高中1.1 集合的概念获奖教案及反思

1.1 集合的概念课时教学设计

一、    教学内容：

集合的含义，集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性；元素与集合的属于或者不属于关系；常用数集及其专用记号；集合的表示方法：自然语言法，列举法，描述法，Venn图。

二、教学目标

（1）让学生经历从具体的实例中抽象概括出集合的含义，体会集合中元素的三大特性，元素与集合的关系，发展学生的数学抽象素养；

（2）识记常用数集的专用记号。

（3）能用自然语言，列举法，描述法，Venn图法表示一些简单的具体的集合。

（4）能进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言间的转换，会选择恰当的方法表示具体的集合，提升数学抽象素养.

三、教学重点与难点

教学重点:集合的概念与表示方法。 

教学难点：对待不同问题，表示法的恰当选择．

四、教学过程设计

问题1：下面几个例子的的研究对象是什么？

（1）1～10之间的所有偶数；                                  

（2）立德中学今年入学的全体高一学生；    

（3）所有的正方形；                         

（4）到直线l的距离等于定长d的所有点;

（5）方程的所有实数根；

（6）地球上的四大洋。

师生活动：学生回答，教师引导学生准确表述。

教师提示：对于学会表述不完整的地方，教师进行适当的补充和点拨，并分析这些例子的研究对象。

学生回答：

偶数2,4,6,8；

立德中学今年入学的高一学生；

正方形；

到直线l的距离等于定长d的点；

方程的实数根1,2；

地球上的四大洋：太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋。

老师总结：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作研究对象.

设计意图：通过具体的实例让学生体会研究问题的核心是明确研究的具体对象。

在实际生活和学习中，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．

问题2：在小学和初中我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗？

师生活动：学生回忆，思考，讨论交流。

设计意图：为学生搭建初高中过渡的桥梁，从回顾旧知到学习新知，通过回忆，交流，让学生明白集合并不陌生，在初中已有接触。借助以前学生熟悉的例子，引出集合的概念，并为后面进一步研究集合做好准备工作。

2、集合的概念

（1）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.

（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.

集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……

问题3：我们高一18班一共48人，其中班长李某某，我班的48人能否组成一个集合？

教师提问，学生独立思考并回答问题，教师补充完善，让学生体会集合的概念。

追问1：假设我班48 人能组成一个集合，那么李某某和48人所组成的集合是什么关系?

学生活动：学生回答，教师引导学生准确表述

教师引导学生通过身边的具体实例体会元素与集合属于关系。

追问2：假设我班48 人能组成一个集合，假设张三是相邻班的学生，问他与我班48人组成的集合是什么关系？

学生活动：学生回答，教师引导学生准确表述

教师引导学生通过身边的实例体会元素与集合的不属于关系，进而让学生体会元素与集合只有属于或者不属与两种关系中的一种成立。

学生回答：

（1）48个人能成为一个集合。

（2）李明瑞属于这个班集体。

（3）张三不属于这个班集体。

设计意图：通过学生身边熟悉的例子，加深学生对集合概念的巩固和理解，让学生体会元素与集合的关系，

3、元素与集合的关系

（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作

要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.

问题4：下列对象能否构成集合，如果能，指出该集合的元素。如果不能组成集合，请说明理由。

（1）我国的直辖市；   

（2）我班全体学生；

（3）较大的数；       

（4）大于200的数；

师生活动：学生独立思考，讨论交流后回答问题。

教师要引导学生判断的标准是:这个集合元素是什么?能否确定某个元素是否属于这个集合。

学生可能的回答：

（1）可以构成集合，元素是直辖市；

（2）可以，全体学生；

（3）有的说可以，有的说不可以；

（4）可以，大于200的数；

教师点评：（1）可以构成集合，元素是直辖市；直辖市与这个集合的关系是明确的。直辖市都属于这个集合。（2）可以构成集合，元素是全体学生；某个学生与这个集合关系只能是属于或者不属于中的一种。（3）不可以构成集合，怎样才是较大的数，这个标准不明确，比如1000有的学生认为是较大的数，它就属于这个集合。有的学生认为它不是较大的数，不属于这个集合，不符合元素与集合的关系只能是属于或者不属于两种情况必有一种且只有一种成立这个界定。

师总结得出元素的特征：

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：给定一个集合，与集合里面元素的顺序无关。

（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

设计意图：通过以上问题的研究。加深学生对集合概念的巩固和理解，并学会判断一些研究对象能否构成集合，初步体会集合语言表述知识的简洁性和严谨性。

阅读教科书第三页表格：

教师引导学生回忆数集的扩充过程并逐一介绍这些常用数集的来历。

4.常用数集及其表示方法：

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N

来历：Natursl  number的首写字母。

（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+

（3）整数集：全体整数的集合.记作Z

来历：德语中的整数Zahlen的首字母，德国女数学家诺特于1921年写出的《整环的理想理论》在引入整数环概念的时候，她将整数环记做Z

（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q；

来历：商的英文Quotient的首字母，任何一个有理数都是两个整数之比的结果（商）

（5）实数集：全体实数的集合.记作R

来历：实数英文Real number的首字母。

注：（1）自然数集包括数0.

（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+

设计意图：对于难度不大的内容，特备别是符号比较多时，学生通过阅读，熟悉自然语言和符号语言，并建立他们之间的对应关系。通过每个数集符号来历的解读向学生渗透数学文化，增加学生进行理解记忆的理性，巩固记忆效果。同时。作为下一个问题的载体，起到生成集合表示方法等新知的作用。

（二）应用举例：

1.下列每组对象能否构成一个集合？

(1)我们班的所有高个子同学；

(2)不超过20的非负数；

(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；

(4)的近似值的全体；

2．完成下列练习。

(1)给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数为(　　)

A．1　    B．2　 C．3　　   D．4

(2)集合A中的元素满足，则集合A中的元素为________。

(3)集合，判断下列元素与集合A的关系。

教师活动：

带领学生解决上述问题

(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．

(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“”与，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；

(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；

(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“的近似值”不能构成集合

2.(1)①②正确；③④⑤不正确．

(2)∵，

∴当时，，∴满足题意；

当时，，∴满足题意；

当时，，∴满足题意；

当时，不满足题意，

所以集合A中的元素为0,1,2.

（3）由于

∴①当时，，∴

②

∴当时，

∴

③

当时，，

但  ∴。

学生活动：

1.在老师的引导下，完成学习任务；
2.结合已学知识，探索新的问题。

设计意图：引导鼓励学生利用新知识解决问题。

问题 5:从上面的例子看到。我们可以用自然语言表示了集合，用大写的拉丁字母表示一个集合，一些常用的数集还有专门的的字母表示。除此之外，你还能用其他方法表示它们对应的集合吗？如果要进一步用符号语言表示这些集合，你会创造什么样的符号表示集合？

师生活动：引导学生阅读教科书第3,4页独立思考，讨论交流，根据学生交流情况，选择以下问题追问

1.列举法：

追问1：你会用符号表示下列集合吗？

（1）1～10之间的所有偶数；                                  

（2）方程的所有实数根；

（3）地球上的四大洋。

设计意图：引导学生思考如何简洁明确的表示一个集合。

追问2：表示一个集合，关键是确定什么？

设计意图：表示一个集合关键是确定他有那些元素，从而引导学生在“列举”的基础上规范生成上面三个集合的列举法表示。

A={2，4，6，8,10}   B={1，2 }   C={北冰洋，大西洋，印度洋，太平洋}

追问3：你能概括出上面表示法的特点吗？列举法表示集合需要注意那些问题？那些类型可以用列举法表示？

师生活动：教师提问，学生独立思考并回答问题，教师引导学生梳理讨论交流的结果。

师生梳理总结用列举法表示集合需要注意的问题：

（1）大括号不能缺失，元素中间用逗号隔开；

（2） 集合的元素不能遗漏更不能重复（互异性）

（3）元素之间不用考虑先后顺序。

例如：{1，2 }= {2，1 }

（4）列举法一般用于元素比较少的集合

设计意图：通过以上问题研究，得出集合的列举法表示，体会列举法表示的特点，培养归纳概括的能力。

问题6：你能用列举法表示不等式X-7<3的解集吗？

师生活动：学生回顾集合的列举法表示和不等式解集的含义，在独立思考基础上交流，探讨，教师启发引导，补充总结。

生回答：不能表示不等的解集。因为不等式X-7<3的解是X<10,满足X<10的实数有无数个，我们不能一一列举，所以X-7<3的解集不能用列举法表示，这就说明了学习描述法的必要性。

设计意图：在复习巩固列举法的同时，引出集合另外一种表示方法——描述法。学生在把列举法表示的集合转化成自然语言表示的过程中，需要抽象概括出元素的一般特征，有助于积累数学抽象经验，同时也为后面学习描述法做好铺垫。

问题6：如何用描述法表示一个集合？

设计意图：描述法在后面的学习中相当于一种数学语言的具体表述形式，这里没必要给学生增加理解和认知上的负担。描述法的难点在于让学生找到符合要求的代表元，总结集合元素的共同特征，所以这里直接告诉学生描述法的具体形式，然后让学生在具体的实例中体会代表元和元素的共同特征的规律。

一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．

描述法表示集合的写法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

如：{x|x-3>2}，{（x，y）|y=x+1}，{直角三角形}，

描述法表示集合的几点注意：

(1)用描述法表示集合，应先弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．

一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素．

(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，需对新字母说明其含义或取值范围．

(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．

注意：会选择适当的方法准确的表示集合。

应用练习：

例3： 试分别用列举法和描述法表示下列集合.

(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A.

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合B.

师生活动：学生判断，教师给出解答示范.

设计意图：检验学生用列举法和描述法表示集合的掌握情况。

 [解答](1)设方程x2-2=0的实数根为x,并且满足条件x2-2=0，因此，用描述法表示为

A={x∈R|x2-2=0}.

方程x2-2=0有两个实数根为，因此，用列举法表示为A={}.

(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z,且10<x<20,因此，用描述法表示为

B={x∈Z∣10<x<20}.

大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17, 18,19，因此，用列举法表示为

B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.

（四）归纳总结

教学内容：

教师对课堂内容总结。

教师活动：

1.集合的概念中，“某些指定的对象”，可以是任意的具体确定的事物，例如数、式、点、形、物等。

2.集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性，要能熟练运用之。

3. 集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。

学生活动：

跟随教师展示和引导共同梳理知识结构

设计意图：

跟随教师展示和引导共同梳理知识结构。

教师活动：

1.布置相关课后作业，检测本课学习情况；
2.预习任务，做好下次课的准备与衔接；

3.针对不同层次的学生实施精准指导；

学生活动：

1.认真记录课后作业与预习任务；

2.遇到难题及时请教老师或同学；

教学反思：

1.教学效果：引导学生思考掌握知识。

2.反思与改进：解决实际问题，融入职业教育思想，课程思政元素。

（五）目标检测设计

1、课堂目标检测

（1）教科书第5页练习1,2,

（2）用适当的符号填空：

（1）0   {x|x2=x};    (2)-1   {x|x2=x};     (3)   {x|x2=x};

2.已知集合，则集合=______．（用列举法表示）

3．用描述法表示下列集合：

(1)所有被3整除的整数组成的集合；

(2)不等式的解集；

(3)方程的所有实数解组成的集合；

(4)抛物线上所有点组成的集合；

(5)集合.

 设计意图：考查学生对知识的掌握程度，属于水平一题目.

2. 课后作业

教科书习题1.1第3,4,题

小论文：搜集有关集合论的相关知识，选择自己感兴趣的一点写一篇小论文。

设计意图：巩固学生对描述法和列举法表示集合的，属于水平一题目.小论文意在提高学生的数学文化素养。