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人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精品同步训练题
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精品同步训练题，共7页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。
《第二章 直线和圆的方程》培优专练
一、选择题
1.点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.2
2.[2021北京卷]已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=kx+m,当k的值发生变化时,直线l被圆C所截得的弦长的最小值为2,则m的值为( )
A.±2 B.±2 C.±3 D.±3
3.[2020全国Ⅱ卷文]若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为( )
A.55 B.255 C.355 D.455
4.[2020北京卷]已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
5.(多选)[2021新高考Ⅱ卷]已知直线l:ax+by-r2=0(r>0)与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是( )
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
6.(多选)[2021新高考Ⅰ卷]已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则( )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=32
D.当∠PBA最大时,|PB|=32
7.[2021华东师范大学第二附属中学高二上月考]唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为B(-2,0),若将军从山脚下的点A(13,0)处出发,河岸线所在直线的方程为x+2y=3,则“将军饮马”的最短总路程为( )
A.1453 B.5 C.15 D.163
8.[2022云南师大附中高三月考]在一个半圆中有两个互切的内切半圆,由三个半圆弧围成“曲线三角形”,作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块,阿基米德发现被分隔的这两块的内切圆是同样大小的,由于其形状很像皮匠用来切割皮料的刀子,他称此为“皮匠刀定理”.如图,若|AC|=2|CB|,则阴影部分与最大半圆的面积比为( )
A.1081 B.2081 C.49 D.89
9.众所周知的“太极图”,其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”的一部分,整个图形是一个圆形,其中阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆.已知直线l:y=a(x-2),给出以下命题:①当a=0时,若直线l截阴影区域所得两部分的面积分别为S1,S2(S1≥S2),则S1∶S2=3∶1;②当a=-43时,直线l与阴影区域有1个公共点;③当a∈(0,1)时,直线l与阴影区域有2个公共点.其中所有正确命题的序号是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
二、非选择题
10.[2021上海春季卷]直线x=-2与直线3x-y+1=0的夹角为 .
11.[2020浙江卷]已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k= ,b= .
12.[2021天津卷]若斜率为3的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B,则|AB|= .
13.[2019浙江卷]已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m= ,r= .
14.[2022 T8联考]在平面直角坐标系中,若正方形的四条边所在的直线分别经过点A(1,0),B(2,0),C(4,0),D(8,0),则这个正方形的面积可能为 或 .(每条横线上只填写一个可能结果)
15.[2019全国Ⅰ卷文]已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.若A在直线x+y=0上,求☉M的半径.
参考答案
一、选择题
1.B 方法一 由点到直线的距离公式,知点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d=|k·0−(−1)+k|k2+(−1)2=|k+1|k2+1=k2+2k+1k2+1=1+2kk2+1.当k=0时,d=1;当k≠0时,d=1+2kk2+1=1+2k+1k≤2,当且仅当k=1时等号成立.综上,dmax=2,故选B.
方法二 记点A(0,-1),直线y=k(x+1)恒过点B(-1,0),当AB垂直于直线y=k(x+1)时,点A(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离最大,且最大值为|AB|=2,故选B.
2.C 设直线l与y轴交于点A(0,m),由题意知,圆心C(0,0),当k的值发生变化时,要使直线l被圆C所截得的弦长最小,则圆心C到直线l的距离最大,为|AC|,即|m|=22−12=3,所以m=±3.
3.B 因为圆与两坐标轴都相切,所以可设圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=a2,又点(2,1)在该圆上,所以(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为|2×1−1−3|22+(−1)2=255或|2×5−5−3|22+(−1)2=255,故选B.
4.A 设该圆的圆心为(a,b),则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1,因为该圆过点(3,4),所以(3-a)2+(4-b)2=1,此式子表示点(a,b)在以(3,4)为圆心,1为半径的圆上,则点(a,b)到原点的距离的最小值为32+42−1=4,故选A.
5.ABD 对于A,若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以圆心C(0,0)到直线l的距离d=r2a2+b2=r,所以直线l与圆C相切,故A正确;对于B,若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2r,所以直线l与圆C相离,故B正确;对于C,若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以圆心C(0,0)到直线l的距离d=r2a2+b2
7.A 如图所示,设点B(-2,0)关于直线x+2y=3的对称点为C(x1,y1),则y1x1+2·(−12)=−1x1−22+2·y12=3,解得x1=0y1=4,即C(0,4),则|AC|=(0−13)2+(4−0)2=1453,所以“将军饮马”的最短总路程为1453.
8.B 设|BC|=2r,则|AC|=4r,|AB|=6r,建立如图所示的平面直角坐标系,则C(0,0),
O1(-2r,0),O(-r,0),O2(r,0).设O3(-a,t),则(2r+a)2-(2r-a)2=t2,得t=22ar,所以O3(-a,22ar).由圆O与圆O3内切,得(−a+r)2+(22ar)2=3r-a,解得a=23r.由“皮匠刀定理”可得圆O4的半径为2r3.S阴影=12π·(3r)2−12π·(2r)2−12πr2-2π·(2r3)2=10πr29,所以S阴影S大半圆=10πr2992πr2=2081. 故选B.
9.A 如图1所示.大圆的半径为2,面积为4π,小圆的半径均为1,面积均为π,所以大圆的四分之一面积为π,小圆的一半面积为π2.对于①,当a=0时,直线l:y=0,即直线l为x轴,所以S1=π+π2=3π2,S2=π−π2=π2,所以S1∶S2=3∶1,故①正确.
对于②,根据题意,阴影区域在y轴右侧的边界为半圆,其方程为x2+(y-1)2=1(x>0),当a=−43时,直线l:y=−43(x-2),即4x+3y-8=0,此时半圆圆心(0,1)到直线l的距离d=|3−8|42+32=1,等于半圆半径,所以直线l与该半圆相切,如图2所示,所以直线l与阴影区域只有一个公共点,故②正确.
对于③,当a∈(0,1)时,如图3所示,直线l:y=a(x-2)与阴影区域的公共部分为一条线段,有无数个公共点,故③错误.
综上所述,①②正确.
二、非选择题
10.π6 解析 由于直线x=-2的倾斜角为π2,直线3x-y+1=0即直线y=3x+1,其倾斜角为π3,故夹角为π6.
11. 33 −233 解析 因为直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1,圆(x-4)2+y2=1都相切,所以|b|1+k2=|4k+b|1+k2=1,得k=33,b=−233.
12. 3 解析 设直线AB的方程为y=3x+b,圆x2+(y-1)2=1的圆心为C,半径为r,则C(0,1),r=1.由直线AB与圆相切,可知圆心C(0,1)到直线AB的距离d=r,即|b−1|2=1,所以|b-1|=2.连接BC,在Rt△ABC中,|AC|=|b-1|=2,|BC|=1,所以|AB|=|AC|2−|BC|2=22−12=3.
13.-2 5 解析 方法一 设过点A(-2,-1)且与直线2x-y+3=0垂直的直线方程为 l:x+2y+t=0,则-2-2+t=0,所以t=4,所以l:x+2y+4=0.令x=0,得y=-2,则m=-2,r=(−2−0)2+(−1+2)2=5.
方法二 因为直线2x-y+3=0与以点(0,m)为圆心的圆相切,且切点为A(-2,-1),所以m+10−(−2)×2=-1,
所以m=-2,r=(−2−0)2+(−1+2)2=5.
14. 1617或365或19653(三个结果只要求填写两个,不考虑数据排序) 解析 不妨设正方形的四条边所在的直线分别为l1,l2,l3,l4,它们分别经过点A,B,C,D,直线l1的倾斜角为θ(0<θ<π2),正方形的边长为a.
①如图1,若l1∥l2,则l3∥l4,且l3⊥l1,从而l3的倾斜角为θ+π2.因为|AB|=1,所以l1与l2之间的距离为sin θ,所以a=sin θ.因为|CD|=4,所以l3与l4之间的距离为4sin[π-(θ+π2)]=4cos θ,所以a=4cos θ,所以sin θ=4cos θ,则sin2θ=16cos2θ=16(1-sin2θ),得sin2θ=1617,则正方形的面积S=sin2θ=1617.
②如图2,若l1∥l3,则l2∥l4,且l2⊥l1,从而l2的倾斜角为θ+π2.因为|AC|=3,所以l1与l3之间的距离为3sin θ,所以a=3sin θ.因为|BD|=6,所以l2与l4之间的距离为6sin[π-(θ+π2)]=6cos θ,所以a=6cos θ,所以3sin θ=6cos θ,则sin2θ=4cos2θ=4(1-sin2θ),得sin2θ=45,则正方形的面积S=9sin2θ=365.
③如图3,若l1∥l4,则l2∥l3,且l2⊥l1,从而l2的倾斜角为θ+π2.因为|AD|=7,所以l1与l4之间的距离为7sin θ,所以a=7sin θ.因为|BC|=2,所以l2与l3之间的距离为2sin[π-(θ+π2)]=2cos θ,所以a=2cos θ,所以7sin θ=2cos θ,则49sin2θ=4cos2θ=4(1-sin2θ),得sin2θ=453,则正方形的面积S=49sin2θ=19653.
15. 解析 因为☉M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.
由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).
因为☉M与直线x+2=0相切,所以☉M的半径为r=|a+2|.
连接MA,由已知得|AO|=2,又MO⊥AO,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.
故☉M的半径r=2或r=6.
《第二章 直线和圆的方程》培优专练
一、选择题
1.点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.2
2.[2021北京卷]已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=kx+m,当k的值发生变化时,直线l被圆C所截得的弦长的最小值为2,则m的值为( )
A.±2 B.±2 C.±3 D.±3
3.[2020全国Ⅱ卷文]若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为( )
A.55 B.255 C.355 D.455
4.[2020北京卷]已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
5.(多选)[2021新高考Ⅱ卷]已知直线l:ax+by-r2=0(r>0)与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是( )
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
6.(多选)[2021新高考Ⅰ卷]已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则( )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=32
D.当∠PBA最大时,|PB|=32
7.[2021华东师范大学第二附属中学高二上月考]唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为B(-2,0),若将军从山脚下的点A(13,0)处出发,河岸线所在直线的方程为x+2y=3,则“将军饮马”的最短总路程为( )
A.1453 B.5 C.15 D.163
8.[2022云南师大附中高三月考]在一个半圆中有两个互切的内切半圆,由三个半圆弧围成“曲线三角形”,作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块,阿基米德发现被分隔的这两块的内切圆是同样大小的,由于其形状很像皮匠用来切割皮料的刀子,他称此为“皮匠刀定理”.如图,若|AC|=2|CB|,则阴影部分与最大半圆的面积比为( )
A.1081 B.2081 C.49 D.89
9.众所周知的“太极图”,其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”的一部分,整个图形是一个圆形,其中阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆.已知直线l:y=a(x-2),给出以下命题:①当a=0时,若直线l截阴影区域所得两部分的面积分别为S1,S2(S1≥S2),则S1∶S2=3∶1;②当a=-43时,直线l与阴影区域有1个公共点;③当a∈(0,1)时,直线l与阴影区域有2个公共点.其中所有正确命题的序号是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
二、非选择题
10.[2021上海春季卷]直线x=-2与直线3x-y+1=0的夹角为 .
11.[2020浙江卷]已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k= ,b= .
12.[2021天津卷]若斜率为3的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B,则|AB|= .
13.[2019浙江卷]已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m= ,r= .
14.[2022 T8联考]在平面直角坐标系中,若正方形的四条边所在的直线分别经过点A(1,0),B(2,0),C(4,0),D(8,0),则这个正方形的面积可能为 或 .(每条横线上只填写一个可能结果)
15.[2019全国Ⅰ卷文]已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.若A在直线x+y=0上,求☉M的半径.
参考答案
一、选择题
1.B 方法一 由点到直线的距离公式,知点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d=|k·0−(−1)+k|k2+(−1)2=|k+1|k2+1=k2+2k+1k2+1=1+2kk2+1.当k=0时,d=1;当k≠0时,d=1+2kk2+1=1+2k+1k≤2,当且仅当k=1时等号成立.综上,dmax=2,故选B.
方法二 记点A(0,-1),直线y=k(x+1)恒过点B(-1,0),当AB垂直于直线y=k(x+1)时,点A(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离最大,且最大值为|AB|=2,故选B.
2.C 设直线l与y轴交于点A(0,m),由题意知,圆心C(0,0),当k的值发生变化时,要使直线l被圆C所截得的弦长最小,则圆心C到直线l的距离最大,为|AC|,即|m|=22−12=3,所以m=±3.
3.B 因为圆与两坐标轴都相切,所以可设圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=a2,又点(2,1)在该圆上,所以(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为|2×1−1−3|22+(−1)2=255或|2×5−5−3|22+(−1)2=255,故选B.
4.A 设该圆的圆心为(a,b),则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1,因为该圆过点(3,4),所以(3-a)2+(4-b)2=1,此式子表示点(a,b)在以(3,4)为圆心,1为半径的圆上,则点(a,b)到原点的距离的最小值为32+42−1=4,故选A.
5.ABD 对于A,若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以圆心C(0,0)到直线l的距离d=r2a2+b2=r,所以直线l与圆C相切,故A正确;对于B,若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2
7.A 如图所示,设点B(-2,0)关于直线x+2y=3的对称点为C(x1,y1),则y1x1+2·(−12)=−1x1−22+2·y12=3,解得x1=0y1=4,即C(0,4),则|AC|=(0−13)2+(4−0)2=1453,所以“将军饮马”的最短总路程为1453.
8.B 设|BC|=2r,则|AC|=4r,|AB|=6r,建立如图所示的平面直角坐标系,则C(0,0),
O1(-2r,0),O(-r,0),O2(r,0).设O3(-a,t),则(2r+a)2-(2r-a)2=t2,得t=22ar,所以O3(-a,22ar).由圆O与圆O3内切,得(−a+r)2+(22ar)2=3r-a,解得a=23r.由“皮匠刀定理”可得圆O4的半径为2r3.S阴影=12π·(3r)2−12π·(2r)2−12πr2-2π·(2r3)2=10πr29,所以S阴影S大半圆=10πr2992πr2=2081. 故选B.
9.A 如图1所示.大圆的半径为2,面积为4π,小圆的半径均为1,面积均为π,所以大圆的四分之一面积为π,小圆的一半面积为π2.对于①,当a=0时,直线l:y=0,即直线l为x轴,所以S1=π+π2=3π2,S2=π−π2=π2,所以S1∶S2=3∶1,故①正确.
对于②,根据题意,阴影区域在y轴右侧的边界为半圆,其方程为x2+(y-1)2=1(x>0),当a=−43时,直线l:y=−43(x-2),即4x+3y-8=0,此时半圆圆心(0,1)到直线l的距离d=|3−8|42+32=1,等于半圆半径,所以直线l与该半圆相切,如图2所示,所以直线l与阴影区域只有一个公共点,故②正确.
对于③,当a∈(0,1)时,如图3所示,直线l:y=a(x-2)与阴影区域的公共部分为一条线段,有无数个公共点,故③错误.
综上所述,①②正确.
二、非选择题
10.π6 解析 由于直线x=-2的倾斜角为π2,直线3x-y+1=0即直线y=3x+1,其倾斜角为π3,故夹角为π6.
11. 33 −233 解析 因为直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1,圆(x-4)2+y2=1都相切,所以|b|1+k2=|4k+b|1+k2=1,得k=33,b=−233.
12. 3 解析 设直线AB的方程为y=3x+b,圆x2+(y-1)2=1的圆心为C,半径为r,则C(0,1),r=1.由直线AB与圆相切,可知圆心C(0,1)到直线AB的距离d=r,即|b−1|2=1,所以|b-1|=2.连接BC,在Rt△ABC中,|AC|=|b-1|=2,|BC|=1,所以|AB|=|AC|2−|BC|2=22−12=3.
13.-2 5 解析 方法一 设过点A(-2,-1)且与直线2x-y+3=0垂直的直线方程为 l:x+2y+t=0,则-2-2+t=0,所以t=4,所以l:x+2y+4=0.令x=0,得y=-2,则m=-2,r=(−2−0)2+(−1+2)2=5.
方法二 因为直线2x-y+3=0与以点(0,m)为圆心的圆相切,且切点为A(-2,-1),所以m+10−(−2)×2=-1,
所以m=-2,r=(−2−0)2+(−1+2)2=5.
14. 1617或365或19653(三个结果只要求填写两个,不考虑数据排序) 解析 不妨设正方形的四条边所在的直线分别为l1,l2,l3,l4,它们分别经过点A,B,C,D,直线l1的倾斜角为θ(0<θ<π2),正方形的边长为a.
①如图1,若l1∥l2,则l3∥l4,且l3⊥l1,从而l3的倾斜角为θ+π2.因为|AB|=1,所以l1与l2之间的距离为sin θ,所以a=sin θ.因为|CD|=4,所以l3与l4之间的距离为4sin[π-(θ+π2)]=4cos θ,所以a=4cos θ,所以sin θ=4cos θ,则sin2θ=16cos2θ=16(1-sin2θ),得sin2θ=1617,则正方形的面积S=sin2θ=1617.
②如图2,若l1∥l3,则l2∥l4,且l2⊥l1,从而l2的倾斜角为θ+π2.因为|AC|=3,所以l1与l3之间的距离为3sin θ,所以a=3sin θ.因为|BD|=6,所以l2与l4之间的距离为6sin[π-(θ+π2)]=6cos θ,所以a=6cos θ,所以3sin θ=6cos θ,则sin2θ=4cos2θ=4(1-sin2θ),得sin2θ=45,则正方形的面积S=9sin2θ=365.
③如图3,若l1∥l4,则l2∥l3,且l2⊥l1,从而l2的倾斜角为θ+π2.因为|AD|=7,所以l1与l4之间的距离为7sin θ,所以a=7sin θ.因为|BC|=2,所以l2与l3之间的距离为2sin[π-(θ+π2)]=2cos θ,所以a=2cos θ,所以7sin θ=2cos θ,则49sin2θ=4cos2θ=4(1-sin2θ),得sin2θ=453,则正方形的面积S=49sin2θ=19653.
15. 解析 因为☉M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.
由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).
因为☉M与直线x+2=0相切,所以☉M的半径为r=|a+2|.
连接MA,由已知得|AO|=2,又MO⊥AO,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.
故☉M的半径r=2或r=6.
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