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【同步练习】高中数学人教A版(2019)选修第一册--2.5.1直线与圆的位置关系 练习（含解析）
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这是一份【同步练习】高中数学人教A版(2019)选修第一册--2.5.1直线与圆的位置关系 练习（含解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教A版（2019）选修一2.5.1直线与圆的位置关系
（共20题）
一、选择题（共11题）
1. 方程 4−x2=kx−2+3 有两个不等实根，则 k 的取值范围为
A． 512,34 B． 512,34 C． −∞,512 D． 34,+∞
2. 若直线 ax+by=1 与圆 C：x2+y2=1 相交，则点 Pa,b 与圆 C 的位置关系是
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．以上都有可能
3. 直线 2x−y+3=0 与圆 C:x2+y−12=5 的位置关系是
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
4. 已知圆 x2+y2−2x−8y+13=0 的圆心到直线 ax+y−1=0 的距离为 1，则 a 的值为
A． 3 B． −34 C． 2 D． −43
5. 已知集合 A=x,yx2+y2=1，B=x,yy=x，则 A∩B 中元素的个数为
A． 3 B． 2 C． 1 D． 0
6. 已知直线 x+y=mm>0 与圆 x2+y2=1 相交于 P，Q 两点，且 ∠POQ=120∘（其中 O 为原点），那么 m 的值是
A． 33 B． 22 C． 2 D． 3
7. 已知直线 l：y=x+m 和圆 O：x2+y2=1，则“m=2”是“直线 l 与圆 O 相切”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8. 直线 ax−by=1 与圆 x2+y2−ax+by=0 的位置关系是
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
9. 如果直线 y=−33x+m 与曲线 y=1−x2 有两个不同的公共点，那么实数 m 的取值范围是
A． 1,233 B． 33,233
C． −33,233 D． −233,233
10. 直线 l:y=kx+1 与圆 C:x2+y−12=4 的位置关系是
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
11. 已知实数 x，y 满足 x2+y2=4y≥0，则 m=3x+y 的取值范围是
A． −23,4 B． −23,4
C． −4,4 D． −4,23
二、填空题（共5题）
12. 已知 ⊙O:x2+y2=1．若直线 y=kx+2 上总存在点 P，使得过点 P 的 ⊙O 的两条切线互相垂直，则实数 k 的取值范围是 ．
13. 若 mx≥4−x2+2m−3 恒成立，则实数 m 的取值范围为 ．
14. 已知圆 C 的圆心坐标是 0,m，若直线 2x−y+3=0 与圆 C 相切于点 A−2,−1，则圆 C 的标准方程为 ．
15. 赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家乡的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，该圆拱桥的水面跨度为 30 m，拱高 9 m，此拱桥所在圆的半径为 m；现有一船，宽 16 m，载货后宽度与船的宽度相同，若这条船能从桥下通过，则此船水面以上最高不能超过 m．
16. 若方程 1−x2=x+b 有两个实数根，则实数 b 的取值范围是 ．
三、解答题（共4题）
17. 已知圆 C1：x2+y2−2x−4y+m=0．
(1) 求实数 m 的取值范围．
(2) 若直线 l：x+2y−4=0 与圆 C 相交于 M，N 两点，且 OM⊥ON，求 m 的值．
18. 已知圆 C：x−62+y2=20，直线 l：y=kx 与圆 C 交于不同的两点 A，B．
(1) 求实数 k 的取值范围；
(2) 若 OB=2OA，求直线 l 的方程．
19. 已知圆 C：x−12+y−22=25，直线 l：2m+1x+m+1y−7m−4=0．
(1) 证明：对任意实数 m，直线 l 恒过定点且与圆 C 交于两个不同点；
(2) 求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时的方程．
20. 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半．
答案
一、选择题（共11题）
1. 【答案】B
2. 【答案】C
【解析】直线与圆相交知圆心到直线距离 d=1a2+b21，
则 Pa,b 到圆心距离 l=a2+b2>1=R．
3. 【答案】A
【解析】由题意，可得圆心 0,1 到直线 2x−y+3=0 的距离 d=∣0−1+3∣22+−12=255<5，
所以直线与圆相交．
4. 【答案】D
【解析】圆 x2+y2−2x−8y+13=0 的圆心坐标为：1,4，
故圆心到直线 ax+y−1=0 的距离 d=a+4−1a2+1=1，
解得：a=−43．
5. 【答案】B
6. 【答案】B
【解析】 O 为圆 x2+y2=1 的圆心，所以易知 ∠OPQ=30∘，
则圆心 O 到直线 x+y=mm>0 的距离等于 12，
根据点到直线距离公式有 −m2=12，
所以 m=22．
7. 【答案】A
【解析】因为圆 O：x2+y2=1，
所以圆心 O0,0，半径 r=1，
因为当 m=2 时，圆心 O 到直线 l 的距离 d=22=1，
所以直线 l 与圆 O 相切，故“m=2”是“直线 l 与圆 O 相切”的充分条件；
因为当直线 l 与圆 O 相切时，圆心 O 到直线 l 的距离 d=∣m∣2=1，解得 m=±2，
所以“m=2”不是“直线 l 与圆 O 相切”的必要条件．
故“m=2”是“直线 l 与圆 O 相切”的充分不必要条件．
8. 【答案】D
【解析】由圆的一般方程可得圆的圆心为 a2,−b2，半径 r=a2+b22，a2+b2=4r2，
圆心到直线的距离得：d=a⋅a2−b⋅−b2−1a2+−b2=a2+b22−1a2+b2=r−12r，
当 r=12 时，d=r 相切；
当 0
9. 【答案】B
【解析】由 y=1−x2 可得 y≥0,x2+y2=1,
则该曲线是以原点为圆心，以 1 为半径的 x 轴上方的半圆，如图，
当直线与圆相切于点 C 时，满足 ∣m∣1+−332=1，解得 m=233，
当直线与半圆相交于 A，B 两点时，把 A1,0 代入直线方程可得 m=33，
由数形结合可得直线与曲线有两个不同的交点时，m 的取值范围为 33,233，
故选B．
10. 【答案】B
【解析】圆 C:x2+y−12=4 的圆心，C0,1，半径 r=2，
所以圆心 C 到直线 l:kx−y+1=0 的距离 d=−1+11+k2=0<2，
所以直线与圆一定相交．
11. 【答案】B
【解析】由于 y≥0，所以 x2+y2=4y≥0 为上半圆．
3x+y−m=0 是直线（如图），且斜率为 −3，
在 y 轴上截距为 m，又当直线过点 −2,0 时，m=−23，
设圆心 O 到直线 3x+y−m=0 的距离为 d，
所以 m≥−23,d≤r, 即 m≥−23,−m2≤2,
解得 m∈−23,4．
二、填空题（共5题）
12. 【答案】 (−∞,−1]∪[1,+∞)
【解析】因为 ⊙O 的圆心为 0,0，半径 r=1，
设两个切点分别为 A，B
则由题意可得四边形 PAOB 为正方形，
故有 ∣PO∣=2r=2，
所以圆心 O 到直线 y=kx+2 的距离 d≤2，
即 ∣2∣1+k2≤2，
即 1+k2≥2，
解得 k≥1 或 k≤−1．
13. 【答案】 m≤512
【解析】不等式 mx≥4−x2+2m−3 恒成立，
等价于 mx−2+3≥4−x2 恒成立，
令 fx=mx−2+3，gx=4−x2，
则 fx 表示斜率为 m，过点 P2,3 的直线：gx 表示以 0,0 为圆心，以 2 为半径的半圆；
画出两函数图象如下：
根据几何意义，要满足 mx≥4−x2+2m−3 恒成立，必须使 m 不大于过点 P2,3 且与半圆相切的直线斜率，
设过点 P2,3 且与半圆相切的直线斜率为 k ,
则切线方程为：kx−y−2k+3=0 ,
所以圆心到切线的距离为 d=∣−2k+3∣k2+1=2，解得：k=512．
所以 m≤512．
14. 【答案】 x2+(y+2)2=5
15. 【答案】 17 ； 7
【解析】如图，
圆拱桥 AMB 所在圆的圆心为 O，水面跨度 AB=30 m，拱高 CM=9 m，
设圆半径为 R m，则 152+R−92=R2，解得 R=17．
船宽 EF=16 m，若这条船能从桥下通过，则此船水面以上最高高度为 NF，
OC=17−9=8 m，则 8+NF2+82=172，解得 NF=7．
16. 【答案】 [1,2)
【解析】依题意知，直线 l:y=x+b 与曲线 C:y=1−x2 有两个公共点，如图所示，
曲线 y=1−x2 是一个以原点为圆心，1 为半径的半圆，
y=x+b 表示的图形是一条斜率为 1 的直线，
当直线 l 与直线 AB 重合时，b=1；
当直线 l 与半圆相切时，b=2，
所以 b 的取值范围是 1,2．
三、解答题（共4题）
17. 【答案】
(1) 由题设可知，
由 x2+y2−2x−4y+m=0 表示圆，
则利用圆的判定知：−22+−42−4m>0，
解得 m<5．
故实数 m 的取值范围为 −∞,5．
(2) 由题知：m<5，
则联立方程 x+2y−4=0,x2+y2−2x−4y+m=0, 消去 x 得，5y2−16y+m+8=0．
易知 Δ=−162−20m+8>0，即 m<245．
则设 Mx1,y1，Nx2,y2，
则由根与系数的关系知：y1+y2=165，y1y2=m+85，
x1x2=4−2y14−2y2=16−8y1+y2+4y1y2=16−8×165+4m+325=4m−165.
由 OM⊥ON，即 OM⊥ON，即 x1x2+y1y2=0，
则 m+85+4m−165=0，解得 m=85<245，
故 m=85．
18. 【答案】
(1) 由题意可得，圆心 C6,0 到直线 l：y=kx 的距离小于半径 20，
即 ∣6k−0∣k2+1<20，求得 −52
化简可得 1+k2x2−12x+16=0，
所以 x1+x2=121+k2，x1⋅x2=161+k2．
若 OB=2OA，则 x2=2x1，
则 x1=41+k2，x2=81+k2，
所以则 x1⋅x2=41+k2⋅81+k2=161+k2，
所以 k=±1，
故直线 l：y=±x．
19. 【答案】
(1) 直线 l：2m+1x+m+1y−7m−4=0 可化为 m2x+y−7+x+y−4=0，
由 2x+y−7=0,x+y−4=0, 解得 x=3,y=1,
所以直线 l 恒过点 P3,1，而点 P3,1 在圆 C 内，
所以对任意实数 m，直线 l 恒过点 P3,1 且与圆 C 交于两个不同点．
(2) 由（1）得，直线 l 恒过圆 C 内的定点 P3,1，
设过点 P 的弦长为 a，过圆心 C 向直线 l 作垂线，垂足为弦的中点 H，
则 a22+∣CH∣2=25，弦长 a 最短，
则 CH 最大，而 ∣CH∣≤∣CP∣，
当且仅当 H 与 P 重合时取等号，
此时弦所在的直线与 CP 垂直，即弦所在直线的斜率为 −1KCP=−3−11−2=2，
又直线过点 P3,1，
所以，当直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时，弦所在的直线方程为 2x−y−5=0．
20. 【答案】如图，分别以四边形 ABCD 互相垂直的对角线 CA，DB 所在直线为 x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系．设 Aa,0，B0,b，Cc,0，D0,d．
过四边形 ABCD 外接圆的圆心 Oʹ 分别作 AC，BD，AD 的垂线，垂足分别为 M，N，E，则 M，N，E 分别是线段 AC，BD，AD 的中点．由线段的中点坐标公式，
得 xOʹ=xM=a+c2，yOʹ=yN=b+d2，xE=a2，yE=d2．
所以 ∣OʹE∣=a2−a+c22+d2−b+d22=12c2+b2．
又 ∣BC∣=c2+b2，所以 ∣OʹE∣=12∣BC∣．
人教A版（2019）选修一2.5.1直线与圆的位置关系
（共20题）
一、选择题（共11题）
1. 方程 4−x2=kx−2+3 有两个不等实根，则 k 的取值范围为
A． 512,34 B． 512,34 C． −∞,512 D． 34,+∞
2. 若直线 ax+by=1 与圆 C：x2+y2=1 相交，则点 Pa,b 与圆 C 的位置关系是
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．以上都有可能
3. 直线 2x−y+3=0 与圆 C:x2+y−12=5 的位置关系是
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
4. 已知圆 x2+y2−2x−8y+13=0 的圆心到直线 ax+y−1=0 的距离为 1，则 a 的值为
A． 3 B． −34 C． 2 D． −43
5. 已知集合 A=x,yx2+y2=1，B=x,yy=x，则 A∩B 中元素的个数为
A． 3 B． 2 C． 1 D． 0
6. 已知直线 x+y=mm>0 与圆 x2+y2=1 相交于 P，Q 两点，且 ∠POQ=120∘（其中 O 为原点），那么 m 的值是
A． 33 B． 22 C． 2 D． 3
7. 已知直线 l：y=x+m 和圆 O：x2+y2=1，则“m=2”是“直线 l 与圆 O 相切”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8. 直线 ax−by=1 与圆 x2+y2−ax+by=0 的位置关系是
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
9. 如果直线 y=−33x+m 与曲线 y=1−x2 有两个不同的公共点，那么实数 m 的取值范围是
A． 1,233 B． 33,233
C． −33,233 D． −233,233
10. 直线 l:y=kx+1 与圆 C:x2+y−12=4 的位置关系是
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
11. 已知实数 x，y 满足 x2+y2=4y≥0，则 m=3x+y 的取值范围是
A． −23,4 B． −23,4
C． −4,4 D． −4,23
二、填空题（共5题）
12. 已知 ⊙O:x2+y2=1．若直线 y=kx+2 上总存在点 P，使得过点 P 的 ⊙O 的两条切线互相垂直，则实数 k 的取值范围是 ．
13. 若 mx≥4−x2+2m−3 恒成立，则实数 m 的取值范围为 ．
14. 已知圆 C 的圆心坐标是 0,m，若直线 2x−y+3=0 与圆 C 相切于点 A−2,−1，则圆 C 的标准方程为 ．
15. 赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家乡的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，该圆拱桥的水面跨度为 30 m，拱高 9 m，此拱桥所在圆的半径为 m；现有一船，宽 16 m，载货后宽度与船的宽度相同，若这条船能从桥下通过，则此船水面以上最高不能超过 m．
16. 若方程 1−x2=x+b 有两个实数根，则实数 b 的取值范围是 ．
三、解答题（共4题）
17. 已知圆 C1：x2+y2−2x−4y+m=0．
(1) 求实数 m 的取值范围．
(2) 若直线 l：x+2y−4=0 与圆 C 相交于 M，N 两点，且 OM⊥ON，求 m 的值．
18. 已知圆 C：x−62+y2=20，直线 l：y=kx 与圆 C 交于不同的两点 A，B．
(1) 求实数 k 的取值范围；
(2) 若 OB=2OA，求直线 l 的方程．
19. 已知圆 C：x−12+y−22=25，直线 l：2m+1x+m+1y−7m−4=0．
(1) 证明：对任意实数 m，直线 l 恒过定点且与圆 C 交于两个不同点；
(2) 求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时的方程．
20. 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半．
答案
一、选择题（共11题）
1. 【答案】B
2. 【答案】C
【解析】直线与圆相交知圆心到直线距离 d=1a2+b2
则 Pa,b 到圆心距离 l=a2+b2>1=R．
3. 【答案】A
【解析】由题意，可得圆心 0,1 到直线 2x−y+3=0 的距离 d=∣0−1+3∣22+−12=255<5，
所以直线与圆相交．
4. 【答案】D
【解析】圆 x2+y2−2x−8y+13=0 的圆心坐标为：1,4，
故圆心到直线 ax+y−1=0 的距离 d=a+4−1a2+1=1，
解得：a=−43．
5. 【答案】B
6. 【答案】B
【解析】 O 为圆 x2+y2=1 的圆心，所以易知 ∠OPQ=30∘，
则圆心 O 到直线 x+y=mm>0 的距离等于 12，
根据点到直线距离公式有 −m2=12，
所以 m=22．
7. 【答案】A
【解析】因为圆 O：x2+y2=1，
所以圆心 O0,0，半径 r=1，
因为当 m=2 时，圆心 O 到直线 l 的距离 d=22=1，
所以直线 l 与圆 O 相切，故“m=2”是“直线 l 与圆 O 相切”的充分条件；
因为当直线 l 与圆 O 相切时，圆心 O 到直线 l 的距离 d=∣m∣2=1，解得 m=±2，
所以“m=2”不是“直线 l 与圆 O 相切”的必要条件．
故“m=2”是“直线 l 与圆 O 相切”的充分不必要条件．
8. 【答案】D
【解析】由圆的一般方程可得圆的圆心为 a2,−b2，半径 r=a2+b22，a2+b2=4r2，
圆心到直线的距离得：d=a⋅a2−b⋅−b2−1a2+−b2=a2+b22−1a2+b2=r−12r，
当 r=12 时，d=r 相切；
当 0
9. 【答案】B
【解析】由 y=1−x2 可得 y≥0,x2+y2=1,
则该曲线是以原点为圆心，以 1 为半径的 x 轴上方的半圆，如图，
当直线与圆相切于点 C 时，满足 ∣m∣1+−332=1，解得 m=233，
当直线与半圆相交于 A，B 两点时，把 A1,0 代入直线方程可得 m=33，
由数形结合可得直线与曲线有两个不同的交点时，m 的取值范围为 33,233，
故选B．
10. 【答案】B
【解析】圆 C:x2+y−12=4 的圆心，C0,1，半径 r=2，
所以圆心 C 到直线 l:kx−y+1=0 的距离 d=−1+11+k2=0<2，
所以直线与圆一定相交．
11. 【答案】B
【解析】由于 y≥0，所以 x2+y2=4y≥0 为上半圆．
3x+y−m=0 是直线（如图），且斜率为 −3，
在 y 轴上截距为 m，又当直线过点 −2,0 时，m=−23，
设圆心 O 到直线 3x+y−m=0 的距离为 d，
所以 m≥−23,d≤r, 即 m≥−23,−m2≤2,
解得 m∈−23,4．
二、填空题（共5题）
12. 【答案】 (−∞,−1]∪[1,+∞)
【解析】因为 ⊙O 的圆心为 0,0，半径 r=1，
设两个切点分别为 A，B
则由题意可得四边形 PAOB 为正方形，
故有 ∣PO∣=2r=2，
所以圆心 O 到直线 y=kx+2 的距离 d≤2，
即 ∣2∣1+k2≤2，
即 1+k2≥2，
解得 k≥1 或 k≤−1．
13. 【答案】 m≤512
【解析】不等式 mx≥4−x2+2m−3 恒成立，
等价于 mx−2+3≥4−x2 恒成立，
令 fx=mx−2+3，gx=4−x2，
则 fx 表示斜率为 m，过点 P2,3 的直线：gx 表示以 0,0 为圆心，以 2 为半径的半圆；
画出两函数图象如下：
根据几何意义，要满足 mx≥4−x2+2m−3 恒成立，必须使 m 不大于过点 P2,3 且与半圆相切的直线斜率，
设过点 P2,3 且与半圆相切的直线斜率为 k ,
则切线方程为：kx−y−2k+3=0 ,
所以圆心到切线的距离为 d=∣−2k+3∣k2+1=2，解得：k=512．
所以 m≤512．
14. 【答案】 x2+(y+2)2=5
15. 【答案】 17 ； 7
【解析】如图，
圆拱桥 AMB 所在圆的圆心为 O，水面跨度 AB=30 m，拱高 CM=9 m，
设圆半径为 R m，则 152+R−92=R2，解得 R=17．
船宽 EF=16 m，若这条船能从桥下通过，则此船水面以上最高高度为 NF，
OC=17−9=8 m，则 8+NF2+82=172，解得 NF=7．
16. 【答案】 [1,2)
【解析】依题意知，直线 l:y=x+b 与曲线 C:y=1−x2 有两个公共点，如图所示，
曲线 y=1−x2 是一个以原点为圆心，1 为半径的半圆，
y=x+b 表示的图形是一条斜率为 1 的直线，
当直线 l 与直线 AB 重合时，b=1；
当直线 l 与半圆相切时，b=2，
所以 b 的取值范围是 1,2．
三、解答题（共4题）
17. 【答案】
(1) 由题设可知，
由 x2+y2−2x−4y+m=0 表示圆，
则利用圆的判定知：−22+−42−4m>0，
解得 m<5．
故实数 m 的取值范围为 −∞,5．
(2) 由题知：m<5，
则联立方程 x+2y−4=0,x2+y2−2x−4y+m=0, 消去 x 得，5y2−16y+m+8=0．
易知 Δ=−162−20m+8>0，即 m<245．
则设 Mx1,y1，Nx2,y2，
则由根与系数的关系知：y1+y2=165，y1y2=m+85，
x1x2=4−2y14−2y2=16−8y1+y2+4y1y2=16−8×165+4m+325=4m−165.
由 OM⊥ON，即 OM⊥ON，即 x1x2+y1y2=0，
则 m+85+4m−165=0，解得 m=85<245，
故 m=85．
18. 【答案】
(1) 由题意可得，圆心 C6,0 到直线 l：y=kx 的距离小于半径 20，
即 ∣6k−0∣k2+1<20，求得 −52
化简可得 1+k2x2−12x+16=0，
所以 x1+x2=121+k2，x1⋅x2=161+k2．
若 OB=2OA，则 x2=2x1，
则 x1=41+k2，x2=81+k2，
所以则 x1⋅x2=41+k2⋅81+k2=161+k2，
所以 k=±1，
故直线 l：y=±x．
19. 【答案】
(1) 直线 l：2m+1x+m+1y−7m−4=0 可化为 m2x+y−7+x+y−4=0，
由 2x+y−7=0,x+y−4=0, 解得 x=3,y=1,
所以直线 l 恒过点 P3,1，而点 P3,1 在圆 C 内，
所以对任意实数 m，直线 l 恒过点 P3,1 且与圆 C 交于两个不同点．
(2) 由（1）得，直线 l 恒过圆 C 内的定点 P3,1，
设过点 P 的弦长为 a，过圆心 C 向直线 l 作垂线，垂足为弦的中点 H，
则 a22+∣CH∣2=25，弦长 a 最短，
则 CH 最大，而 ∣CH∣≤∣CP∣，
当且仅当 H 与 P 重合时取等号，
此时弦所在的直线与 CP 垂直，即弦所在直线的斜率为 −1KCP=−3−11−2=2，
又直线过点 P3,1，
所以，当直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时，弦所在的直线方程为 2x−y−5=0．
20. 【答案】如图，分别以四边形 ABCD 互相垂直的对角线 CA，DB 所在直线为 x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系．设 Aa,0，B0,b，Cc,0，D0,d．
过四边形 ABCD 外接圆的圆心 Oʹ 分别作 AC，BD，AD 的垂线，垂足分别为 M，N，E，则 M，N，E 分别是线段 AC，BD，AD 的中点．由线段的中点坐标公式，
得 xOʹ=xM=a+c2，yOʹ=yN=b+d2，xE=a2，yE=d2．
所以 ∣OʹE∣=a2−a+c22+d2−b+d22=12c2+b2．
又 ∣BC∣=c2+b2，所以 ∣OʹE∣=12∣BC∣．
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