高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆优秀课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆优秀课后测评，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教A版（2019）选修一3.1.1椭圆及其标准方程
（共19题）

一、选择题（共11题）
1. 已知椭圆 x2k+2+y27=1 的一个焦点坐标为 0,2，则 k 的值为   
A． 1 B． 3 C． 9 D． 81

2. 若方程 x2k−4+y210−k=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是   
A． 4,+∞ B． 4,7 C． 4,10 D． 7,10

3. 设 P，Q 分别为圆 x2+y−62=2 和椭圆 x210+y2=1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是   
A． 52 B． 46+2 C． 7+2 D． 62

4. 椭圆 x216+y27=1 的左右焦点分别为 F1，F2，一直线过 F1 交椭圆于 A，B 两点，则 △ABF2 的周长为   
A． 32 B． 16 C． 8 D． 4

5. 已知椭圆 x225+y2m2=1（m>0）的左焦点为 F−3,0，则 m=   
A． 9 B． 4 C． 3 D． 2

6. 椭圆 x29+y216=1 的一个焦点坐标为   
A． 5,0 B． 0,5 C． 7,0 D． 0,7

7. 若椭圆 x23n+y2=1 的焦距为 42，则实数 n 等于   
A． 73 B． 1 C． 6 D． 3

8. 已知 F 是椭圆 C:x29+y25=1 的左焦点，P 为 C 上一点，A1,43，则 ∣PA∣+∣PF∣ 的最小值为   
A． 103 B． 113 C． 4 D． 133

9. 设斜率为 22 的直线 l 与椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 交于不同的两点，且这两个交点在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为   
A．33 B．12 C．22 D．13

10. 对于椭圆 Ca,b：x2a2+y2b2=1a,b>0,a≠b，若点 x0,y0 满足 x02a2+y02b2<1，则称该点在椭圆 Ca,b 内．在平面直角坐标系中，若点 A 在过点 2,1 的任意椭圆 Ca,b 内或椭圆 Ca,b 上，则满足条件的点 A 构成的图形为   
A．三角形及其内部 B．矩形及其内部
C．圆及其内部 D．椭圆及其内部

11. 已知椭圆 C 的焦点为 F1−1,0，F21,0，过点 F2 的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点．若 AF2=2F2B，AB=BF1，则 C 的方程为   
A． x22+y2=1 B． x23+y22=1 C． x24+y23=1 D． x25+y24=1

二、填空题（共5题）
12. 若 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 ．

13. 已知三角形 ABC 的周长为 12，顶点 A0,−2，B0,2 则顶点 C 的轨迹方程是 ．

14. 设椭圆 C：x225+y29=1 的左、右焦点分别为 F1，F2，A 是 C 上任意一点，则 △AF1F2 的周长为 ．

15. 已知椭圆的中心在原点，一个焦点为 0,−23 且 a=2b，则椭圆的标准方程为 ．

16. 设 F1，F2 为定点，F1F2=6，动点 M 满足 MF1+MF2=8，则动点 M 的轨迹是 ．

三、解答题（共3题）
17. 如果点 Px,y 在运动过程中，总满足关系式 x2+y+32+x2+y−32=10，那么点 P 的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程．

18. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左顶点为 A−2,0，离心率为 32，过点 A 且斜率为 kk≠0 的直线 l 与椭圆交于点 D，与 y 轴交于点 E．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设点 P 为 AD 的中点，
（ⅰ）若 x 轴上存在点 Q，对于任意的 kk≠0，都有 OP⊥EQ（O 为原点），求出点 Q 的坐标；
（ⅱ）射线 PO（O 为原点）与椭圆 C 交于点 M，满足 1+4k2tan∠AMD=6MA⋅MD，求正数 k 的值．

19. 已知椭圆 Γ：x29+y2b2=1b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为 Γ 上的动点．
(1) 若 b=5，设点 P 的横坐标为 x0，试用解析式将 ∣PF1∣ 表示成 x0 的函数；
(2) 过点 P 的直线 l：y=kx+2k≠0 与 Γ 的另一个交点为 Q，Pʹ 为 P 关于 y 轴的对称点，直线 PʹQ 与 y 轴交于点 N0,n，求 n 关于 b 的表达式；
(3) 试根据 b 的不同取值，讨论满足 △F1F2P 为等腰锐角三角形的点 P 的个数．
答案
一、选择题（共11题）
1. 【答案】A
【解析】由椭圆 x2k+2+y27=1 的一个焦点坐标为 0,2，得 2=7−k+2，解得 k=1．
故选 A．

2. 【答案】D
【解析】由题意可知 k−4>0,10−k>0,k−4>10−k,
解得 7
3. 【答案】D
【解析】由题可得椭圆与圆相离，设椭圆上的一点 Qx,y，
则 x2=10−10y2−1≤y≤1，
因为圆 x2+y−62=2 的圆心为 0,6，半径为 2，
所以点 Q 与圆心的距离为 x2+y−62=10−10y2+y−62=−9y+232+50≤52，
当且仅当 y=−23 时等号成立，
所以 P，Q 两点间的最大距离是 52+2=62．

4. 【答案】B
【解析】由椭圆方程为 x216+y27=1，可知 a2=16⇒a=4，
所以 △ABF2 的周长为 AF1+AF2+BF1+BF2=2a+2a=4a=4×4=16．

5. 【答案】B
【解析】依题意，椭圆焦点在 x 轴上，且 c=3，
因此 25−m2=9，
又 m>0，
所以 m=4．

6. 【答案】D
【解析】易知椭圆 x29+y216=1 的焦点在 y 轴上．
由椭圆的定义知 a=4，b=3，
所以 c=7，
所以椭圆 x29+y216=1 的焦点坐标是 0,±7．
故选D．

7. 【答案】D
【解析】依题意，2c=42，所以 c=22，因此当椭圆焦点在 x 轴上时，有 3n−1=222，解得 n=3；
当椭圆焦点在 y 轴上时，有 1−3n=222，解得 n=−73，不合题意，舍去．
故实数 n 等于 3．

8. 【答案】D
【解析】由椭圆的方程可知，a=3，c=a2−b2=2．
如图所示，
设 F2 是椭圆的右焦点．
由椭圆的定义可知，∣PF∣+PF2=2a=6，
所以 ∣PA∣+∣PF∣=∣PA∣+6−PF2=6−PF2−∣PA∣，
所以求 ∣PA∣+∣PF∣ 的最小值，也就是求 PF2−∣PA∣ 的最大值．
由图易知，当 P，A，F2 三点共线时，PF2−∣PA∣ 取得最大值，此时 PF2−∣PA∣max=AF2=53，
所以 ∣PA∣+∣PF∣ 的最大值为 6−53=133．


9. 【答案】C
【解析】由于直线与椭圆的两交点 A，B 在 x 轴上的射影分别为左、右焦点 F1，F2，故 ∣AF1∣=∣BF2∣=b2a，设直线与 x 轴交于 C 点，又直线倾斜角 θ 的正切值为 22，结合图形易得 tanθ=22=∣AF1∣∣CF1∣=∣BF2∣∣CF2∣，故 ∣CF1∣+∣CF2∣=22b2a=∣F1F2∣=2c，整理并化简得 2b2=2a2−c2=ac，即 21−e2=e，解得 e=22 .

10. 【答案】B
【解析】因为椭圆 Ca,b 过点 2,1，
所以这个椭圆也过 2,−1，−2,1，−2,−1 这四个点．
令点 E，B，C，D 分别为 2,1，−2,1，−2,−1，2,−1．
当点 A 在矩形及其内部满足条件，在矩形外部不满足任意椭圆都符合条件．故答案选B．

11. 【答案】B
【解析】因为 AF2=2BF2，所以 AB=3BF2，
又 AB=BF1，所以 BF1=3BF2，
又 BF1+BF2=2a，所以 BF2=a2，
所以 AF2=a，BF1=32a，
因为 AF1+AF2=2a，所以 AF1=a，
所以 AF1=AF2，所以 A 在 y 轴上．
在 Rt△AF2O 中，cos∠AF2O=1a，
在 △BF1F2 中，由余弦定理可得 cos∠BF2F1=4+a22−32a22×2×a2，
根据 cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0，可得 1a+4−2a22a=0，
解得 a2=3，所以 a=3，b2=a2−c2=3−1=2．
所以椭圆 C 的方程为：x23+y22=1．


二、填空题（共5题）
12. 【答案】 (0,1)
【解析】将椭圆的方程化为标准形式得 y22k+x22=1，因为 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，所以 2k>2，解得 0
13. 【答案】 x212+y216=1(x≠0)

14. 【答案】 18
【解析】由椭圆 C：x225+y29=1 知 a=5，b=3，
所以 c=4，则 △AF1F2 的周长为 PF1+PF2=2a+2c=10+8=18．

15. 【答案】 y216+x24=1
【解析】因为 c=23，a2=4b2，
所以 a2−b2=3b2=c2=12，
b2=4，a2=16，
又焦点在 y 轴上，
所以标准方程为 y216+x24=1．

16. 【答案】椭圆

三、解答题（共3题）
17. 【答案】因为点 P 的轨迹方程表示动点 Px,y 到定点 0,−3，0,3 的距离之和为 10，故点 P 的轨迹为椭圆，其标准方程为 y225+x216=1．


18. 【答案】
(1) 由已知得 a=2，
又因为 e=ca=32，所以 b=1，
椭圆方程为：x24+y2=1．

(2) （ⅰ）假设 x 轴上存在着点 Qm,0 使得 OP⊥EQ，
设 AD 所在的直线方程为：y=kx+2，点 Dx1,y1，
由 x2+4y2=4,y=kx+2,解得4k2+1x2+16k2x+16k2−4=0，
Δ=16>0，
−2+x1=−16k24k2+1xp=−2+x12=−8k21+4k2，
所以 P−8k21+4k2,2k1+4k2，E0,2k，
所以 kEQ=2k−m，kOP=−14k，
因为 OP⊥EQ，所以 kEQ⋅kOP=−1，
解得 m=−12，所以 x 轴上存在着点 Q(−12,0) 使得 OP⊥EQ 成立．
（ⅱ）设 PO 所在直线方程为 y=−14kx，则
y=−14kx,x2+4y2=4⇒x2=16k24k2+1，
所以 M4k1+4k2,−11+4k2，
M 到直线 l 的距离：d=1+4k2+2kk2+1，∣AD∣=41+k24k2+1，
因为 1+4k2tan∠AMD=6MA⋅MD，
所以 1+4k2sin∠AMDcos∠AMD=6∣MA∣∣MB∣cos∠AMD，
即：所以 121+4k2sin∠AMD∣MA∣∣MB∣=3，所以 S△AMD=31+4k2，
所以 S△AMD=121+4k2+2kk2+1⋅41+k24k2+1=31+4k2，
解得 1+4k2=4k，因为 k>0，所以 k=36．


19. 【答案】
(1) 由题设，F1 的坐标为 −2,0，设点 P 的坐标为 x0,y0，
于是 PF1=x0+22+y02，
将 y02=5−5x029 代入上式，并整理得 PF1=23x0+3−3≤x0≤3．
(2) 设点 P，Q 的坐标为 x1,y1，x2,y2，
那么它们为方程组 x29+y2b2=1,y=kx+2 的实数解．
消 y，并整理，得 b2+9k2x2+36kx+36−9b2=0，
于是 x1+x2=−36kb2+9k2，x1x2=36−9b2b2+9k2，
由题意，Pʹ 的坐标为 −x1,y1，
因为 Pʹ，Q，N 三点共线，
所以 kPʹN=kQN，即 n−y1x1=n−y2−x2，
将 y1=kx1+2 和 y2=kx2+2 代入并整理，得 2kx1x2+2−nx1+x2=0，即 2k36−9b2+2−n−36kb2+9k2=0，
得 2k36−9b2+2−n−36k=0，于是 b2=2n．
(3) 设 F1F2=2c，于是 F1−c,0，F2c,0，且 c=9−b2．
当 PF1=PF2 或 F1P=F1F2 或 F2P=F2F1 时，△PF1F2 为等腰三角形．
根据椭圆的对称性，只需讨论 PF1=PF2 和 F1P=F1F2 两种情况．
此时，当等腰 △F1F2P 的顶角为锐角时，即为等腰锐角三角形．
以下分情况讨论：
①若 PF1=PF2 且 ∠F1PF2 为锐角，则有 c ②若 F1P=F1F2 且 ∠PF1F2 为锐角（∠PF1F2≠π3），则需 F1F2 大于 PF1 的最小值，
且 PF2<2F1F2（PF2≠F1F2）．
因为 PF1 的最小值为 3−c，PF2=6−2c，
于是由 2c>3−c 及 6−2c<2×2c，结合 b2=9−c2，解得 0 综上，当 b∈0,322 时，满足 △PF1F2 为等腰锐角三角形的点 P 的个数为 4 个；
当 b∈322,332∪332,322−2 时，
满足 △PF1F2 为等腰锐角三角形的点 P 的个数为 6 个；
当 b∈332∪322−2,3 时，满足 △PF1F2 为等腰锐角三角形的点 P 的个数为 2 个．