2022-2023学年浙江省湖州市吴兴区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省湖州市吴兴区七年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省湖州市吴兴区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程是二元一次方程的是(    )
A. y=x B. x+1y=2 C. xy=6 D. x−y=z−5
2. 下列计算中正确的是(    )
A. m2⋅m3=m6 B. (m3)2=m5
C. m+m2=2m3 D. −m3+3m3=2m3
3. 已知1微米=10−7米，则25微米用科学记数法表示为(    )
A. 0.25×10−5米 B. 25×10−7米 C. 2.5×10−6米 D. 2.5×10−8米
4. 如图，∠1和∠2是同位角的是(    )
A. B. C. D.
5. 二元一次方程2x−y=1有无数个解，下列四组值中是该方程的解的是(    )
A. x=0y=−12 B. x=1y=1 C. x=1y=0 D. x=−1y=−1
6. 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是(    )
A. (12m−n)(m+12n) B. (−m−n)(m+n)
C. (−m−n)(m−n) D. (m−n)(n−m)
7. 如图，下列条件中，不能判定AB/​/CD的是(    )


A. ∠D+∠BAD=180° B. ∠1=∠2
C. ∠3=∠4 D. ∠B=∠DCE
8. 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，则∠CBD为(    )
A. 10°
B. 25°
C. 15°
D. 30°
9. 如图(1)，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图(2)，通过计算阴影部分的面积可以得到(    )


A. (a−2b)2=a2−4ab+b2 B. (a+2b)2=a2+4ab+b2
C. (a−2b)(a+2b)=a2−4b2 D. (a+b)2=a2+2ab+b2
10. 现有如图(1)的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b.用3个如图(2)的全等图形和8个如图(1)的小长方形，拼成如图(3)的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图(3)中阴影部分面积与整个图形的面积之比为(    )


A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 因式分解：a2−a=______．
12. 在方程4x−2y=7中，如果用含有x的式子表示y，则y=          ．
13. 已知an=2，bn=6，则a4n⋅b2n的值为______ ．
14. 若(x2−x+1)(x−q)的乘积中不含x2项，则q= ______ ．
15. 如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1=70°，则∠2的度数为______ ．


16. 若关于x、y的二元一次方程组3x−my=52x+ny=6的解是x=1y=2，则关于a、b的二元一次方程组3(a+b)−m(a−b)=52(a+b)+n(a−b)=6的解是______．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：
(1)−12023+(−12)−2+(3.14−π)0；
(2)(x+2)(x−2)+4．
18. (本小题6.0分)
解方程组：
(1)x+y=1x−y=3；
(2)x−13+y+22=1x−16=y+22．
19. (本小题6.0分)
如图，OC是∠AOB的平分线，且∠1=∠2，试说明EF/​/OB吗？

20. (本小题8.0分)
先化简，再求值：[(x−y)2+y(2x−y)]÷(12x)，其中x=1,y=12．
21. (本小题8.0分)
在网格上，平移△ABC，并将△ABC的一个顶点A平移到点D处，

(1)请你作出平移后的图形△DEF(点B、C的对应点E、F)；
(2)请求出△DEF的面积(每个网格是边长为1的正方形)．
22. (本小题8.0分)
随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，请你帮助该公司设计购买方案．
23. (本小题12.0分)
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形.并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1：______ ；
方法2：______ ；

(2)观察图2，请你写出代数式：(a+b)2，a2+b2，ab之间的等量关系______ ；
(3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b=5，(a−b)2=13，求ab的值；
②已知(2023−a)2+(a−2022)2=5，求(2023−a)(a−2022)的值．
24. (本小题12.0分)
已知：AB/​/CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1=∠2．
(1)如图1，求证：EF/​/GH；
(2)如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N=45°；
(3)如图3，在(2)的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN=4∠HFM，直接写出∠GQH∠MPN的值．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：A.是二元一次方程，故本选项符合题意；
B.是分式方程，不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C.是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D.是三元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了二元一次方程的定义，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫二元一次方程．

2.【答案】D 
【解析】
解：A.m2⋅m3=m5，故本选项不符合题意；
B.(m3)2=m6，故本选项不符合题意；
C.m和m2不能合并，故本选项不符合题意；
D.−m3+3m3=2m3，故本选项符合题意，
故选：D．
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和合并同类项法则等知识点，掌握相关法则是解此题的关键．
先根据同底数幂的乘法，幂的乘方和合并同类项法则进行计算，再根据求出的结果对选项逐一判断即可．  
3.【答案】C 
【解析】解：∵1微米=1×10−7米，
∴25微米=25×1×10−7米=2.5×10−6米，
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

4.【答案】C 
【解析】解：A、∠1和∠2不是同位角，故此选项不符合题意；
B、∠1和∠2不是同位角，故此选项不合题意；
C、∠1和∠2是同位角，故此选项合题意；
D、∠1和∠2不是同位角，故此选项不合题意；
故选：C．
根据同位角定义可得答案．
本题考查同位角的概念．解题的关键是掌握同位角的概念，是需要熟记的内容．即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．

5.【答案】B 
【解析】解：A.当x=0，y=−12，则2x−y=0+12=12≠1，那么x=0y=−12不是该方程的解，故A不符合题意．
B.当x=1，y=1，则2x−y=2−1=1，那么x=1y=1是该方程的解，故B符合题意．
C.当x=1，y=0，则2x−y=2−0=2≠1，那么x=1y=0不是该方程的解，故C不符合题意．
D.当x=−1，y=−1，则2x−y=−2+1=−1≠−1，那么x=−1y=−1不是该方程的解，故D不符合题意．
故选：B．
根据二元一次方程的解的定义解决此题．
本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解决本题的关键．

6.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点是解决问题的关键．
利用平方差公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】
解：∵(12m−n)(m+12n)不符合平方差公式的特点，
∴选项A不符合题意；
∵(−m−n)(m+n)=−(m+n)2，
∴选项B不符合题意；
∵(−m−n)(m−n)=−(m+n)(m−n)=−(m2−n2)，
∴选项C符合题意；
∵(m−n)(n−m)=−(m−n)2，
∴选项D不符合题意．  
7.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
根据平行线的判定方法，逐项进行分析判断，即可得解．
【解答】
解：A、根据同旁内角互补，两直线平行，由∠D+∠BAD=180°，能判定AB/​/CD，故此项不符合题意；
B、根据内错角相等，两直线平行，由∠1=∠2，能判定AB/​/CD，故此项不符合题意；
C、根据内错角相等，两直线平行，由∠3=∠4得BC/​/AD，不能判定AB/​/CD，故此项符合题意；
D、根据同位角相等，两直线平行，由∠B=∠DCE，能判定AB/​/CD，故此项不符合题意，
故选C．  
8.【答案】C 
【解析】解：∵∠A=45°，
∴∠ABC=45°，
∵AB/​/CF，
∴∠BCD=45°，
∵∠E=30°，
∴∠EDF=60°，
∴∠BDC=180°−∠EDF=120°
在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=120°，
∴∠BCD=180°−∠BDC−∠BCD=15°，
故选：C．
直接利用三角板的特点结合根据平行线的性质，计算得∠ABC=45°，∠EDF=60°，利用邻补角互补可求得∠BDC=120°，在△BCD中可得到∠CBD=15°．
本题考查了根据平行线的性质求角的度数、利用邻补角互补求角度及直角三角板的特点，熟练掌握平行线的性质和利用邻补角互补求角度是解决问题的关键

9.【答案】C 
【解析】解：图(1)中阴影部分的面积为：a2−4b2；
图(2)中长方形的长是a+2b，宽是a−2b，面积是(a+2b)(a−2b)=a2−4b2，
∴(a−2b)(a+2b)=a2−4b2．
故选：C．
利用大正方形面积减去4个小正方形面积即可得出图(1)中阴影部分的面积；根据矩形的面积公式可得图(2)的面积，据此可得结果．
本题考查了平方差公式的几何背景，数形结合并正确列式是解题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：∵大长方形的宽为30cm，
∴a+3b=30，
根据图③可得3b=a，
组成方程组a+3b=30a=3b，
解得：a=15b=5，
∵阴影面积为3(a−b)2，
整个图形的面积为：4a(a+3b)，
∴阴影部分面积与整个图形的面积之比为3(a−b)24a(a+3b)=3×10060×30=16，
故选：B．
根据题意、结合图形可以得到方程组a+3b=30a=3b，解出a|B的值，再表示出阴影面积和整个图形的面积，求出比值即可．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是看懂图示，找出题目中的等量关系，求出a和b．

11.【答案】a(a−1) 
【解析】解：a2−a=a(a−1)．
故答案为：a(a−1)．
直接提取公因式a，进而分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

12.【答案】4x−72 
【解析】
【分析】
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
将x看做已知数求出y即可．
【解答】
解：4x−2y=7，
解得：y=4x−72．
故答案为：4x−72  
13.【答案】576 
【解析】解：当an=2，bn=6时，
a4n⋅b2n
=(an)4⋅(bn)2
=24×62
=16×36
=576．
故答案为：576．
利用幂的乘方的法则及单项式乘单项式的法则进行求解即可．
本题主要考查单项式乘单项式，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

14.【答案】−1 
【解析】解：原式=x3−qx2−x2+qx+x−q
=x3−(q+1)x2+(1−q)x−q，
∵乘积中不含x2项，
∴−(q+1)=0，
∴q=−1．
故答案为：−1．
根据多项式的运算法则把括号展开，再合并同类项；找到含有x的二次项并让其系数为0，即可求出n的值．
本题主要考查单项式与多项式的乘法，运算法则需要熟练掌握，不含某一项就让这一项的系数等于0是解题的关键．

15.【答案】55° 
【解析】解：如图，延长AB得到射线AG，

∵AB/​/CD，
∴∠CBG=∠2，
由折叠的性质知，∠CBF=∠CBG，
∴∠CBF=∠2=∠CBG，
∵∠1+∠CBF+∠CBG=180°，
∴∠1+2∠2=180°，
∵∠1=70°，
∴∠2=12×(180°−70°)=55°，
故答案为：55°．
根据平行线的性质得到∠CBG=∠2，由折叠的性质知，∠CBF=∠CBG，则∠CBF=∠2=∠CBG，进一步得到∠1+2∠2=180°，即可得到∠2的度数．
本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，本题的解题关键是找出纸条对折后的角度关系，据此即可得出答案．

16.【答案】a=32b=−12 
【解析】
【分析】
本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体与换元的数学思想的理解运用在此题体现明显．
利用关于x、y的二元一次方程组3x−my=52x+ny=6的解是x=1y=2，用整体与换元思想，可得题中关于a、b的二元一次方程组的解为a+b=1a−b=2，解此二元一次方程组，可得a、b的值．
【解答】
解：关于x、y的二元一次方程组3x−my=52x+ny=6的解是x=1y=2，
由关于a、b的二元一次方程组3(a+b)−m(a−b)=52(a+b)+n(a−b)=6，可知a+b=1a−b=2，
解得a=32b=−12．
故答案为a=32b=−12．  
17.【答案】解：(1)−12023+(−12)−2+(3.14−π)0
=−1+4+1
=4；
(2)(x+2)(x−2)+4
=x2−4+4
=x2． 
【解析】(1)根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的法则计算即可；
(2)先根据平方差公式计算(x+2)(x−2)，然后合并同类项即可得出结果．
本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，以及平方差公式，熟记这些运算法则是解题的关键．

18.【答案】解：(1)x+y=1①x−y=3②，
①+②得：2x=4，
解得：x=2，
把x=2，代入①得：2+y=1，
解得：y=−1，
故原方程组的解为：x=2y=−1；
(2)x−13+y+22=1①x−16=y+22②，
方程去分母得，2(x−1)+3(y+2)=6x−1=3(y+2)，
整理方程组得：2x+3y=2③x−3y=7④，
③+④得：3x=9，
解得：x=3，
把x=3代入③式得：6+3y=2，
解得：y=−43，
故原方程组的解为：x=3y=−43． 
【解析】(1)用加减消元法解方程组；
(2)用加减消元法解方程组．
本题考查了解一元二次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组是关键．

19.【答案】解：∵OC平分∠AOB (已知)，
∴∠1=∠BOC(角平分线定义)．
∵∠1=∠2  (已知)，
∴∠2=∠BOC (等量代换)，
∴EF//OB(内错角相等，两直线平行)． 
【解析】先根据角平分线的定义得出∠1=∠BOC，再由等量代换得出∠2=∠BOC，进而可得出结论．
本题考查的是平行线的判定与角平分线的性质，熟知内错角相等，两直线平行是解答此题的关键．

20.【答案】解：[(x−y)2+y(2x−y)]÷(12x)
=(x2−2xy+y2+2xy−y2)÷(12x)
=x2÷(12x)
=2x，
当x=1,y=12时，原式=2×1=2． 
【解析】先利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．

21.【答案】解：(1)△DEF如图所示；

(2)由图可知，S△DEF=3×4−12×2×4−12×2×3−12×2×1，
=12−4−3−1，
=4． 
【解析】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
(1)根据网格结构找出点B、C的对应点E、F的位置，然后与点D顺次连接即可；
(2)利用△DEF所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．

22.【答案】解：(1)设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：2x+3y=803x+2y=95，
解得：x=25y=10．
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元．
(2)设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
依题意，得：25m+10n=200，
∴m=8−25n.
∵m，n均为正整数，
∴n为5的倍数，
∴m1=6n1=5，m2=4n2=10，m3=2n3=15，
∴共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车2辆，B型车15辆． 
【解析】(1)设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．

23.【答案】(a+b)2  a2+b2+2ab  (a+b)2=a2+2ab+b2 
【解析】解：(1)方法1：大正方形的面积S=(a+b)2；
方法2：大正方形的面积S=a2+b2+2ab，
故答案为：(a+b)2，a2+b2+2ab；
(2)由(1)可知(a+b)2=a2+2ab+b2；
故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2；
(3)①∵a+b=5，(a−b)2=13，(a+b)2=(a−b)2+4ab，
∴52=13+4ab，
∴ab=3；
②设2023−a=x，a−2022=y，则x+y=1，
∵(2023−a)2+(a−2022)2=5，
∴x2+y2=5，
∵(x+y)2=x2+2xy+y2，
∴2xy=(x+y)2−(x2+y2)=1−5=−4，
∴xy=−2，
即(2023−a)(a−2022)的值为−2．
(1)方法1，根据边长为(a+b)，求正方形面积；方法2，根据大正方形等于2个小正方形的面积加上2个长方形的面积；
(2)由(1)可知，2种方法所求的面积相等，即可求解；
(3)①把a+b=5，(a−b)2=13，代入(a+b)2=(a−b)2+4ab解答即可；
②设2023−a=x，a−2022=y，则x+y=1，通过换元，利用(2)的结论进行计算即可求解．
本题考查了完全平方公式与图形面积，根据完全平方公式变形计算，掌握完全平方公式是解题的关键．

24.【答案】解：(1)证明：∵AB/​/CD，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴EF/​/GH；

(2)如图2，过点N作NK/​/CD，
∴∠KNE=∠4，∠6=∠7，
设∠4=x，∠7=y，
∵EN、FN分别平分∠BEF、∠DFM，
∴∠ENK=∠5=∠4=x，∠6=∠8=∠7=y，
又∵AB/​/CD，
∴∠EFD=180°−2x，
又∵FM⊥GH，
∴∠EFM=90°，
∴180°−2x+2y=90°，
∴x−y=45°，
∴∠ENE=∠ENK−∠6=x−y=45°，

(3)∠GQH∠MPN=14，
∵3∠FEN=4∠HFM，即3x=4×2y，
∴x=83 y，
∴x−y=83 y−y=45°
∴y=27°，x=72°，
又∵EN和GQ是角平分线，
∴GQ⊥EN，
∴∠GQH=∠EGQ=180°−90°−72°=18°，
又∵∠MPN=∠FEN=x=72°，
∴∠GQH∠MPN=14，
故答案为14． 
【解析】(1)由平行线的性质得∠1=∠3，再由同位角相等得出EF/​/GH；
(2)过点N作NK/​/CD，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论；
(3)由3∠FEN=4∠HFM结合前面(2)的结论，求出角度可得∠GQH∠MPN=14．
本题是平行线的综合题目，考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识；综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键．