【阶段测试】湘教版数学八年级上册--期中测试卷（困难）（含答案）

这是一份【阶段测试】湘教版数学八年级上册--期中测试卷（困难）（含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湘教版初中数学八年级上册期中测试卷
考试范围：第一.二.三章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知分式x2+x+4x−1的值为整数，则满足条件的整数x有(    )
A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个
2. 若关于x的分式方程xx−3=1+mx−29−x2无解，则m的值为(    )
A. −3或−163 B. −163或−23
C. −3或−163或−23 D. −3或−23
3. 若关于x的分式方程1x+1=3kx无解，则k的是(    )
A. 0 B. −1 C. 0或−1 D. 0或13
4. 随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为(    )
A. 8x+15=82.5x B. 8x=82.5x+15 C. 8x+14=82.5x D. 8x=82.5x+14
5. 已知直线a // b，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，则∠1的度数是(    )

A. 45° B. 60° C. 75° D. 80°
6. 如图，已知直线a // b，点A，B分别在直线a，b上，连结AB.点D是直线a，b之间的一个动点，作CD // AB交直线b于点C，连结AD.若∠ABC=70°，则下列选项中∠D 不可能取到的度数为(    )
A. 60° B. 80°
C. 150° D. 170°
7. 给出下列4个命题：①对顶角相等；②互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；③同旁内角相等，两直线平行；④同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中真命题的个数为(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+33；⑤S△AOC+S△AOB=6+943.其中正确的结论是(    )
A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①②③④⑤ D. ①②③
9. 计算：|−13|−19的结果是(    )
A. 1 B. 23 C. 0 D. −1
10. 下列各数中是无理数的是(    )
A. 3.1415 B. −9 C. 227 D. 7
11. 在数轴上，点A表示2，现将点A沿数轴做如下移动，第一次点A向左移动4个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动8个单位到达点A2，第三次将点A2向左移动12个单位到达点A3，第四次将点A3向右移动16个单位长度到达点A4，按照这种规律下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离不少于18，那么n的最小值是(    )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
12. 若3a+1与3a2−5互为相反数，则a3+5a2−4的值为(    )
A. 10 B. 24 C. 12 D. 8
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 已知x+2y+7z=0，x−2y−3z=0(xyz≠0)，则x+y+zx−y+z=          ．
14. 分式xx+1有意义的x的取值范围是_______________
15. 如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO=CO=8，BO=DO=6，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N.连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于______．

16. 一个数的算术平方根为a，比这个数大2的数是________．

三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．
(1)求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？
(2)若今年文学书的单价比去年提高了25%，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
18. (本小题8.0分)
一项工程，甲、乙两公司合作，12天可以完成，共需付工费102000元;如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．
(1)甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天?
(2)若由甲、乙两公司完成这项工程(可以单独完成，也可以合作完成)，若要使施工费较少，应该如何安排施工单位?
19. (本小题8.0分)
先化简再求值：3x−3x2−1÷3xx+1−1x+1，其中x=−2．
20. (本小题8.0分)
小王开车从甲地到乙地，去时走A线路，全程约100千米，返回时走B线路，全程约60千米．小王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快20千米/小时，所用时间却比返回时多15分钟．若小王返回时的平均车速不低于70千米/小时，求小王开车返回时的平均速度．
21. (本小题8.0分)
已知：AB/​/CD，BE、CF分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，O是BC中点，则线段BE与线段CF有怎样的关系？请说明理由．

22. (本小题8.0分)
我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82=4×52=100，所以这个三角形是常态三角形．
(1)若△ABC三边长分别是3，25和4，则此三角形______常态三角形(填“是”或“不是”)；
(2)若Rt△ABC是常态三角形，求此三角形的三边长之比(请写出求解过程并将三边按从小到大排列)；
(3)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AD=DB=DC，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积．

23. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线．
(1)若∠A=40°，∠B=80°，求∠DCE的度数；
(2)若∠A=α，∠B=β，求∠DCE的度数(用含α、β的式子表示)．

24. (本小题8.0分)
[阅读材料]
    ∵2<5<3.∴5的整数部分为2,5的小数部分为5−2.
[解决问题]
(1)填空：91的小数部分是________；
(2)已知a是21−4的整数部分，b是21−4的小数部分，求代数式−a3+b+42 的值；
(3)已知：x是3+5的整数部分，y是其小数部分，请直接写出x−y的相反数．
25. (本小题8.0分)
如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−2，设点B所表示的数为m．

(1)实数m的值是_____．
(2)求|m+1|+|m−1|的值；
(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与d−4互为相反数，求2c+3d的平方根．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查了分式的值是整数的条件，把原式化简为x+2+6x−1的形式是解决本题的关键．首先把分式转化为x+2+6x−1，则原式的值是整数，即可转化为讨论6x−1的整数值有几个的问题． 
【解答】
解：x2+x+4x−1=x2−1+x−1+6x−1=x+1+1+6x−1=x+2+6x−1
因为分式的值是整数
所以x−1=±1或±2或±3或±6，满足条件的整数x有8个．
故选D．
  
2.【答案】C 
【解析】解：当(x+3)(x−3)=0时，x1=3或x2=−3，
原分式方程可化为：xx−3=1−mx−2(x+3)(x−3)，
去分母，得x(x+3)=(x+3)(x−3)−(mx−2)，
整理得(3+m)x=−7，
∵分式方程无解，
∴3+m=0，
∴m=−3，
把x1=3或x2=−3，分别代入(3+m)x=−7，
得m=−163或m=−23，
综上所述：m的值为m=−163或m=−23或m=−3，
故选：C．
首先最简公分母为0，求出增根，在把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程，字母系数为0，满足这两个条件求出m的值．
本题考查分式方程的解和解分式方程，掌握在本题中分式方程无解满足的两个条件：一次项系数为0，最简公分母为0，是解决此题的关键．

3.【答案】D 
【解析】
【分析】
此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论得出答案是解题关键．
直接利用分式方程的解法以及分式方程无解的意义分析得出答案．
【解答】
解：去分母得：x=3k(x+1)，
则x−3kx=3k，
故(1−3k)x=3k，
①当1−3k=0时，
解得：k=13，
此时(1−3k)x=3k无解；
②当1−3k≠0时，
则x=3k1−3k=0或−1，
解得：k=0或无解，
综上所述：k=0或13．
故选：D．  
4.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了分式方程的应用，解题关键是理解题意找出等量关系列方程.解题时，设乘公交车平均每小时走x千米，根据“乘坐公交车上学所需时间=乘坐私家车上学所需时间+15分钟”列方程即可．
【解答】
解：设乘公交车平均每小时走x千米，乘私家车平均每小时走2.5x千米，
15分钟=14小时，
根据题意可列方程为：
8x=82.5x+14，
故选D．  
5.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查平行线的性质.延长AB交直线a于点C，首先证明∠1=∠2，再根据∠2=∠CDB+∠CBD计算即可．
【解答】
解：延长AB交直线a于点C．

∵a/​/b，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠CBD+∠CDB,∠CDB=30°,∠CBD=45°，
∴∠1=∠2=75°．
故选C．  
6.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质求出∠ADC的度数的范围，根据CD/​/AB，得∠BCD+∠B=180∘，得出∠BCD=110∘，延长CD交直线a于点E，易得∠AEC=180∘−∠BCE=70∘，而∠ADC>∠AED，得解．
【解答】
解：延长CD交直线a于点E，
∵CD//AB，
∴∠ABC+∠BCD=180∘，
又∵∠ABC=70°，
∴∠BCD=110∘，
又∵直线a/​/b，
∴∠AEC+∠BCD=180∘，
∴∠AEC=70∘，
在△ADE中，
∠ADC是△ADE 的一个与∠AED不相邻的外角，
∴∠ADC>∠AED，
∴∠ADC>70∘，
故选A．  
7.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查对顶角、互为补角、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据对顶角、互为补角、平行线的判定和性质一一判断即可．
【解答】
解：①对顶角相等；是真命题；
②互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；是假命题，可能都是直角；
③同旁内角互补，两直线平行；因此原命题是假命题；
④同旁内角的两个角的平分线互相垂直．是假命题，需要添加条件两直线平行；
因此是真命题的是①．
故选A．  
8.【答案】A 
【解析】
【解答】
解：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图①，连接OO′，

∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′=OB=4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故结论③正确；
S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=12×3×4+34×42=6+43，
故结论④错误；
如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．

易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，
则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=12×3×4+34×32=6+943，
故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②③⑤．
故选：A．
【分析】
本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB向不同方向旋转，体现了结论①−结论④解题思路的拓展应用．
证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；
由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；
S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+43，故结论④错误；
如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为S△COO″+S△AOO″，计算可得结论⑤正确．  
9.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了实数的运算，属于基础知识的考查.根据绝对值和算术平方根的计算法则进行计算即可．
【解答】
解：原式=13−13=0．
故选C．  
10.【答案】D 
【解析】解：A.3.1415属于有限小数，为有理数，不符合题意；
B.−9=−3，为有理数，不符合题意；
C.227属于分数，为有理数，不符合题意；
D.7为无限不循环小数，为无理数，符合题意，
故选：D．
有理数包括整数和分数，无理数包括无限不循环小数，将各数化简即得答案．
本题考查了无理数，关键在于学生要掌握无限不循环小数是无理数这个知识点．

11.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了数字的变化规律，找出点表示的数的变化规律是解决本题的关键．
序号的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少4，序号在点A的右侧，各点所表示的数依次增加4，于是可得每移动2次点与原点的距离增加4个单位，据此可得．
【解答】
解：第一次点A向左移动4个单位长度至点A1，则A1表示的数，2−4；
第2次从点A1向右移动8个单位长度至点A2，则A2表示的数为2−4+8=2+4；
第3次从点A2向左移动12个单位长度至点A3，则A3表示的数为2+4−12=2−8；
第4次从点A3向右移动16个单位长度至点A4，则A4表示的数为2−8+16=2+8；
第5次从点A4向左移动20个单位长度至点A5，则A5表示的数为2+8−20=2−12；
第6次从点A5向左移动24个单位长度至点A6，则A6表示的数为2−12+24=2+12；
第7次从点A6向左移动28个单位长度至点A7，则A7表示的数为2+12−28=2−16；
第8次从点A7向左移动32个单位长度至点A8，则A8表示的数为2−16+32=2+16；
第9次从点A8向左移动36个单位长度至点A9，则A9表示的数为2+16−36=2−20；
∵|2−20|=20−2>18，
∴如果点An与原点的距离不少于18，n的最小值为9，
故选：C．  
12.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了相反数，互为相反数的两个数的和为0，求代数式的值，变形a2+a=4，再整体代入求代数式的值．
【解答】
解：
因为3a+1与3a2−5互为相反数
所以a+1+a2−5=0
所以a2+a=4
  a3+5a2−4
=a3+a2+4a2−4
=a(a2+a)+4a2−4
=4a+4a2−4
=4(a2+a)−4
=4×4−4
=12．
故选C．  
13.【答案】−73 
【解析】
【分析】
本题考查了解三元一次方程组和求代数式的值的应用，解此题的关键是把z作为已知数，求出x、y的值．再代入通过约分即可求出答案．
【解答】
解：解：x+2y+7z=0①x−2y−3z=0②
①+②得：2x=−4z，
解得：x=−2z，
把x=−2z代入①得：−2z+2y+7z=0
解得：y=−52z，
∴原式=−2z+−52z+z−2z−−52z+z=−72z32z=−73；
故答案为−73．  
14.【答案】x≠−1 
【解析】
【分析】
本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】
解：由题意，得
x+1≠0．
解得x≠−1，
故答案为x≠−1．
  
15.【答案】15.6 
【解析】解：∵AO=CO=8，BO=DO=6，
∴AC=10，四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD于点O，
∴平行四边形ABCD是菱形，AD=10，
∴CD=AD=10，
连接PD，如图所示：
∵S△ADP+S△CDP=S△ADC，
∴12AD⋅PM+12DC⋅PN=12AC⋅OD，
即12×10×PM+12×10×PN=12×16×6，
∴10×(PM+PN)=16×6，
∴PM+PN=9.6，
∴当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，
由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短，
∴当点P与点O重合时，PM+PN+PB有最小值，最小值=9.6+6=15.6，
故答案为：15.6．
证四边形ABCD是菱形，得CD=AD=10，连接PD，由三角形面积关系求出PM+PN=4.8，得当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，则当BP⊥AC时，PB最短，即可得出答案．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

16.【答案】a2+2 
【解析】
【分析】
本题考查了算术平方根及列代数式的知识，知道一个数的算术平方根，平方即可得出这个数，就可得出答案．
【解答】
解：∵一个数的算术平方根是a，
∴这个数为a2，
∴比这个数大2的数是a2+2，
故答案为a2+2．
  
17.【答案】解：(1)设去年文学书单价为x元，则故事书单价为(x+4)元，根据题意得：
 1200x+4=800x，
解得：x=8，
经检验x=8是原方程的解，当x=8时x+4=12，
答：去年文学书单价为8元，则故事书单价为12元．
(2)设这所学校今年购买y本文学书，根据题意得．
8×(1+25%)y+12(200−y)≤2120，
y≥140，
∴y最小值是140；
答：这所中学今年至少要购买140本文学书． 
【解析】(1)设去年文学书单价为x元，则故事书单价为(x+4)元，根据用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等，列出方程，再进行检验即可得出答案；
(2)设这所学校今年购买y本文学书，根据购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，列出不等式，求出不等式的解集即可得出答案．
此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验．

18.【答案】解：(1)设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天．
根据题意，得1x+11.5x=112，
解得x=20，
经检验知x=20是方程的解且符合题意．
1.5x=30
故甲公司单独完成此项工程，需20天，乙公司单独完成此项工程，需30天；
(2)设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为(y−1500)元，
根据题意得12(y+y−1500)=102000，解得y=5000，
甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000=100000(元)；
乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×(5000−1500)=105000(元)；
故甲公司的施工费较少． 
【解析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是从实际问题中整理出等量关系并利用等量关系求解．
(1)设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙工程公司单独完成需1.5x天，根据合作12天完成列出方程求解即可．
(2)分别求得两个公司施工所需费用后比较即可得到结论．

19.【答案】解：原式=3(x−1)(x+1)(x−1)⋅x+13x−1x+1
=x+1x(x+1)−x(x+1)x
=x+1−xx(x+1)
=1x(x+1)，
∵x≠−2，
∴原式=1−2(−2+1)=12． 
【解析】根据运算顺序，先算乘除，再算加减即可．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的约分、通分是解题的关键．

20.【答案】解：设小王开车返回时的平均速度为x千米/小时(x≥70)，
则小王开车去时的平均速度为(x+20)千米/小时，
根据题意得：100x+20−60x=1560，
解得：x=80或x=60(舍去)，
经检验：x=80是原方程的解．
答：小王开车返回时的平均速度为80千米/小时． 
【解析】本题考查了分式方程的应用，根据时间=路程÷速度结合去时与返回时时间的关系列出关于x的分式方程是解题的关键．
设小王开车返回时的平均速度为x千米/小时(x≥70)，则小王开车去时的平均速度为(x+20)千米/小时，根据时间=路程÷速度结合去时与返回时时间的关系即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．

21.【答案】解：BE=CF，理由如下：
∵AB/​/CD，
∴∠ABC=∠BCD．
∵BE、CF分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，
∴∠EBO=12∠ABC，∠FCO=12∠BCD．
∴∠EBO=∠FCO．
又∠EOB=∠FOC，BO=CO，
∴△BEO≌△CFO(ASA)．
∴BE=CF． 
【解析】根据平行线的性质和角平分线定义证明∠EBO=∠FCO，又∠EOB=∠FOC，BO=CO，所以△BEO≌△CFO，从而得到BE=CF．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，求解线段相等的问题一般是找到与此线段有关的三角形，证明两三角形全等即可．

22.【答案】是 
【解析】解：(1)∵(25)2+42=4×32=36，
∴△ABC是常态三角形，
故答案为：是；
(2)∵Rt△ABC是常态三角形，
∴设两直角边长为：a、b，斜边长为c，
则a2+b2=c2，a2+c2=4b2，
∴2a2=3b2，
∴a：b=3：2，
设a=3x，b=2x，
则c=5x，
∴此三角形的三边比为：2：3：5；
(3)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，
∴AD=BD=CD，
∵△BCD是常态三角形，
当CD2+BD2=4×42时，
解得：BD=CD=42，
则AB=82，
∴AC=(82)2−42=47，
∴△ABC的面积为：12×4×47=87，
当CD2+BC2=4×BD2时，
解得：BD=CD=23，
则AB=43，
∴AC=42，
∴△ABC的面积为：12×4×42=82，
∴△ABC的面积为87或82．
(1)由(25)2+42=4×32=36，符合定义；
(2)设两直角边长为：a、b，斜边长为c，则a2+b2=c2，a2+c2=4b2，可得a：b=3：2，从而得出答案；
(3)由△BCD是常态三角形，分CD2+BD2=4×62或CD2+BC2=4×BD2，可分别计算出CD的长，从而解决问题．
本题是新定义题，主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，读懂题意，进行分类讨论是解题的关键．

23.【答案】解：(1)∵∠A=40°，∠B=80°，
∴∠ACB=60°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB=12∠ACB=30°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°−∠B=10°，
∴∠DCE=∠ECB−∠BCD=30°−10°=20°；
(2)∵∠A=α，∠B=β，
∴∠ACB=180°−α−β，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB=12∠ACB=12(180°−α−β)，
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°−∠B=90°−β，
∴∠DCE=∠ECB−∠BCD=12β−12α； 
【解析】(1)根据三角形的内角和得到∠ACB=60°，根据角平分线的定义得到∠ECB=12∠ACB=30°，根据余角的定义得到∠BCD=90°−∠B=10°，于是得到结论；
(2)根据角平分线的定义得到∠ACB=180°−α−β，根据角平分线的定义得到∠ECB=12∠ACB=12(180°−α−β)，根据余角的定义得到∠BCD=90°−∠B=90°−β，于是得到结论．
本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．

24.【答案】解：(1)91−9；
(2)∵a是21−4的整数部分，b是21−4的小数部分，
∵4<21<5，
则0<21−4<1
∴a=4−4=0，b=21−4，
∴(−a)3+(b+4)2
=0+21
=21;
(3)5−7． 
【解析】
【分析】
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
(1)由于81<91<100，可求91的整数部分，进一步得出91的小数部分；
(2)先求出21−4的整数部分和小数部分，再代入代数式进行计算即可；
(3)先求出5在哪两个整数之间，再求出3+5在哪两个整数之间，即可得出3+5的整数部分和小数部分，求出x、y的值，再求出x−y的值，取其相反数即可．
解：(1)∵81<91<100，
∴91的整数部分是9，
∴91的小数部分是91−9．
故答案为91−9；
(2)见答案；
(3)∵2<5<3，
∴5<3+5<6，
∵x是3+5的整数部分，y是其小数部分，
∴x=5，y=3+5−5=5−2，
∴x−y=5−(5−2)=7−5．
则x−y的相反数为5−7．
故答案为5−7．  
25.【答案】解：(1)2−2；
(2)∵m=2−2，则m+1>0，m−1<0，
∴|m+1|+|m−1|=m+1+1−m=2；
答：|m+1|+|m−1|的值为2．
(3)∵|2c+4|与d−4互为相反数，
∴|2c+4|+d−4=0，
∴|2c+4|=0，且d−4=0，
解得：c=−2，d=4，
∴2c+3d=8，
∴2c−3d的平方根为±2．
答：2c−3d的平方根为±2． 
【解析】
【分析】
本题考查了数轴、非负数的性质、绝对值的意义，比较简单．
(1)点A表示−2，蚂蚁沿着x轴向右爬了2个单位到达点B，B所表示的数为−2+2；
(2)m=2−2，则m+1>0，m−1<0，进而化简|m+1|+|m−1|，并求出代数式的值；
(3)根据非负数的意义，列方程求出c、d的值，进而求出2c+3d的值，再求出2c+3d的平方根．
【解答】
解：(1)由题意，得m=−2+2=2−2；
(2)(3)见答案．