【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--5.4.4 正切函数的性质与图象（课时教学设计）

5.4.4 正切函数的性质与图象

（一）教学内容

     正切函数的图象及其主要性质（包括周期性、奇偶性、单调性、值域）。

（二）教学目标

1.通过借助单位圆画出正切函数在范围内的图象，能利用正切函数的奇偶性和周期性推出正切函数的整个图象，发展学生推理与数学抽象的素养；

2.通过观察探究正切函数在上的图象，能归纳得出正切函数的性质，发展学生归纳概括的核心素养。

（三）教学重点与难点

教学重点：正切函数的性质与图象，研究函数图象与性质的一般思路和方法。

教学难点：正切函数图象的画法。

（四）教学过程

引导语：前面我们研究了正弦、余弦函数的图象与性质，这节课，我们来研究正切函数图象与性质。

(一) 复习回顾

问题1：角的正切是如何定义的？正切函数的定义是什么？

师生活动：教师与学生共同回顾如下内容：设是一个任意角，，它的终边OP与单位圆相交于点．把点P的纵坐标与横坐标x的比值叫做的正切，记作.通常，我们将任意一个角用表示，且，都有唯一确定的正切值与之对应，因此是一个函数，称为正切函数。

设计意图：通过回顾正切函数定义，为研究正切函数的图象与性质做准备。

（二）问题探究

问题2：（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？

（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？

师生活动：前面我们研究正弦函数的方法是通过定义和单位圆绘制出正弦曲线，再通过图象直观地研究正弦函数的性质。其研究路径是：绘制函数图象—观察函数图象—发现函数性质—证明函数性质．余弦函数是利用正弦曲线平移得到余弦曲线，进而研究性质。也就是说，余弦函数性质的研究是先研究了部分性质，然后获得图象，再依据图象研究其它性质。

这样我们有两种思路来研究真切函数：

思路1，按照正余弦函数图象与性质的研究思路，先描点画图，得到图象，根据图象观察获得性质，再证明；

思路2，按照余弦函数图象与性质的研究思路，先从数的角度出发，利用函数解析式分析其部分性质，然后再根据性质画图，之后再观察图象得到更多的性质．

设计意图：在回顾研究正弦函数、余弦函数的方法的基础上引出研究正切函数的方法.

追问：如果选择思路1研究，在研究过程中，你可能遇到什么困难？（这个问题我们留作作业，请同学们思考。）现在我们选择思路2进行研究．结合研究正弦函数、余弦函数图象与性质的经验，你觉得应该先研究哪个性质？

师生活动：教师带领学生讨论得出：先研究周期性，再研究奇偶性．思路如下：

证明函数性质—函数部分图象—函数整体图象—观察函数图象—发现函数性质—证明函数性质．

设计意图：规划思路，缩小研究范围，精准研究对象．

问题3：类比正弦函数周期得出过程，判断正切函数是周期函数吗？如何求正切函数的周期？

师生活动：先让学生独立思考，然后交流得出：

周期性探究

由诱导公式，，且，，可知，正切函数是周期函数，周期是．

问题4：仿照问题3的研究思路，你能判断正切函数的奇偶性吗？

奇偶性探究

由诱导公式，，且，，可知，正切函数是奇函数．

设计意图：通过诱导公式，探究正切函数周期性和奇偶性，获得正切函数图象与性质的研究方法，从“数”的角度先得到简单结论，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养．

问题5：你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？

师生活动：根据正切函数的周期性，可以先研究一个周期内的图象和性质，选这个周期。根据正切函数是奇函数，研究图像和性质可以先研究当时，这样的话，我们可以先考察函数在的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展．研究思路如下：

问题6：能否模仿利用正弦线和余弦线得到正弦函数和余弦函数图象的方法，画出函数在的图象的图象？

追问1：画函数图象的基本方法是描点法，正弦函数图象绘制时，通过单位圆内的正弦函数的几何意义绘制图象，正切函数在单位圆内的几何意义是什么呢？你能找到对应的线段吗？

师生活动：学生先思考，讨论。并进行几何解释：如图，

师生活动：设，在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点，过点B作轴的垂线，垂足为M。则。

追问2：上式虽然解释了正切函数的几何意义，但是不方便画图。我们回想正弦函数图象构图时，正弦函数的几何意义为什么可以方便描点？你能依据这种思想优化正切函数的几何意义，并以此描出正切函数图象上的点吗？

师生活动：通过学生之后，可得：正弦函数的几何意义就是角的终边与单位圆的交点的纵坐标，对应着线段MB，此时分母对应的线段长度为1，于是我们可以利用三角形相似进行转化，使分母对应的线段变成长度变为1，即将M点平移到单位圆与x轴交点处，过点作轴的垂线与角的终边交于点T，由三角形相似，则

，

由此可见，当时，线段AT的长度就是相应角的正切值．这样我们可以较方便的利用线段AT画出函数，的图象，如图所示．

观察上图可知，当时，随着的增大，线段AT的长度也在增大，而且当趋向于时，AT的长度趋向于无穷大．相应地，函数，的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线．

问题7：你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？

师生活动：因正切函数是奇函数，根据奇函数图象关于原点对称，由，的图象关于原点的对称图形，就可得到，的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数，的图象向左、右平移，每次平移个单位，就可得到正切函数，，，的图象，我们把它叫做正切曲线．函数图象如下：

追问：正切函数的图象有怎样的特征？

师生活动：从图可以看出，正切曲线是被与轴平行的一系列直线，所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．

设计意图：通过对正切函数图像的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养．

（三）概念深化

问题6：请同学们结合学习正弦函数、余弦函数图象的方法，研究正切函数的图象，我们能从中得到正切函数的哪些性质？

单调性

观察正切曲线可知，正切函数在区间上单调递增．由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间，上都单调递增（但是不能说在整个定义域上是增函数）．

值域

当时，在内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是实数集R．

设计意图：通过对正切函数图像与性质的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，使学生理解正切函数的性质，突破难点．发展学生直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养．

（四）例题精析

例1　求函数的定义域、周期及单调区间．

分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论．

解：自变量的取值应满足，，即，．

所以，函数的定义域是，设，又，

所以，

即．

因为，

都有，

所以，函数的周期为2．

由，，

解得，．

因此，函数在区间，上单调递增．

设计意图：利用正切函数性质解决问题，巩固换元的转化思想方法。

练习1：(教材第213页练习第5题)

不通过求值，比较下列各组中两个正切值的大小：

（1）与；    （2）与．

解：（1）因为在上单调递增，且，所以．

（2），．

因为，且函数在区间在上单调递增，所以，即

练习2　写出使下列等式成立的的集合：

（1）；（2）．

分析：对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解.

解：（1）由得．如下图左所示，在内，满足上述不等式的取值范围是．又的周期为，所以不等式成立的的取值范围为．

（1）题图                              （2）题图

（2）由得．如上图右所示，在内，满足上述不等式的取值范围是．又的周期为，所以不等式成立的的取值范围为：．

设计意图：通过对典型问题的分析解决，提高学生对函数性质的理解。发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养．

【小结】

（1）请回顾本节课的研究路径。

（2）你能说出正切函数的图像与性质的哪些特征？

师生活动：先由学生梳理，最后师生一起完善。

本节课采用了新的研究路径：性质→图像→性质，知道了正切函数的周期、奇偶性、单调性以及值域等性质，绘画正切函数的图像，特别是知道正弦函数图像无限逼近直线，的特点。

设计意图：梳理、总结、归纳提炼本单元的核心内容和方法．

（五）目标检测设计

1课前预习(教科书213页练习1，2，3)

（1）. 借助函数的图象解不等式，.

分析：画出和的图象，观察图象可得.

解析：在同一坐标系中画出和的图象，如下：

当时，，

由图象可知不等式的解集为.

（2）. 观察正切曲线，写出满足下列条件的x值的范围：

① ；    ② ；   ③ ．

【详解】

① ：；

② ：；

③ ：；

3. 求函数的定义域.

【分析】令，解出x的范围即可求得定义域.

【详解】令，得，

所以函数的定义域为.

设计意图：检测预习效果。

2 课堂检测

比较与的大小．

解析： ∵，，又∵，在内单调递增，∴，即；

设计意图：通过练习巩固本节所学知识，巩固对正切函数图像与性质的理解。锻炼学生的应用能力，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养．

3 课后作业

1．教科书213页习题5.4第8，9题．

2．教科书214页综合运用第14题．

设计意图：通过作业使学生巩固所学内容．

（六）教学反思

      本节课完整的研究了一个新函数图象和性质，在类比余弦函数性质的研究方法基础上，获得研究正切函数的研究套路和方法，进一步加强了学生对于一个新函数性质的研究除了已经熟悉的“列表、描点、连线、获得性质”，还可以先根据解析式，得出一些性质，再根据定义和这些性质得出函数图象，再利用图象推导其它的性质。进一步巩固学生研究一个新的函数的图象与性质的方法和套路。