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【同步练习】高中数学人教A版(2019)选修第一册--2.3.4两条平行直线间的距离 练习（含答案）
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这是一份【同步练习】高中数学人教A版(2019)选修第一册--2.3.4两条平行直线间的距离 练习（含答案），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教A版（2019）选修一2.3.4两条平行直线间的距离
（共19题）
一、选择题（共11题）
1. 已知直线 l1:x+ay−1=0 与直线 l2:2x−y+1=0 平行，则 l1 与 l2 的距离为
A． 15 B． 55 C． 35 D． 355
2. 已知两点 A3,2，B−1,4 到直线 mx+y+3=0 的距离相等，则 m 的值为
A． −6 或 1 B． −12 或 1 C． −12 或 12 D． −6 或 12
3. P，Q 分别为直线 3x+4y−12=0 与 6x+8y+5=0 上任意一点，则 ∣PQ∣ 的最小值为
A． 95 B． 185 C． 2910 D． 295
4. 已知直线 3x+4y−3=0 与 6x+my+14=0 平行，则它们之间的距离是
A． 0 B． 2 C． 4 D． 13
5. 若两条平行直线 l1 : x−2y+m=0m>0 与 l2：2x+ny−6=0 之间的距离是 5，则 m+n=
A． 0 B． 1 C． −2 D． −1
6. 若直线 l 过点 2,3，倾斜角为 120∘，则点 1,−3 到直线 l 的距离为
A． 32 B． 3 C． 332 D． 532
7. 在平面直角坐标系中，记 d 为点 Pcosθ,sinθ 到直线 x−my−2=0 的距离．当 θ，m 变化时，d 的最大值为
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
8. 点 0,−1 到直线 y=kx+1 距离的最大值为
A． 1 B． 2 C． 3 D． 2
9. 若两条直线 l1：x+2y−6=0 与 l2：x+ay−7=0 平行，则 l1 与 l2 间的距离是
A． 5 B． 25 C． 52 D． 55
10. 对于任意实数 k，直线 k+2x−1+ky−2=0 与点 −2,−2 的距离为 d，则 d 的取值范围是
A． 0,42 B． 0,42 C． 0,255 D． 0,255
11. 已知点 A−1,0，B2,4，△ABC 的面积为 10，则动点 C 的轨迹方程是
A．4x−3y−16=0 或 4x−3y+16=0
B．4x−3y−16=0 或 4x−3y+24=0
C．4x−3y+16=0 或 4x−3y+24=0
D．4x−3y+16=0 或 4x−3y−24=0
二、填空题（共5题）
12. 点 0,0 到直线 x+y=2 的距离是 ．
13. 已知点 P1,1，直线 l:x+y+1=0，则点 P 到直线 l 的距离为 ．
14. 点 M2,3 到直线 l：ax+a−1y+3=0 距离等于 3，则 a= ．
15. 已知直线 l1:2x+4y+1=0 与直线 l2:2x+4y+3=0，点 P 是平面直角坐标系内任意一点，若点 P 到直线 l1 和 l2 的距离分别为 d1，d2，则 d1+d2 的最小值是 ．
16. 已知直线 l 在两坐标轴上的截距相等，且点 P1,3 到直线 l 的距离为 2，则直线 l 的条数为 ．
三、解答题（共3题）
17. 求过点 P0,2 且与点 A1,1，B−3,1 等距离的直线 l 的方程．
18. 已知直线 l 经过点 P4,3，且与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴正半轴交于点 B，O 为坐标原点．
(1) 若点 O 到直线 l 的距离为 4，求直线 l 的方程；
(2) 求 △OAB 面积的最小值．
19. 已知方程 2+λx−1+λy−23+2λ=0 与点 P−2,2．
(1) 证明：对任意的实数 λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2) 证明：该方程表示的直线与点 P 的距离 d 小于 42．
答案
一、选择题（共11题）
1. 【答案】D
【解析】由 l1∥l2 得，a=−12，因此 l1:2x−y−2=0，
所以 d=−2−122+−12=35=355．
2. 【答案】D
【解析】解法一：依题意得，直线 mx+y+3=0 过线段 AB 的中点，或与直线 AB 平行．
①线段 AB 的中点坐标为 1,3，且在直线 mx+y+3=0 上，
所以 m+3+3=0，解得 m=−6；
②由两直线平行知 4−2−1−3=−m，解得 m=12．
因此 m 的值为 −6 或 12．
解法二：由题意得 ∣3m+2+3∣m2+1=∣−m+4+3∣m2+1，
解得 m=−6 或 m=12．
3. 【答案】C
【解析】因直线 3x+4y−12=0 与 6x+8y+5=0 平行，
故 ∣PQ∣ 的最小值即为两平行直线间的距离，
即 ∣PQ∣min=52+125=2910．
4. 【答案】B
【解析】在 6x+my+14=0 上取点 −73,0，
则它们之间的距离 =−73×3+0−332+42=2．
5. 【答案】C
【解析】由 l1∥l2，得 12=−2n，解得 n=−4，
即直线 l2：x−2y−3=0，两直线之间的距离为 d=∣m−−3∣12+−22=5，解得 m=2 ( m=−8 舍去)，所以 m+n=−2．
6. 【答案】C
【解析】因为直线 l 过点 2,2，倾斜角为 120∘，
故直线的斜率为 tan120∘=−3，
故直线 l 的方程为 y−3=−3x−2，即 3x+y−33=0，
则点 1,−3 到直线 l 的距离为 3−3−333+1=332，
故选：C．
7. 【答案】C
【解析】由点到直线的距离公式得 d=∣cosθ−msinθ−2∣1+m2=∣1+m2cosθ+φ−2∣1+m2≤1+21+m2≤3，其中 tanφ=m．
8. 【答案】B
【解析】由 y=kx+1 可知直线过定点 P−1,0，设 A0,−1，当直线 y=kx+1 与直线 AP 垂直时，点 A 到直线 y=kx+1 的距离最大，即为 ∣AP∣=2．故选B．
9. 【答案】D
【解析】由两直线平行，得 a=2，则 l1，l2 间的距离 d=−6−−712+22=15=55．
10. 【答案】B
11. 【答案】B
【解析】由点 A−1,0，B2,4 得直线 AB 的方程为 y=43x+1，即 4x−3y+4=0，且 ∣AB∣=32+42=5．设点 C 到直线 AB 距离为 d，因为 △ABC 的面积为 10，所以 12∣AB∣⋅d=52d=10，所以 d=4，即动点 C 到定直线 AB 的距离为常数 4，所以动点 C 的轨迹为平行于直线 AB 且与直线 AB 距离为 4 的直线，设其方程为 4x−3y+c=0，则 d=∣4−c∣5=4，解得 c=24 或 −16，故动点 C 的轨迹方程是 4x−3y−16=0 或 4x−3y+24=0．
二、填空题（共5题）
12. 【答案】 2
13. 【答案】 322
14. 【答案】 37 或 −3
【解析】由题意可得：∣2a+3a−1+3∣a2+a−12=3⇒7a2+18a−9=0，解得 a=37 或 −3．
15. 【答案】 55
【解析】显然 l1 与 l2 平行，且 l1 与 l2 间的距离 d=∣3−1∣4+16=55，
于是 d1+d2≥d=55，
故 d1+d2 的最小值是 55．
16. 【答案】 4
【解析】由题意知，若直线 l 在两坐标轴上的截距为 0，
则设所求直线 l 的方程为 y=kx．
由题意知 ∣k−3∣k2+1=2，
解得 k=1 或 k=−7，
此时直线 l 的方程为 x−y=0 或 7x+y=0．
若直线 l 在两坐标轴上的截距不为 0，则设所求直线 l 的方程为 x+y−a=0a≠0．
由题意知 ∣1+3−a∣12+12=2，
解得 a=2 或 a=6，
此时直线 l 的方程为 x+y−2=0 或 x+y−6=0．
综上，所求直线 l 的方程为 x−y=0 或 7x+y=0 或 x+y−2=0 或 x+y−6=0，故有 4 条直线．
三、解答题（共3题）
17. 【答案】解法一：
因为点 A1,1 与 B−3,1 到 y 轴的距离不相等，
所以直线 l 的斜率存在，设为 k．
又直线 l 在 y 轴上的截距为 2，
所以直线 l 的方程为 y=kx+2，即 kx−y+2=0．
由点 A1,1 与 B−3,1 到直线 l 的距离相等，
得 ∣k−1+2∣k2+1=∣−3k−1+2∣k2+1，
解得 k=0 或 k=1．
所以直线 l 的方程是 y=2 或 x−y+2=0．
解法二：
当直线 l 过线段 AB 的中点时，直线 l 与点 A，B 的距离相等．
因为 AB 的中点是 −1,1，
又直线 l 过点 P0,2，
所以直线 l 的方程是 x−y+2=0；
当直线 l∥AB 时，直线 l 与点 A，B 的距离相等．
因为直线 AB 的斜率为 0，
所以直线 l 的斜率为 0，
所以直线 l 的方程为 y=2．
综上所述满足条件的直线 l 的方程是 x−y+2=0 或 y=2．
18. 【答案】
(1) 由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y−3=kx−4，即 kx−y−4k+3=0，
则点 O 到直线 l 的距离 d=∣−4k+3∣k2+1=4，
解得 k=−724．
故直线 l 的方程为 −724x−y−4×−724+3=0，
即 7x+24y−100=0．
(2) 因为直线 l 的方程为 kx−y−4k+3=0，
所以 A−3k+4,0，B0,−4k+3．
则 △OAB 的面积 S=12∣OA∣⋅∣OB∣=12×−3k+4×−4k+3=12−9k−16k+24．
由题意可知 k<0，则 −9k−16k≥2−9k×−16k=24（当且仅当 k=−34 时，等号成立）．
故 △OAB 面积的最小值为 12×24+24=24．
19. 【答案】
(1) 显然 2+λ 与 −1+λ 不可能同时为零，故对任意的实数 λ，该方程都表示直线．
因为方程可变形为 2x−y−6+λx−y−4=0，
所以 2x−y−6=0,x−y−4=0, 解得 x=2,y=−2,
故直线经过的定点为 M2,−2．
(2) 过 P 作直线的垂线段 PQ，由垂线段小于斜线段知 ∣PQ∣≤∣PM∣，当且仅当 Q 与 M 重合时，∣PQ∣=∣PM∣，此时对应的直线方程是 y+2=x−2，即 x−y−4=0．
但直线系方程唯独不能表示直线 x−y−4=0，
所以 M 与 Q 不可能重合，而 ∣PM∣=42，所以 ∣PQ∣<42，故所证成立．
人教A版（2019）选修一2.3.4两条平行直线间的距离
（共19题）
一、选择题（共11题）
1. 已知直线 l1:x+ay−1=0 与直线 l2:2x−y+1=0 平行，则 l1 与 l2 的距离为
A． 15 B． 55 C． 35 D． 355
2. 已知两点 A3,2，B−1,4 到直线 mx+y+3=0 的距离相等，则 m 的值为
A． −6 或 1 B． −12 或 1 C． −12 或 12 D． −6 或 12
3. P，Q 分别为直线 3x+4y−12=0 与 6x+8y+5=0 上任意一点，则 ∣PQ∣ 的最小值为
A． 95 B． 185 C． 2910 D． 295
4. 已知直线 3x+4y−3=0 与 6x+my+14=0 平行，则它们之间的距离是
A． 0 B． 2 C． 4 D． 13
5. 若两条平行直线 l1 : x−2y+m=0m>0 与 l2：2x+ny−6=0 之间的距离是 5，则 m+n=
A． 0 B． 1 C． −2 D． −1
6. 若直线 l 过点 2,3，倾斜角为 120∘，则点 1,−3 到直线 l 的距离为
A． 32 B． 3 C． 332 D． 532
7. 在平面直角坐标系中，记 d 为点 Pcosθ,sinθ 到直线 x−my−2=0 的距离．当 θ，m 变化时，d 的最大值为
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
8. 点 0,−1 到直线 y=kx+1 距离的最大值为
A． 1 B． 2 C． 3 D． 2
9. 若两条直线 l1：x+2y−6=0 与 l2：x+ay−7=0 平行，则 l1 与 l2 间的距离是
A． 5 B． 25 C． 52 D． 55
10. 对于任意实数 k，直线 k+2x−1+ky−2=0 与点 −2,−2 的距离为 d，则 d 的取值范围是
A． 0,42 B． 0,42 C． 0,255 D． 0,255
11. 已知点 A−1,0，B2,4，△ABC 的面积为 10，则动点 C 的轨迹方程是
A．4x−3y−16=0 或 4x−3y+16=0
B．4x−3y−16=0 或 4x−3y+24=0
C．4x−3y+16=0 或 4x−3y+24=0
D．4x−3y+16=0 或 4x−3y−24=0
二、填空题（共5题）
12. 点 0,0 到直线 x+y=2 的距离是 ．
13. 已知点 P1,1，直线 l:x+y+1=0，则点 P 到直线 l 的距离为 ．
14. 点 M2,3 到直线 l：ax+a−1y+3=0 距离等于 3，则 a= ．
15. 已知直线 l1:2x+4y+1=0 与直线 l2:2x+4y+3=0，点 P 是平面直角坐标系内任意一点，若点 P 到直线 l1 和 l2 的距离分别为 d1，d2，则 d1+d2 的最小值是 ．
16. 已知直线 l 在两坐标轴上的截距相等，且点 P1,3 到直线 l 的距离为 2，则直线 l 的条数为 ．
三、解答题（共3题）
17. 求过点 P0,2 且与点 A1,1，B−3,1 等距离的直线 l 的方程．
18. 已知直线 l 经过点 P4,3，且与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴正半轴交于点 B，O 为坐标原点．
(1) 若点 O 到直线 l 的距离为 4，求直线 l 的方程；
(2) 求 △OAB 面积的最小值．
19. 已知方程 2+λx−1+λy−23+2λ=0 与点 P−2,2．
(1) 证明：对任意的实数 λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2) 证明：该方程表示的直线与点 P 的距离 d 小于 42．
答案
一、选择题（共11题）
1. 【答案】D
【解析】由 l1∥l2 得，a=−12，因此 l1:2x−y−2=0，
所以 d=−2−122+−12=35=355．
2. 【答案】D
【解析】解法一：依题意得，直线 mx+y+3=0 过线段 AB 的中点，或与直线 AB 平行．
①线段 AB 的中点坐标为 1,3，且在直线 mx+y+3=0 上，
所以 m+3+3=0，解得 m=−6；
②由两直线平行知 4−2−1−3=−m，解得 m=12．
因此 m 的值为 −6 或 12．
解法二：由题意得 ∣3m+2+3∣m2+1=∣−m+4+3∣m2+1，
解得 m=−6 或 m=12．
3. 【答案】C
【解析】因直线 3x+4y−12=0 与 6x+8y+5=0 平行，
故 ∣PQ∣ 的最小值即为两平行直线间的距离，
即 ∣PQ∣min=52+125=2910．
4. 【答案】B
【解析】在 6x+my+14=0 上取点 −73,0，
则它们之间的距离 =−73×3+0−332+42=2．
5. 【答案】C
【解析】由 l1∥l2，得 12=−2n，解得 n=−4，
即直线 l2：x−2y−3=0，两直线之间的距离为 d=∣m−−3∣12+−22=5，解得 m=2 ( m=−8 舍去)，所以 m+n=−2．
6. 【答案】C
【解析】因为直线 l 过点 2,2，倾斜角为 120∘，
故直线的斜率为 tan120∘=−3，
故直线 l 的方程为 y−3=−3x−2，即 3x+y−33=0，
则点 1,−3 到直线 l 的距离为 3−3−333+1=332，
故选：C．
7. 【答案】C
【解析】由点到直线的距离公式得 d=∣cosθ−msinθ−2∣1+m2=∣1+m2cosθ+φ−2∣1+m2≤1+21+m2≤3，其中 tanφ=m．
8. 【答案】B
【解析】由 y=kx+1 可知直线过定点 P−1,0，设 A0,−1，当直线 y=kx+1 与直线 AP 垂直时，点 A 到直线 y=kx+1 的距离最大，即为 ∣AP∣=2．故选B．
9. 【答案】D
【解析】由两直线平行，得 a=2，则 l1，l2 间的距离 d=−6−−712+22=15=55．
10. 【答案】B
11. 【答案】B
【解析】由点 A−1,0，B2,4 得直线 AB 的方程为 y=43x+1，即 4x−3y+4=0，且 ∣AB∣=32+42=5．设点 C 到直线 AB 距离为 d，因为 △ABC 的面积为 10，所以 12∣AB∣⋅d=52d=10，所以 d=4，即动点 C 到定直线 AB 的距离为常数 4，所以动点 C 的轨迹为平行于直线 AB 且与直线 AB 距离为 4 的直线，设其方程为 4x−3y+c=0，则 d=∣4−c∣5=4，解得 c=24 或 −16，故动点 C 的轨迹方程是 4x−3y−16=0 或 4x−3y+24=0．
二、填空题（共5题）
12. 【答案】 2
13. 【答案】 322
14. 【答案】 37 或 −3
【解析】由题意可得：∣2a+3a−1+3∣a2+a−12=3⇒7a2+18a−9=0，解得 a=37 或 −3．
15. 【答案】 55
【解析】显然 l1 与 l2 平行，且 l1 与 l2 间的距离 d=∣3−1∣4+16=55，
于是 d1+d2≥d=55，
故 d1+d2 的最小值是 55．
16. 【答案】 4
【解析】由题意知，若直线 l 在两坐标轴上的截距为 0，
则设所求直线 l 的方程为 y=kx．
由题意知 ∣k−3∣k2+1=2，
解得 k=1 或 k=−7，
此时直线 l 的方程为 x−y=0 或 7x+y=0．
若直线 l 在两坐标轴上的截距不为 0，则设所求直线 l 的方程为 x+y−a=0a≠0．
由题意知 ∣1+3−a∣12+12=2，
解得 a=2 或 a=6，
此时直线 l 的方程为 x+y−2=0 或 x+y−6=0．
综上，所求直线 l 的方程为 x−y=0 或 7x+y=0 或 x+y−2=0 或 x+y−6=0，故有 4 条直线．
三、解答题（共3题）
17. 【答案】解法一：
因为点 A1,1 与 B−3,1 到 y 轴的距离不相等，
所以直线 l 的斜率存在，设为 k．
又直线 l 在 y 轴上的截距为 2，
所以直线 l 的方程为 y=kx+2，即 kx−y+2=0．
由点 A1,1 与 B−3,1 到直线 l 的距离相等，
得 ∣k−1+2∣k2+1=∣−3k−1+2∣k2+1，
解得 k=0 或 k=1．
所以直线 l 的方程是 y=2 或 x−y+2=0．
解法二：
当直线 l 过线段 AB 的中点时，直线 l 与点 A，B 的距离相等．
因为 AB 的中点是 −1,1，
又直线 l 过点 P0,2，
所以直线 l 的方程是 x−y+2=0；
当直线 l∥AB 时，直线 l 与点 A，B 的距离相等．
因为直线 AB 的斜率为 0，
所以直线 l 的斜率为 0，
所以直线 l 的方程为 y=2．
综上所述满足条件的直线 l 的方程是 x−y+2=0 或 y=2．
18. 【答案】
(1) 由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y−3=kx−4，即 kx−y−4k+3=0，
则点 O 到直线 l 的距离 d=∣−4k+3∣k2+1=4，
解得 k=−724．
故直线 l 的方程为 −724x−y−4×−724+3=0，
即 7x+24y−100=0．
(2) 因为直线 l 的方程为 kx−y−4k+3=0，
所以 A−3k+4,0，B0,−4k+3．
则 △OAB 的面积 S=12∣OA∣⋅∣OB∣=12×−3k+4×−4k+3=12−9k−16k+24．
由题意可知 k<0，则 −9k−16k≥2−9k×−16k=24（当且仅当 k=−34 时，等号成立）．
故 △OAB 面积的最小值为 12×24+24=24．
19. 【答案】
(1) 显然 2+λ 与 −1+λ 不可能同时为零，故对任意的实数 λ，该方程都表示直线．
因为方程可变形为 2x−y−6+λx−y−4=0，
所以 2x−y−6=0,x−y−4=0, 解得 x=2,y=−2,
故直线经过的定点为 M2,−2．
(2) 过 P 作直线的垂线段 PQ，由垂线段小于斜线段知 ∣PQ∣≤∣PM∣，当且仅当 Q 与 M 重合时，∣PQ∣=∣PM∣，此时对应的直线方程是 y+2=x−2，即 x−y−4=0．
但直线系方程唯独不能表示直线 x−y−4=0，
所以 M 与 Q 不可能重合，而 ∣PM∣=42，所以 ∣PQ∣<42，故所证成立．
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