1,−3 到直线 l 的距离为
A． 32 B． 3 C． 332 D． 532
10. 已知实数 x，y 满足 2x+y+5=0，那么 x2+y2 的最小值为
A． 5 B． 10 C． 25 D． 210
11. 已知点 A0,1，点 B 在直线 x+y+1=0 上运动．当 ∣AB∣ 最小时，点 B 的坐标是
A． −1,1 B． −1,0 C． 0,−1 D． −2,1
12. 分别过点 A1,3 和点 B2,4 的直线 l1 和 l2 互相平行且有最大距离，则 l1 的方程是
A． x−y−4=0 B． x+y−4=0
C． x=1 D． y=3
13. 若直线 l1:ax+y−1=0 与直线 l2:x+ay+1=0 平行，则两平行线间的距离为
A． 1 B． 2 C． 2 D． 22
二、填空题（共5题）
14. 已知点 A−3,−4，B6,3 到直线 l:ax+y+1=0 的距离相等，则实数 a 的值为 ．
15. 平行直线 2x+y−1=0 与 2x+y+1=0 之间的距离为 ．
16. 点 0,0 到直线 x+y=2 的距离是 ．
17. 若点 5,k 位于两条平行线 6x−8y+1=0 与 3x−4y+5=0 之间，且 k∈Z，则 k 的值为 ．
18. 原点 O 到直线 xcosθ+ysinθ+2=0θ∈R 的距离为 ．
三、解答题（共4题）
19. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为 3，宽为 2，边 AB，AD 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，点 A 与坐标原点重合．将矩形折叠，使点 A 落在线段 DC 上，已知折痕 EF 所在直线的斜率为 −12．
(1) 求折痕 EF 所在直线的方程；
(2) 若 P 为 BC 的中点，求 △PEF 的面积．
20. 已知直线 l 过两直线 3x+4y−5=0，2x−3y+8=0 的交点，且 A2,3，B−4,5 两点到直线 l 的距离相等，求直线 l 的方程．
21. 等腰直角 △ABC 的直角为角 C，且点 C0,−1，斜边 AB 所在的直线方程为 x+2y−8=0．
(1) 求 △ABC 的面积；
(2) 求斜边 AB 中点 D 的坐标．
22. 已知直线 l1:ax+3y+1=0，l2:x+a−2y+a=0．
(1) 若 l1⊥l2，求实数 a 的值；
(2) 当 l1∥l2 时，求直线 l1 与 l2 之间的距离．
答案
一、选择题（共13题）
1. 【答案】A
【解析】直线 6x−4y+3=0 可化为 3x−2y+32=0．
故两平行直线间的距离 d=−1−3232+−22=51326．
2. 【答案】A
【解析】解法一：易得直线 l:y=−ax−2，据此可知直线 l 恒过定点 M2,0，
当直线 l⊥PM 时，d 有最大值，
结合两点间的距离公式，可得 d 的最大值为 2−22+3−02=3．
解法二：由点到直线的距离公式有 d=∣2a+3−2a∣a2+1=3a2+1≤3．
3. 【答案】B
4. 【答案】D
【解析】依题意知，所求直线与已知直线 3x−4y−1=0 平行，设所求直线方程为 3x−4y+C=0C≠−1，
根据两条平行直线间的距离公式，得 ∣C+1∣32+42=∣C+1∣5=2，
则 C1=−11 或 C2=9，
故所求点的轨迹方程为 3x−4y−11=0 或 3x−4y+9=0．
5. 【答案】A
【解析】根据题意得，当所求直线与直线 OA 垂直时，原点到所求直线的距离最大，因为直线 OA 的斜率为 2，所以所求直线的斜率为 −12，所以直线方程为 y−2=−12x−1，即 x+2y−5=0，故选A．
6. 【答案】D
【解析】因为过点 M−2,a，Na,4 的直线的斜率为 k=4−aa+2=−12，解得 a=10，
所以 ∣MN∣=a+22+4−a2=10+22+4−102=65．
7. 【答案】C
8. 【答案】D
9. 【答案】C
【解析】因为直线 l 过点 2,2，倾斜角为 120∘，
故直线的斜率为 tan120∘=−3，
故直线 l 的方程为 y−3=−3x−2，即 3x+y−33=0，
则点 1,−3 到直线 l 的距离为 3−3−333+1=332，
故选：C．
10. 【答案】A
【解析】 x2+y2 表示直线 2x+y+5=0 上的点和原点之间的距离，则 x2+y2 的最小值实际上就是原点到直线 2x+y+5=0 的距离，
所以 x2+y2 最小值为 522+12=5．
11. 【答案】B
【解析】因为点 B 在直线 x+y+1=0 上运动，所以设点 B 的坐标为 x,−x−1，
由两点间的距离公式可知，∣AB∣=x−02+−x−1−12=2x2+4x+4=2x+12+2，显然 x=−1 时，∣AB∣ 有最小值，最小值为 2，
此时点 B 的坐标是 −1,0．
12. 【答案】B
【解析】当 l1 与 l2 之间的距离最大时，l1⊥AB．
因为直线 AB 的斜率为 4−32−1=1，
所以直线 l1 的斜率为 −1，
又因为直线 l1 过点 A1,3，
所以由点斜式得 l1 的方程为 y−3=−x−1，即 x+y−4=0．
13. 【答案】B
【解析】直线 l1:ax+y−1=0 与直线 l2:x+ay+1=0 平行，则 a2−1=0，解得 a=±1．
当 a=−1 时，直线 l1:x−y+1=0 与直线 l2:x−y+1=0 重合，故舍去；
当 a=1 时，直线 l1:x+y−1=0 与直线 l2:x+y+1=0 平行，故两平行线间的距离 d=∣−1−1∣2=2．
二、填空题（共5题）
14. 【答案】 −13 或 −79
【解析】由点到直线的距离公式，得 −3a−4+1a2+1=6a+3+1a2+1，
解得 a=−13 或 −79．
15. 【答案】 255
【解析】平行直线 2x+y−1=0 与 2x+y+1=0 之间的距离为 ∣−1−1∣4+1=255．
故答案为：255．
16. 【答案】 2
17. 【答案】 4
18. 【答案】 2
三、解答题（共4题）
19. 【答案】
(1) 设折痕 EF 所在直线的方程为 y=−12x+b，点 A 落在线段 DC 上的点为 Ga,2，其中 0
所以 1=−12⋅a2+b,−12⋅2a=−1, 解得 a=1,b=54,
所以折痕 EF 所在直线的方程为 y=−12x+54，即 2x+4y−5=0．
(2) 由（1）知，折痕 EF 所在直线的方程为 2x+4y−5=0，
所以 E0,54，F52,0，
所以 ∣EF∣=52−02+0−542=554．
因为 P 为 BC 的中点，
所以点 P3,1，
所以点 P 到折痕 EF 的距离 d=∣2×3+4×1−5∣22+42=52，
所以 △PEF 的面积 S=12×554×52=2516．
20. 【答案】解方程组 3x+4y−5=0,2x−3y+8=0.
得 x=−1,y=2, 即交点坐标为 −1,2．
①当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y−2=kx+1，即 kx−y+k+2=0．
由题意得 ∣2k−3+k+2∣k2+1=∣−4k−5+k+2∣k2+1，
解得 k=−13，
所以直线 l 的方程为 y−2=−13x+1，即 x+3y−5=0．
②当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x=−1，符合题意．
综上，所求直线 l 的方程为 x+3y−5=0 或 x=−1．
21. 【答案】
(1) 顶点 C 到斜边 AB 的距离 d=∣0+2×−1−8∣12+22=105=25，
所以斜边 AB=2d=45，
故 △ABC 的面积 S=12×AB×d=12×45×25=20．
(2) 由题意知，CD⊥AB，又 kAB=−12，
所以 kCD=2，
所以直线 CD 的方程为 y=2x−1，即 2x−y−1=0，
由 x+2y−8=0,2x−y−1=0, 解得 x=2,y=3,
所以点 D 的坐标为 2,3．
22. 【答案】
(1) 由 l1⊥l2 可得：a+3a−2=0，解得 a=32．
(2) 当 l1∥l2 时，有 aa−2−3=0,3a−a−2≠0, 解得 a=3，
此时，l1，l2 的方程分别为：3x+3y+1=0，x+y+3=0 即 3x+3y+9=0，
故它们之间的距离为 d=∣9−1∣32+32=423．
人教A版（2019）选修一2.3.3点到直线的距离公式
（共22题）
一、选择题（共13题）
1. 两平行直线 3x−2y−1=0 和 6x−4y+3=0 间的距离是
A． 51326 B． 41313 C． 21313 D． 31313
2. 点 P2,3 到直线 l:ax+y−2a=0 的距离为 d，则 d 的最大值为
A． 3 B． 4 C． 5 D． 7
3. 点 1,1 到直线 x−y−1=0 的距离是
A． 12 B． 22 C． 1 D． 2
4. 到直线 3x−4y−1=0 的距离为 2 的点的轨迹方程是
A． 3x−4y−11=0
B． 3x−4y+9=0
C． 3x−4y+11=0 或 3x−4y−9=0
D． 3x−4y−11=0 或 3x−4y+9=0
5. 过点 A1,2，且与原点距离最大的直线的方程是
A． x+2y−5=0 B． 2x+y−4=0
C． x+3y−7=0 D． x−2y+3=0
6. 已知过点 M−2,a，Na,4 的直线的斜率为 −12，则 ∣MN∣ 等于
A． 10 B． 180 C． 63 D． 65
7. 点 Px,y 到 y 轴的距离是
A． x B． y C． ∣x∣ D． ∣y∣
8. 点 P 到直线 3x+4y−12=0 的距离等于 125，则 P 点的轨迹方程是
A． 3x+4y−24=0
B． 4x+3y−24=0
C． 4x−3y3x−4y−24=0
D． 3x+4y3x+4y−24=0
9. 若直线 l 过点 2,3，倾斜角为 120∘，则点 1,−3 到直线 l 的距离为
A． 32 B． 3 C． 332 D． 532
10. 已知实数 x，y 满足 2x+y+5=0，那么 x2+y2 的最小值为
A． 5 B． 10 C． 25 D． 210
11. 已知点 A0,1，点 B 在直线 x+y+1=0 上运动．当 ∣AB∣ 最小时，点 B 的坐标是
A． −1,1 B． −1,0 C． 0,−1 D． −2,1
12. 分别过点 A1,3 和点 B2,4 的直线 l1 和 l2 互相平行且有最大距离，则 l1 的方程是
A． x−y−4=0 B． x+y−4=0
C． x=1 D． y=3
13. 若直线 l1:ax+y−1=0 与直线 l2:x+ay+1=0 平行，则两平行线间的距离为
A． 1 B． 2 C． 2 D． 22
二、填空题（共5题）
14. 已知点 A−3,−4，B6,3 到直线 l:ax+y+1=0 的距离相等，则实数 a 的值为 ．
15. 平行直线 2x+y−1=0 与 2x+y+1=0 之间的距离为 ．
16. 点 0,0 到直线 x+y=2 的距离是 ．
17. 若点 5,k 位于两条平行线 6x−8y+1=0 与 3x−4y+5=0 之间，且 k∈Z，则 k 的值为 ．
18. 原点 O 到直线 xcosθ+ysinθ+2=0θ∈R 的距离为 ．
三、解答题（共4题）
19. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为 3，宽为 2，边 AB，AD 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，点 A 与坐标原点重合．将矩形折叠，使点 A 落在线段 DC 上，已知折痕 EF 所在直线的斜率为 −12．
(1) 求折痕 EF 所在直线的方程；
(2) 若 P 为 BC 的中点，求 △PEF 的面积．
20. 已知直线 l 过两直线 3x+4y−5=0，2x−3y+8=0 的交点，且 A2,3，B−4,5 两点到直线 l 的距离相等，求直线 l 的方程．
21. 等腰直角 △ABC 的直角为角 C，且点 C0,−1，斜边 AB 所在的直线方程为 x+2y−8=0．
(1) 求 △ABC 的面积；
(2) 求斜边 AB 中点 D 的坐标．
22. 已知直线 l1:ax+3y+1=0，l2:x+a−2y+a=0．
(1) 若 l1⊥l2，求实数 a 的值；
(2) 当 l1∥l2 时，求直线 l1 与 l2 之间的距离．
答案
一、选择题（共13题）
1. 【答案】A
【解析】直线 6x−4y+3=0 可化为 3x−2y+32=0．
故两平行直线间的距离 d=−1−3232+−22=51326．
2. 【答案】A
【解析】解法一：易得直线 l:y=−ax−2，据此可知直线 l 恒过定点 M2,0，
当直线 l⊥PM 时，d 有最大值，
结合两点间的距离公式，可得 d 的最大值为 2−22+3−02=3．
解法二：由点到直线的距离公式有 d=∣2a+3−2a∣a2+1=3a2+1≤3．
3. 【答案】B
4. 【答案】D
【解析】依题意知，所求直线与已知直线 3x−4y−1=0 平行，设所求直线方程为 3x−4y+C=0C≠−1，
根据两条平行直线间的距离公式，得 ∣C+1∣32+42=∣C+1∣5=2，
则 C1=−11 或 C2=9，
故所求点的轨迹方程为 3x−4y−11=0 或 3x−4y+9=0．
5. 【答案】A
【解析】根据题意得，当所求直线与直线 OA 垂直时，原点到所求直线的距离最大，因为直线 OA 的斜率为 2，所以所求直线的斜率为 −12，所以直线方程为 y−2=−12x−1，即 x+2y−5=0，故选A．
6. 【答案】D
【解析】因为过点 M−2,a，Na,4 的直线的斜率为 k=4−aa+2=−12，解得 a=10，
所以 ∣MN∣=a+22+4−a2=10+22+4−102=65．
7. 【答案】C
8. 【答案】D
9. 【答案】C
【解析】因为直线 l 过点 2,2，倾斜角为 120∘，
故直线的斜率为 tan120∘=−3，
故直线 l 的方程为 y−3=−3x−2，即 3x+y−33=0，
则点 1,−3 到直线 l 的距离为 3−3−333+1=332，
故选：C．
10. 【答案】A
【解析】 x2+y2 表示直线 2x+y+5=0 上的点和原点之间的距离，则 x2+y2 的最小值实际上就是原点到直线 2x+y+5=0 的距离，
所以 x2+y2 最小值为 522+12=5．
11. 【答案】B
【解析】因为点 B 在直线 x+y+1=0 上运动，所以设点 B 的坐标为 x,−x−1，
由两点间的距离公式可知，∣AB∣=x−02+−x−1−12=2x2+4x+4=2x+12+2，显然 x=−1 时，∣AB∣ 有最小值，最小值为 2，
此时点 B 的坐标是 −1,0．
12. 【答案】B
【解析】当 l1 与 l2 之间的距离最大时，l1⊥AB．
因为直线 AB 的斜率为 4−32−1=1，
所以直线 l1 的斜率为 −1，
又因为直线 l1 过点 A1,3，
所以由点斜式得 l1 的方程为 y−3=−x−1，即 x+y−4=0．
13. 【答案】B
【解析】直线 l1:ax+y−1=0 与直线 l2:x+ay+1=0 平行，则 a2−1=0，解得 a=±1．
当 a=−1 时，直线 l1:x−y+1=0 与直线 l2:x−y+1=0 重合，故舍去；
当 a=1 时，直线 l1:x+y−1=0 与直线 l2:x+y+1=0 平行，故两平行线间的距离 d=∣−1−1∣2=2．
二、填空题（共5题）
14. 【答案】 −13 或 −79
【解析】由点到直线的距离公式，得 −3a−4+1a2+1=6a+3+1a2+1，
解得 a=−13 或 −79．
15. 【答案】 255
【解析】平行直线 2x+y−1=0 与 2x+y+1=0 之间的距离为 ∣−1−1∣4+1=255．
故答案为：255．
16. 【答案】 2
17. 【答案】 4
18. 【答案】 2
三、解答题（共4题）
19. 【答案】
(1) 设折痕 EF 所在直线的方程为 y=−12x+b，点 A 落在线段 DC 上的点为 Ga,2，其中 0
所以 1=−12⋅a2+b,−12⋅2a=−1, 解得 a=1,b=54,
所以折痕 EF 所在直线的方程为 y=−12x+54，即 2x+4y−5=0．
(2) 由（1）知，折痕 EF 所在直线的方程为 2x+4y−5=0，
所以 E0,54，F52,0，
所以 ∣EF∣=52−02+0−542=554．
因为 P 为 BC 的中点，
所以点 P3,1，
所以点 P 到折痕 EF 的距离 d=∣2×3+4×1−5∣22+42=52，
所以 △PEF 的面积 S=12×554×52=2516．
20. 【答案】解方程组 3x+4y−5=0,2x−3y+8=0.
得 x=−1,y=2, 即交点坐标为 −1,2．
①当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y−2=kx+1，即 kx−y+k+2=0．
由题意得 ∣2k−3+k+2∣k2+1=∣−4k−5+k+2∣k2+1，
解得 k=−13，
所以直线 l 的方程为 y−2=−13x+1，即 x+3y−5=0．
②当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x=−1，符合题意．
综上，所求直线 l 的方程为 x+3y−5=0 或 x=−1．
21. 【答案】
(1) 顶点 C 到斜边 AB 的距离 d=∣0+2×−1−8∣12+22=105=25，
所以斜边 AB=2d=45，
故 △ABC 的面积 S=12×AB×d=12×45×25=20．
(2) 由题意知，CD⊥AB，又 kAB=−12，
所以 kCD=2，
所以直线 CD 的方程为 y=2x−1，即 2x−y−1=0，
由 x+2y−8=0,2x−y−1=0, 解得 x=2,y=3,
所以点 D 的坐标为 2,3．
22. 【答案】
(1) 由 l1⊥l2 可得：a+3a−2=0，解得 a=32．
(2) 当 l1∥l2 时，有 aa−2−3=0,3a−a−2≠0, 解得 a=3，
此时，l1，l2 的方程分别为：3x+3y+1=0，x+y+3=0 即 3x+3y+9=0，
故它们之间的距离为 d=∣9−1∣32+32=423．
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