宁夏固原市第五中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

这是一份宁夏固原市第五中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
固原五中高二年级第三次月考数学（理）试卷
命题人：黄宇 审题人：张红平
一、单选题
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合集合的交集运算求解.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
2. 复数在复平面内对应点为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的几何意义表示出，再根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.
【详解】复数在复平面内对应的点为，则，
所以.
故选：C．
3. 甲、乙、丙三位同学讨论一道数学题．甲说：“我做错了．”乙说：“甲做对了．”丙说：“我做错了．”老师看过他们的答案并听了他们的上述对话后说：“你们有一个人做对了，有一个人说错了．”则根据以上信息可以推断出（ ）
A. 甲做对了 B. 乙做对了 C. 丙做对了 D. 无法确定谁做对了
【答案】C
【解析】
【分析】就做题和说话的正误列出表格后可得正确的选项.
【详解】列表即得．
同学
做题
说话
做题
说话
做题
说话
甲
√
×
×
√
×
√
乙
×
√
√
×
×
×
丙
×
√
×
√
√
×
故选：C.
4. 已知随机变量X服从两点分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，则，根据题意即可求解.
【详解】令，则，
因为，所以，解得.
故选：C
5. 函数在处的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导，结合导数的几何意义分析运算.
【详解】由题意可得：，
则，可得，
所以函数在处的切线的斜率，倾斜角为.
故选：B.
6. 今年3月5日“学雷锋”日，甲、乙、丙、丁、戊等5名学生去4个敬老院帮助老人，若每名学生只去1个敬老院，且每个敬老院至少有1名学生去，则甲、乙到同一敬老院的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分组后分配，根据分步乘法计数原理，即可求出总的分配方案数，进而求出甲、乙到同一敬老院的分配数，根据古典概型即可求出答案.
【详解】将5名学生分为4组，每组的人数分别为2，1，1，1，再将这4组学生分配到4个敬老院，由分步乘法计数原理可知，不同的分配方案种数为．
其中甲、乙到同一敬老院的分配方案有种，
所以，甲、乙到同一敬老院的概率为．
故选：A.
7. 的展开式中，的系数是（ ）
A. 40 B. C. 80 D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出通项公式，利用求出，从而得到系数.
【详解】展开式的通项为，
令，得．所以的系数是．
故选：C.
8. 已知随机变量的分布列如表，则的均值等于（ ）

0
1
2
3






A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用分布列中各取值的概率之和为1，得到m的值，运用均值公式计算均值.
【详解】由，得，则.
故选：C
9. 随机变量，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正态分布曲线的对称性即可判定.
【详解】易知该正态分布曲线的对称轴为，所以C正确；而A、B、D三项变量分布均不关于对称轴对称.
故选：C
10. 随机变量的分布列如下，则（　　）

0
1
2





A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由分布列性质求出，再由分布列计算期望、方差，再由方差性质求解.
【详解】由分布列性质可知，，解得，
所以，
,
所以.
故选：D
11. 某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ）

A. 的数据较更集中
B.
C. 甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正态分布曲线的性质和特点求解.
【详解】对于A，Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确；
对于B，因为c与 之间的与密度曲线围成的面积 与密度曲线围成的面积 ，
，正确；
对于C， ， 甲种茶青每500克超过 的概率 ，正确；
对于D，由B知： ，错误；
故选：D.
12. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则以下结论正确的是（ ）

A. 是函数的一个零点 B. 是函数的极大值点
C. 的单调递增区间是 D. 无最小值
【答案】C
【解析】
【分析】由图象可得出函数的单调区间，进而得出函数的极值点、最值点，即可得出答案.
【详解】对于A项，由已知图象，仅可得出函数的单调性以及极值点，并不能得出函数的值，故A项错误；
对于B项，由已知图象可知，
当时，，所以在上单调递减；
当时，恒成立，所以在上单调递增，
所以是的极小值点，无极大值点，故B项错误；
对于C项，由B可知，在上单调递增，故C正确；
对于D项，由B可知，在处取得唯一极小值，也是最小值，所以D错误.
故选：C.
二、填空题
13. ______
【答案】
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.
【详解】.
故答案为：
14. 若，则__________(精确到0.01).
参考数据：若，则，.
【答案】0.82
【解析】
【分析】根据正态分布的均值和标准差计算概率.
【详解】因为，根据参考数据，.
故答案为：.
15. 的展开式中的系数为______.（以数字作答）
【答案】-80
【解析】
【分析】根据二项式定理计算中的即可.
【详解】原式等于，
设的通项为，而中没有项，
故时，，
即项系数为.
故答案为：-80
16. 函数的极大值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】对函数求导，利用单调性即可得出函数的极大值.
【详解】依题意，因为，所以，
所以，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减.
所以在处取得极大值，且.
故答案为：.
三、解答题
17. 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，随机变量X表示“正面朝上”出现的次数．求：
（1）求X的分布列；
（2）求．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二项分布即可求解概率以及分布列.（2）由二项分布的期望公式即可求解.
【小问1详解】
由题意，抛一枚均匀的硬币，正反面朝上的概率均为，
所以将一枚均匀的硬币重复抛掷4次，正面朝上的次数，故
即 , , ,
, ；
X的分布列如下:

0
1
2
3
4






【小问2详解】,
18. 一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，从中任意取出3个球.
（1）求取出的3个球恰有一个红球的概率；
（2）若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列.
【答案】（1）
（2）分布列见解析.
【解析】
【分析】设出事件，利用超几何分布求概率公式进行求解；（2）写出随机变量X的可能取值及相应的概率，求出分布列.
【小问1详解】
设取出的3个球恰有一个红球为事件A，
则
【小问2详解】
随机变量X可能取值为0,1,2,
，，，
故X的分布列为：
X
0
1
2
P




19. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为
（2）最大值为1，最小值为
【解析】
【分析】（1）根据题意，求导得到即可得到其单调区间；
（2）根据题意，由（1）中的单调区间即可得到其最值.
【小问1详解】
，
时，，的单调增区间为，
时，，的单调减区间为，
所以函数单调增区间为，单调减区间为.
【小问2详解】
由（1）知在上递减，在上递增，
当时，有极小值即最小值为．
，，.
所以最大值为，最小值为
20. 某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布（单位：g）．
（1）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于的概率约为多少？（保留四位有效数字）
（2）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由（概率小于0.0001为不可能事件）．
参考数据：若，则，，．
【答案】（1）
（2）合理，理由详见解析
【解析】
【分析】（1）由正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布(单位: g)，要求得正常情况下任意抽取一包白糖质量小于485g的概率，化为的形式，然后求解即可；
（2）由（1）可知正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g的概率为0.0013，可求得随机抽取两包检查，质量都小于485g的概率几乎为零，即可判定检测员的判断是合理的.
【小问1详解】
设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为，
由题意可知.
由于，
所以根据正态分布的对称性与“原则”可知：

；
【小问2详解】
检测员的判断是合理的.
原因：如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随机抽取两包检查，
质量都小于485g的概率约为：，
概率小于0.0001，为不可能事件，但这样的事件竟然发生了，
所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.
21. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论在上零点的个数．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，求导即可得到，从而得到切线方程；
（2）根据题意，构造函数，求导得到其值域，将函数零点问题转化为函数图像交点问题，即可得到结果.
小问1详解】
因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
【小问2详解】
令，得．
设函数，
则．
当时，；当时，．
所以．
，
，．
当时，方程无解，则在上零点个数为0；
当或时，方程只有一解，则在上零点的个数为1；
当时，方程有两解，则在上零点的个数为2．
22. 贵妃芒，又名红金龙，是产于海南一种水果.该芒果按照等级可分为四类：A等级､等级､等级和等级.某采购商打算订购一批该芒果销往省外，并从采购的这批芒果中随机抽取100箱，利用芒果的等级分类标准得到的数据如下表（将样本频率作为概率）：
等级




箱数
40
30
20
10

（1）从这100箱芒果中有放回地随机抽取4箱，记这4箱中等级的箱数为，求概率2）以及的数学期望；
（2）利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考.方案一：不分等级出售，价格为30元/箱；方案二：分等级出售，芒果价格如下表.
等级




价格/（元/箱）
38
32
26
16
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
【答案】（1），；
（2）应该采用方案一,理由见详解.
【解析】
【分析】（1）利用二项分布计算概率及期望；
（2）利用离散型随机变量的分布列计算期望，判定大小即可.
【小问1详解】
依题意从这100箱中随机抽取1箱是等级的
概率，所以，
所以，
；
【小问2详解】
设方案二中芒果的价格为元/箱，其分布列为：

38
32
26
16
P




则.
因为，
所以从采购商的角度考虑，应该采用方案一.