【阶段测试】湘教版数学八年级上册--第五章《二次根式》单元测试卷（标准难度）（含答案）

这是一份【阶段测试】湘教版数学八年级上册--第五章《二次根式》单元测试卷（标准难度）（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湘教版初中数学八年级上册第五章《二次根式》单元测试卷
考试范围：第五章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知y=4x2−4x+1+5.当0≤x≤2时，则y的取值范围是(    )
A. 5≤y≤6 B. 5≤y≤8 C. 6≤y≤8 D. 4≤y≤6
2. 若y=x−2+4−2x−3，则(x+y)2022等于(    )
A. 1 B. 5 C. −5 D. −1
3. 设a，b，为非零实数，则a|a|+b2b所有可能的值为(    )
A. ±2 B. ±1或0 C. ±2或0 D. ±2或±1
4. 已知x、y为实数，且y=x−8−8−x+25.则3x+y的值为(    )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5. 已知−1 A. 2a B. 2a+2a C. 2a D. −2a
6. 下列各式一定是二次根式的是(    )
A. x B. 9 C. 35 D. −x2−3
7. 把m−1m根号外的因式移入根号内得(    )
A. m B. −m C. −m D. −−m
8. 下列各根式中，最简二次根式是(
A. B. C. D.
9. 已知a=7+2，b=7−2，则a2+b2的值为(    )
A. 83 B. 34 C. 22 D. 8
10. 下列运算正确的是(    )
A. 2+3=5 B. 22×3=62
C. 8÷2=2 D. 32−2=3
11. 如图，在甲、乙两个大小不同的6×6的正方形网格中，正方形ABCD，EFGH分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形ABCD，EFGH的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为S甲，S乙，有如下三个结论：
①正方形ABCD的面积等于S甲的一半；
②正方形EFGH的面积等于S乙的一半；
③S甲：S乙=9：10．
上述结论中，所有正确结论的序号是(    )

A. ①② B. ②③ C. ③ D. ①②③
12. 下列各式计算正确的是(    )
A. 33−23=1 B. (5+3)(5−3)=2
C. 35=35 D. −(−15)2=15
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 若20n是整数，则最小正整数n的值为          .
14. 仔细观察下列式子：223=223，338=338，4415=4415，…，则第5个同类型的式子为______．
15. 已知(x−2)2=2−x，则x的取值范围是_________．
16. 观察下列等式：
①3−22=(2−1)2，
②5−26=(3−2)2，
③7−212=(4−3)2，
…
请你根据以上规律，写出第6个等式______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知m是2的小数部分，求m2+1m2−2的值．
18. (本小题8.0分)
已知实数x，y，z满足：y=x−3+3−x+4，z的平方根等于它本身，求x+y−z的值．
19. (本小题8.0分)
不用计算器，比较23+2与6−2.1的大小，并说明理由．
20. (本小题8.0分)
先化简，再求值：1a+b+1b+ba(a+b)，其中a=3+1，b=3−1．
21. (本小题8.0分)
阅读下列运算过程：
①13=33×3=33，
②15+2=5−2(5+2)(5−2)=5−25−2=5−23
数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”.模仿上述运算过程，完成下列各题：
(1)32
(2)11+2+12+3+13+4+…198+99+199+100．
22. (本小题8.0分)
已知A=(mn−nm)⋅3mnm−n．
(1)化简A；
(2)若m+n−23=0，求A的值．
23. (本小题8.0分)
计算
(1)2×3−24+|−6|；
(2)(5+3)(5−3)−4．
24. (本小题8.0分)
如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造矩形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，他们借助此图求出了△ABC的面积．
(1)在图1中，所画出的△ABC的三边长分别是AB=______，BC=______，AC=______，△ABC的面积为______；
(2)若△ABC中有两边的长分别为25a，10a(a>0)，且△ABC的面积为5a2，试在图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a)中画出所有符合题意的△ABC(全等的三角形视为同一种情况)，并直接写出它的第三条边长．


25. (本小题8.0分)
我国南宋时期数学家秦九韶，曾经提出用三角形的三边求面积的秦九韶公式．他的方法大致如下：如图，给定一个三角形ABC，三边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC于D，AD为Rt△ADC，Rt△ADB的公共边，则可以利用这个等量关系，运用勾股定理建立方程，求出BD，再求出高AD，从而求出三角形ABC的面积．请你用这一方法，解决下列问题：
已知△ABC，AB=13，AC=15，BC=14，求△ABC的面积．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：y=4x2−4x+1+5=(2x−1)2+5=|2x−1|+5．
∵0≤x≤2，
∴0≤|2x−1|≤3．
∴5≤|2x−1|+5≤8，即5≤y≤8．
故选：B．
先化简二次根式，然后由不等式的性质来解答．
考查了二次根式的性质与化简，不等式的性质，注意：二次根式的被开方数是非负数．

2.【答案】A 
【解析】解：∵y=x−2+4−2x−3，
∴x−2≥0，4−2x≥0．
∴x≥2，x≤2．
∴x=2．
∴y=x−2+4−2x−3=0+0−3=−3．
∴(x+y)2022=(2−3)2022=(−1)2022=1．
故选：A．
根据二次根式有意义的条件得x=2，从而求得y=−3，进而解决此题．
本题主要考查二次根式、有理数的乘方，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键．

3.【答案】C 
【解析】解：当a>0，b>0时，原式=aa+bb=2，
当a>0，b<0时，原式=aa+−bb=0，
当a<0，b>0时，原式=a−a+bb=0，
当a<0，b<0时，原式=a−a+−bb=−2，
综上所述，原式所有可能的值为±2或0，
故选：C．
分a>0，b>0；a>0，b<0；a<0，b>0；a<0，b<0四种情况，根据绝对值的性质、二次根式的性质计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握绝对值的性质、二次根式的性质是解题的关键．

4.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查二次根式的非负性，根据二次根式的被开方数是非负数求得x=8，则y=25，代入求值即可．
【解答】
解：由题意，得x−8≥08−x≥0，
解得x=8．
所以y=25，
所以3x+y=38+25=2+5=7．  
5.【答案】D 
【解析】解：∵−1 ∴(a+1a)2−4+(a−1a)2+4
=a2+1a2+2−4+a2−2+1a2+4
=(a−1a)2+(a+1a)2
=a−1a−(a+1a)
=−2a．
故选：D．
直接利用完全平方公式结合a的取值范围、二次根式的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．

6.【答案】B 
【解析】略

7.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的乘除，正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．二次根式成立的条件：被开方数大于等于0，含分母的分母不为0.根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答. 
【解答】
解：∵m−1m成立，
∴−1m>0，即m<0，
原式=−−m2−1m=−−m．
故选D．  
8.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含开得尽方的因数或因式. 
逐一判断，即可解答．
【解答】
解：a2+b22，是最简二次根式； 
2a2b=a2b，不是最简二次根式；
16=66，不是最简二次根式；
8a=22a，不是最简二次根式；
故选A  
9.【答案】C 
【解析】解：∵a=7+2，b=7−2，
∴a+b=7+2+7−2=27，
ab=(7+2)×(7−2)=7−4=3，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab=(27)2−2×3=28−6=22，
故选：C．
先分别根据二次根式的加法法则和二次根式的乘法法则求出a+b和ab的值，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可．
本题考查了二次根式的化简求值和完全平方公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：A．2和3不能合并，故本选项不符合题意；
B.22×3=26，故本选项不符合题意；
C.8÷2
=82
=4
=2，故本选项符合题意；
D.32−2=22，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的加减法则即可判断选项A和选项D，根据二次根式的乘法法则即可判断选项B，根据二次根式的除法法则即可判断选项C．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．

11.【答案】B 
【解析】解：①S正方形ABCD=42+22=20，
正方形网格的面积为：62=36，
∴SABCDS甲=2036=59，
故①结论错误；
②S正方形EFGH=32+32=18，
正方形网格的面积为：62=36，
∴SEFGHS乙=1836=12，
故②结论正确；
③由①得：SABCDS甲=59，则S甲=95SABCD，
由②得：SEFGHS乙=12，则S乙=2SEFGH，
∴S甲S乙=95SABCD2SEFGH，
∵正方形ABCD，EFGH的面积相等，
∴S甲S乙=952=910，
故③结论正确．
故选：B．
①分别求出正方形ABCD的面积及正方形网格的面积，再进行比较即可；
②分别求出正方形EFGH的面积及正方形网格的面积，再进行比较即可；
③结合①②进行求解即可．
本题主要考查二次根式的应用，解答的关键是根据所给的图形表示出相应的图形的面积．

12.【答案】B 
【解析】解：A.33−23=3，故本选项不符合题意；
B.(5+3)(5−3)
=(5)2−(3)2
=5−3
=2，故本选项符合题意；
C.35=3×5(5)2=155，故本选项不符合题意；
D.−(−15)2=−15，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的减法法则即可判断选项A；根据平方差公式和二次根式的性质即可判断选项B；先分母有理化，再根据求出的结果即可判断选项C；根据二次根式的性质进行判断选项D．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．

13.【答案】5 
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的定义，
根据二次根式是一个整数，可得被开方数能化成平方的形式，可得答案．
【解答】
解：∵20n=22×5n=25n，
又∵20n是一个整数，
∴最小的正整数n是5．
故答案为：5．  
14.【答案】6635=6635 
【解析】解：∵223=223，338=338，4415=4415，…，
∴第n个式子为：(n+1)n+1(n+1)2−1=(n+1)n+1(n+1)2−1，
∴第5个式子为：6635=6635．
故答案为：6635=6635．
根据所给的式子进行解答即可．
本题主要考查二次根式的性质与化简，规律型，数字的变化类，解答的关键是分析清楚等式左右两边的规律．

15.【答案】x≤2 
【解析】解：∵(x−2)2=2−x，
∴x−2≤0，
x≤2
则x的取值范围是x≤2
故答案为：x≤2．
根据已知得出x−2≤0，求出不等式的解集即可．
本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≤0时，a2=−a．

16.【答案】13−242=(7−6)2 
【解析】解：写出第6个等式为13−242=(7−6)2．
故答案为13−242=(7−6)2．
第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n(n+1)，利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为(n+1−n)2(n≥1的整数)．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

17.【答案】解：由m是2的小数部分，得m=2−1．
m2+1m2−2=|m−1m|=|2−1−12−1|
=|2−1−(2+1)|
=|2−1−2−1|=2． 
【解析】根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据二次根式的分母有理化，可得答案．
本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质，分母有理化．

18.【答案】解：由题意得，x−3≥0且3−x≥0，
解得x≥3且x≤3，
所以，x=3，
y=4，
∵z的平方根等于它本身，
∴z=0，
∴x+y−z=3+4−0=3+2=5． 
【解析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，根据平方根的定义求出z的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，平方根和算术平方根的定义．

19.【答案】解：∵23+2=2(3−2)(3+2)(3−2)=6−2，
而6−2>6−2.1，
∴23+2>6−2.1． 
【解析】将23+2分母有理化，然后将结果与6−2.1比较大小，则可得结论．
本题考查了分母有理化在实数大小比较中的应用，掌握分母有理化的方法是解题的关键．

20.【答案】解：1a+b+1b+ba(a+b)
=abab(a+b)+a(a+b)ab(a+b)+b2ab(a+b)
=a2+2ab+b2ab(a+b)
=(a+b)2ab(a+b)
=a+bab．
当a=3+1，b=3−1时，
原式=(3+1)+(3−1)(3+1)(3−1)=232=3． 
【解析】先把分式通分进行加减运算，再把字母的取值代入即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

21.【答案】解：(1)原式=322×2=322；
(2)原式=2−1+3−2+4−3+…+99−98+100−99
=100−1
=10--1
=9． 
【解析】(1)根据二次根式的乘法，可分母有理化；
(2)根据二次根式的乘法，平方差公式，可得答案．
本题考查了分母有理化，利用了二次根式的乘法，平方差公式．

22.【答案】解：(1)A=(mn−nm)⋅3mnm−n
=m2−n2mn⋅3mnm−n
=(m+n)(m−n)mn⋅3mnm−n
=3(m+n)；
(2)∵m+n−23=0，
∴m+n=23，
当m+n=23时，
A=3×23=6． 
【解析】(1)根据分式的减法和乘法可以化简A；
(2)根据m+n−23=0，可以得到m+n=23，然后代入(1)中化简后的A，即可求得A的值．
本题主要考查了分式的化简求值，熟练运用分式运算法则化简是解题的关键，注意代入计算要仔细，属于常考题型．

23.【答案】解：(1)2×3−24+|−6|
=6−26+6
=0；

(2)(5+3)(5−3)−4
=5−3−2
=0． 
【解析】(1)先根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质和绝对值进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可；
(2)先根据平方差公式和二次根式的性质进行计算，再算加减即可．
本题考查了二次根式的混合运算和平方差公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．

24.【答案】10 17 13  5.5 
【解析】解：(1)AB=12+32=10，BC=42+12=17，AC=23+32=13，
S△ABC=3×4−12×1×3−12×2×3−12×1×4=5.5，
故答案为：10，17，13，5.5；
(2)如图2中，△ABC即为所求．第三边BC的长10a，

(1)利用勾股定理三角形的面积公式求解；
(2)利用数形结合的思想画出图形即可．
本题考查作图−应用与设计作图，二次根式的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

25.【答案】解：设BD的长为x，则CD的长为14−x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD2=AB2−BD2，AD2=AC2−CD2，
∴AB2−BD2=AC2−CD2，
∵AB=13，AC=15，
∴132−x2=152−(14−x)2，
解得x=5，
∴BD=5，CD=14−x=9，
∴AD2=132−52，
解得AD=12，
∴S△ABC=BC⋅AD2=14×122=84，
即△ABC的面积是84． 
【解析】根据题意和题目中的数据，利用勾股定理可以列出相应的方程，然后求出BD的长，再求出AD的长，即可计算出△ABC的面积．
本题考查勾股定理、数学常识、二次根式的应用，解答本题的关键是求出BD和AD的长．