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【单元测试】湘教版数学九年级上册--第三章《图形的相似》单元测试卷（困难）（含答案）
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这是一份【单元测试】湘教版数学九年级上册--第三章《图形的相似》单元测试卷（困难）（含答案），共29页。
湘教版初中数学九年级上册第三章《图形的相似》单元测试卷
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160 cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为( )
A. 6 cm B. 10 cm C. 4 cm D. 8 cm
2. 一种零件的长是2毫米，在一幅设计图上的长是40厘米，这幅设计图的比例尺是( )
A. 200：1 B. 2000：1 C. 1：2000 D. 1：200
3. 若xy+z=yx+z=zx+y=k，则k=( )
A. 0 B. 12 C. −1 D. 12或−1
4. 如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，E是BC的中点，AD // BC，AE // DC，EF⊥CD于点F.下列结论错误的是( )
A. 四边形AECD的周长是20 B. △ABC∽△FEC
C. ∠B+∠ACD=90° D. EF的长为245
5. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．作EM//NG//AD.若GF=2FM，则MN：FD的值为( )
A. 233
B. 52
C. 54
D. 1
6. 已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 下列关于相似的命题： ①菱形都相似; ②等腰直角三角形都相似; ③正方形都相似; ④矩形都相似; ⑤正六边形都相似.其中，真命题有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE=2AE；
②△DFP～△BPH；
③△PFD～△PDB；
④DP2=PH⋅PC．
其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E.使得∠CDE=15°，连接BE并延长BE到F，使CF=CB，BF与CD相交于点H，若AB=1，有下列结论：①BE=DE；②CE+DE=EF；③S△DEC=14−312；④DHHC=23−1.则其中正确的结论有( )
A. ①②③ B. ①②③④ C. ①②④ D. ①③④
10. 如图，一个斜边长为6cm的红色直角三角形纸片，一个斜边长为10cm的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是( )
A. 30cm2 B. 40cm2 C. 50cm2 D. 60cm2
11. 为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出图形如图所示，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，点C在BD上。有四位同学分别测量出以下四组数据，能根据所测数据求出A，B间距离的有．( )
①BC，∠ACB
②CD，∠ACB，∠ADB
③EF，DE，BD
④DE，DC，BC
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
12. 如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的49，则AO：AD的值为( )
A. 2：3 B. 2：5 C. 4：9 D. 4：13
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 两个数4+3与4−3的比例中项是______．
14. 如图，直线A1A//BB1//CC1，若AB=8，BC=4，A1B1=6，则线段B1C1的长是_____________.
15. 如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA上运动，PQ=12，若△AQD与△BCP相似，则AQ的长是______．
16. 如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1=∠2.测得EF=15米，FM=2米，MN=8米，∠ANE=45°，则场地的边AB为______米，BC为______米．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．
18. (本小题8.0分)
如图 ①，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，若AC=5−12AB，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段AB上另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，若BD=5−12AB，则称点D是线段AB的黄金“左割”点．
请根据以上材料，回答下列问题：
(1)如图 ①，若AB=8，点C和点D分别是线段AB的黄金“右割”点、黄金“左割”点，则DC= ；
(2)如图 ②，若数轴上有M，P，Q，N四个点，它们分别对应的实数为m，p，q，n，且m
19. (本小题8.0分)
如图，CG⊥CF，∠MCF=120°，点B是射线CF上的一个动点，D是CM上的一点，BD长度不变，BD交CG于点E，点A是CG上一点，且BA=BD，连接AD．
(1)若∠DBC=30°，求BEDE的值．
(2)若BCCD=m.
①求BEDE(用含m的式子表示)；
② 求证：BC2=m(AC2−CD2)；
(3)若SΔBCD=3SΔACD，求CDAC的值．
20. (本小题8.0分)
如图，方格纸上的小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B都在格点上(两条网格线的交点叫格点)，请用无刻度直尺完成下列问题：
(1)将线段AB绕点A逆时针旋转90°，得到旋转后的线段AB′；
(2)连接BB′，则△ABB′的面积=_________；
(3)在线段AB′上画出点D，使S△ABD=45S△ABB′(要求只能通过连接格点方式作图)．
21. (本小题8.0分)
如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC=90°，AD=4.点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE.将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α(0°<α<90°)．
(1)如图2，在旋转过程中，
①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；
②当CE=CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．
(2)如图3，延长CE交直线AG于点P．
①求证：AG⊥CP；
②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
22. (本小题8.0分)
如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG．
(1)求证：△DOG≌△COE；
(2)若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM=12，求正方形OEFG的边长．
23. (本小题8.0分)
如图，身高1.5米的人站在两棵树之间，距较高的树5米，距较矮的树3米，若此人观察的树梢所成的视线的夹角是90°，且较矮的树高4米，那么较高的树有多少米？
24. (本小题8.0分)
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
(1)若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
(2)若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？
25. (本小题8.0分)
如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，已知点O及△ABC的顶点均为网格线的交点．
(1)将△ABC绕着点B顺时针旋转90°，得到△A1BC1，请在网格中画出△A1BC1；
(2)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的三倍，得到△A′B′C′，请在网格中画出△A′B′C′．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．
【解答】
解：根据已知条件得下半身长是160×0.60=96cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：96+y160+y=0.618，
解得：y≈8cm．
故选D．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=图上距离实际距离”即可求得这幅设计图的比例尺．
【解答】
解：因为2毫米=0.2厘米，
则40厘米：0.2厘米=200：1；
所以这幅设计图的比例尺为200：1；
故选A．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了比例的性质，利用了等比性质，分式的性质．分类讨论：当x+y+z≠0时，根据等比性质，可得答案；当x+y+z=0时，根据分式的性质，可得答案．
【解答】
解：当x+y+z≠0时，由等比性质，得
k=x+y+zy+z+z+x+y+x=x+y+z2(x+y+z)=12，
当x+y+z=0时，得x=−(y+z)，y=−(x+z)，z=−(x+y)，
xy+z=k=xy+z=−(y+z)y+z=−1，
故选D．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查的是平行四边形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，平行线分线段成比例，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线等有关知识，由题意对给出的各个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：∵∠BAC=90∘，AB=6，AC=8，
∴BC=AB2+AC2=62+82=10，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=12BC=12×10=5，AE=12BC=12×10=5，
∵AD // BC，AE // DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴DC=AE=5，AD=EC=5，
∴DC=AE=AD=EC，
∴四边形AECD是菱形，
∴四边形AECD的周长为AD+EC+DC+AE=5+5+5+5=20，故A正确；
∵AD=DC，四边形AECD是菱形，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠ACB=∠DCA，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠B+∠DCA=90°，故C正确；
连接ED，交AC于点M，
∵四边形AECD是菱形，
∴ED⊥AC，
∵∠CAB=90°，
∴EM//AB，
∴EMAB=ECBC=12，
∴EM6=12，
∴EM=3，
则DE=2EM=6，
则菱形AECD的面积为12AC×ED=DC×EF，
∴EF=AC×DE2DC=8×62×5=245，故D正确，
在Rt△EFC中，EF=245，EC=5，
∴FC=EC2−EF2=75，
在Rt△CAB中，AB=6，AC=8，BC=10，
∵BCEC=21，ACEF=53，ABFC=307，且∠BAC=∠EFC=90°，AC>AB，EF>FC，
∴△ABC与△FEC不相似，故B选项错误，符合题意．
故选B．
5.【答案】B
【解析】解：∵四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD，
∴AF=BG=CI=DE，DF=AG=BI=CE，DF⊥AF，FG=EF，
∵ME//AD，
∴△FME∽△FAD，
∴FMFA=EFDF，
∴EFFM=DFFA，
∵GF=EF=2FM，
∴DF=2AF，
∴DF=2DE，
∴E为DF中点，
∴M为AF中点，
∴MF=12AF，
同理HN=CN=12CI，
∴IN=MF，
如图，连接CF，
∴四边形CNMF为平行四边形，
∴CF=MN，
∵E为DF中点，CE⊥DF，
∴CF=CD，
∴MN=CD=AD，
在Rt△ADF中，AD=AF2+DF2=5AF，DF=2AF，
∴MN：DF=5AF：2AF=52，
故选：B．
根据四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD，可得AF=BG=CI=DE，DF=AG=BI=CE，DF⊥AF，FG=EF，证明△FME∽△FAD，可得DF=2AF，连接CF，证明四边形CNMF为平行四边形，所以CF=MN，可得MN=CD=AD，然后根据勾股定理，可得AD=5AF，进而可以解决问题．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是得到△FME∽△FAD．
6.【答案】D
【解析】解：A、由作图可知：∠CAD=∠B，可以推出∠C=∠BAD，故△CDA与△ABD相似，故本选项不符合题意；
B、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC=90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
C、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC=90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
D、无法判断△CAD∽△ABD，故本选项符合题意；
故选：D．
根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
本题考查作图−相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
利用相似图形的概念分别判断得出即可．
【解答】
解：①菱形不一定相似，故错误．
②等腰直角三角形都相似，故正确．
③正方形都相似，故正确．
④矩形不一定相似，故错误．
⑤正六边形都相似，故正确．
故选C．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠CBA=90°，
∵△BCP是等边三角形，
∴∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∴∠ABE=30°，
∴BE=2AE，故①正确，
∵AD//BC，
∴∠DFP=∠BCP=∠BPH=60°，
∵∠PHB=∠PCB+∠CBH=60°+45°=105°，
又∵CD=CP，∠PCD=30°，
∴∠CPD=∠CDP=75°，
∴∠DPF=105°，
∴∠PHB=∠DPF，
∴△DFP∽△BPH，故②正确，
∵∠DPB=60°+75°=135°≠∠DPF，
∴△PFD与△PDB不相似，故③错误，
∵∠PDH=∠PDC−∠CDH=75°−45°=30°，
∴∠PDH∠PCD，
∵∠DPH=∠CPD，
∴△PDH∽△PCD，
∴PDPC=PHPD，
∴PD2=PH⋅PC，故④正确，
故选：C．
①正确．利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
②正确，根据两角相等两个三角形相似即可判断．
③错误．通过计算证明∠DPB≠∠DPF，即可判断．
④正确．利用相似三角形的性质即可证明．
本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查对正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．
①由正方形的性质可以得出AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，通过证明△ABE≌△ADE，就可以得出BE=DE；
②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出CE+DE=EF；
③过D作DM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式即可求出高DM，根据三角形的面积公式即可求得S△DEC=14−312；
④解直角三角形求得DE，根据等边三角形性质得到CG=CE，然后通过证得△DEH∽△CGH，求得DHHC=DECG=3+1．
【解答】
证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°．
在△ABE和△ADE中，
AB=AD∠BAC=∠DACAE=AE，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴BE=DE，故①正确；
②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE=∠ADE，
∴∠CBE=∠CDE，
∵BC=CF，
∴∠CBE=∠F，
∴∠CBE=∠CDE=∠F，
∵∠CDE=15°，
∴∠CBE=15°，
∴∠CEG=60°，
∵CE=GE，
∴△CEG是等边三角形．
∴∠CGE=60°，CE=GC，
∴∠GCF=45°，
∴∠ECD=GCF，
在△DEC和△FGC中，
CE=CG∠ECD=∠GCFCD=CF,
∴△DEC≌△FGC(SAS)，
∴DE=GF，
∵EF=EG+GF，
∴EF=CE+ED，故②正确；
③过D作DM⊥AC交于M，
根据勾股定理求出AC=2，
由面积公式得：12AD×DC=12AC×DM，
∴DM=22，
∵∠DCA=45°，∠AED=60°，
∴CM=22，EM=66，
∴CE=CM−EM=22−66
∴S△DEC=12CE×DM=14−312，故③正确；
④在Rt△DEM中，DE=2ME=63，
∵△ECG是等边三角形，
∴CG=CE=22−66，
∵∠DEF=∠EGC=60°，
∴DE//CG，
∴△DEH∽△CGH，
∴DHHC=DECG=6322−66=3+1，故④错误；
综上，正确的结论有①②③，
故选：A．
10.【答案】A
【解析】
【分析】因为DF=DE，∠DFC=∠DEB=90°，所以将△DEB绕点D逆时针旋转90°后，得到△DFT，此时A，F，T共线，证明∠ADT=90°，求出△ADT的面积即可．
本题考查了正方形的性质，三角形的面积等知识，解题关键是学会利用旋转法添加辅助线．
【解答】
解：如图，
∵DF=DE，∠DFC=∠DEB=90°，
∴将△DEB绕点D逆时针旋转90°后，得到△DFT，
此时A，F，T共线，DT=DB=6，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADF+∠EDB=90°，
∵∠EDB=∠FDT，
∴∠ADF+∠FDT=90°，
即∠ADT=90°，
∴红、蓝两张纸片的面积之和=△ADT的面积=12×AD×DT=12×10×6=30．
故选：A．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性质，根据EFAB=FDBD即可解答．
【解答】
解：此题比较综合，要多方面考虑，
①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
③因为△ABD∽△EFD可利用EFAB=FDBD，求出AB；
④无法求出A，B间距离．
故共有3组可以求出A，B间距离．
故选C．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质得到AO：DO=2：3，进而得出答案．
【解答】
解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的49，
∴ACDF=23，AC//DF，
∴AODO=ACDF=23，
∴AOAD=25．
故选B．
13.【答案】±13
【解析】
【分析】
本题考查了比例线段，理解比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．根据比例的基本性质进行计算．设它们的比例中项是x，根据比例的基本性质得出x2=(4+3)(4−3)，再进行计算即可．
【解答】
解：设它们的比例中项是x，则x2=(4+3)(4−3)，
解得x=±13．
故答案为±13．
14.【答案】3
【解析】
【分析】
考查了平行线分线段成比例定理，明确线段之间的对应关系．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，利用比例的基本性质即可得解．
【解答】
解：∵AlA//BB1//CC1，
∴B1C1A1B1=BCAB，
∵AB=8，BC=4，A1B1=6，
∴B1C1=3，
故答案为3．
15.【答案】514或1或32
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的性质、等边三角形的性质以及解分式方程，分△AQD∽△BCP及△AQD∽△BPC两种情况，找出关于AQ长的分式方程是解题的关键．
利用等边三角形的性质可得出AB=BC=3，∠A=∠B，设AQ=x，则BP=3−12−x=52−x，分△AQD∽△BCP及△AQD∽△BPC两种情况考虑，利用相似三角形的性质可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】
解：∵等边△ABC的边长为3，
∴AB=BC=3，∠A=∠B=60°．
设AQ=x，则BP=3−12−x=52−x．
△AQD与△BCP相似分两种情况：
①当△AQD∽△BCP时，AQBC=ADBP，
即x3=1252−x，
解得：x1=1，x2=32，
经检验，x1=1，x2=32均为原方程的解，且符合题意；
②当△AQD∽△BPC时，AQBP=ADBC，
即x52−x=123，
解得：x=514．
综上所述，AQ的长是514或1或32．
故答案为：514或1或32．
16.【答案】152 ；202
【解析】解：∵AE⊥l，BF⊥l，
∵∠ANE=45°，
∴△ANE和△BNF是等腰直角三角形，
∴AE=EN，BF=FN，
∵EF=15米，FM=2米，MN=8米，
∴AE=EN=15+2+8=25(米)，BF=FN=2+8=10(米)，
∴AN=252，BN=102，
∴AB=AN−BN=152(米)；
过C作CH⊥l于H，过B作PQ//l交AE于P，交CH于Q，
∴AE//CH，
∴四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形，
∴PE=BF=QH=10，PB=EF=15，BQ=FH，
∵∠1=∠2，∠AEF=∠CHM=90°，
∴△AEF∽△CHM，
∴CHHM=AEEF=2515=53，
∴设MH=3x，CH=5x，
∴CQ=5x−10，BQ=FH=3x+2，
∵∠APB=∠ABC=∠CQB=90°，
∴∠ABP+∠PAB=∠ABP+∠CBQ=90°，
∴∠PAB=∠CBQ，
∴△APB∽△BQC，
∴APBQ=PBCQ，
∴153x+2=155x−10，
∴x=6，
∴BQ=CQ=20，
∴BC=202，
故答案为152；202．
根据已知条件得到△ANE和△BNF是等腰直角三角形，求得AE=EN=15+2+8=25(米)，BF=FN=2+8=10(米)，于是得到AB=AN−BN=152(米)；过C作CH⊥l于H，过B作PQ//l交AE于P，交CH于Q，根据矩形的性质得到PE=BF=QH=10，PB=EF=15，BQ=FH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
17.【答案】解：当a+b+c≠0时，
利用比例的性质化简已知等式得：a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=a+b−c+a−b+c−a+b+ca+b+c=a+b+ca+b+c=1，
即a+b−c=c，a−b+c=b，−a+b+c=a，
整理得：a+b=2c，a+c=2b，b+c=2a，
此时原式=8abcabc=8；
当a+b+c=0时，可得：a+b=−c，a+c=−b，b+c=−a，
则原式=−1．
综上可知，(a+b)(b+c)(c+a)abc的值为8或−1．
【解析】此题考查了比例的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
已知等式利用比例的性质化简表示出a+b，a+c，b+c，代入原式计算即可得到结果．
18.【答案】解： (1)∵点C和点D分别是线段AB的黄金“右割”点、黄金“左割”点，AB=8，
∴AC=BD=5−12AB=5−12×8=45−4，
∴BC=8− (45−4)=12−45，
∴DC=BD−BC=45−4−(12−45)=85−16．
(2)由题意可知，PN=5−12MN，MQ=5−12MN，
∵在数轴上，m
当m>0时，n=3m，
∴3m−p=5−12(3m−m)=5−12⋅2m=(5−1)m，
∴p=3m−(5−1)m=4m−5m，
同理，可求得q=5m，
∴pq=4m−5m5m=4−55=45−55;
当m<0时，n=−3m，
∴−3m−p=5−12(−3m−m)=2(1−5)m，
∴p=−3m−2(1−5)m=−5m+25m，
同理，可求得q=3m−25m，
∴pq=−5m+25m3m−25m=45−511．
∴pq的值为45−55或45−511．
【解析】见答案
19.【答案】解：(1)∵∠DBC=30∘，∠DCB=120∘，
∴∠CDB=30∘，
∵∠DBC=30∘，∠ECB=90∘，
∴CE=12BE，
∵∠DCB=120∘，∠ACB=90∘，
∴∠ACD=30∘，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE=CE，
∴DE=CE=12BE，
即BEDE=2；
(2) ①作DH⊥CB交于点H，如图所示：
∵DH⊥BC，AC⊥BC，
∴DH//AC，
∴∠CDH=∠ACD=30∘，
∴CH=12CD，DH=32CD．
∵DH//AC，
∴BEDE=CBCH，
∴BEDE=CB12CD=2CBCD=2m；
②证明：∵由勾股定理得 DH2+BH2=BD2，
∴34CD2+(12CD+BC)2=AB2，
CD2+CD•BC+BC2=AB2，
CD•BC=AB2−CD2−BC2，
CD•BC=AC2−CD2，
∵BCCD•CD•BC=m(AC2−CD2)，
∴BC2=m(AC2−CD2)；
(3)∵SΔBCD=3SΔACD，
∴34BC•CD=34AC•CD，
∴BC•CD=AC•CD，
∵AC2−CD2=AC•CD，
∴(CDAC)2+CDAC−1=0，
∴CDAC=5−12．
【解析】
【分析】
此题主要考查含30°角的直角三角形，勾股定理，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形的面积等知识．
(1)根据∠DBC=30∘，∠DCB=120∘，得到∠CDB=30∘，CE=12BE，进而得到∠ACD=30∘，
DE=CE=12BE，即可求出BEDE的值；
(2) ①作DH⊥CB交于点H，根据DH⊥BC，AC⊥BC，得到DH//AC，CH=12CD，再根据平行线分线段成比例即可解答；
②由勾股定理得 DH2+BH2=BD2，进而求出CD•BC=AC2−CD2，再根据BCCD•CD•BC=m(AC2−CD2)，即可证明BC2=m(AC2−CD2)；
(3)根据SΔBCD=3SΔACD，得到34BC•CD=34AC•CD，即BC•CD=AC•CD，再根据AC2−CD2=AC•CD，得到(CDAC)2+CDAC−1=0，，解方程即可求出CDAC=5−12．
20.【答案】解：(1)如图线段AB′即为所求;
(2)172;
(3)如图，点D即为所求(答案不唯一)
【解析】
【分析】
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了正方形的性质．
(1)利用网格特点和旋转的性质画出B点的对应点B′即可;
(2)根据割补法求出面积；
(3)利用平行线分线段成比例定理把AB′五等分可得到点D．
【解答】
解：(1)见答案;
(2)∵AB=12+42=17=AB′，∠BAB′=90°
∴S△ABB′=12AB·AB′=172;
(3)见答案．
21.【答案】解：(1)①如图2中，结论：△AGD≌△CED．
理由：∵四边形EFGD是正方形，
∴DG=DE，∠GDE=90°，
∵DA=DC，∠ADC=90°，
∴∠GDE=∠ADC，
∴∠ADG=∠CDE，
∴△AGD≌△CED(SAS)．
②如图2中，过点A作AT⊥GD于T．
∵△AGD≌△CED，CD=CE，
∴AD=AG=4，
∵AT⊥GD，
∴TG=TD=1，
∴AT=AG2−TG2=15，
∵EF//DG，
∴∠GHF=∠AGT，
∵∠F=∠ATG=90°，
∴△GFH∽△ATG，
∴GHAG=FGAT，
∴GH4=215，
∴GH=81515．
(2)①如图3中，设AD交PC于O．
∵△AGD≌△CED，
∴∠DAG=∠DCE，
∵∠DCE+∠COD=90°，∠COD=∠AOP，
∴∠AOP+∠DAG=90°，
∴∠APO=90°，
∴CP⊥AG．
②∵∠CPA=90°，AC是定值，
∴当∠ACP最小时，PC的值最大，
∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合(如图4中)，
∵∠CED=90°，CD=4，DE=2，
∴EC=CD2−DE2=42−22=23，
∵EF=DE=2，
∴CP=CE+EF=2+23，
∴PC的最大值为2+23．
【解析】(1)①结论：△AGD≌△CED.根据SAS证明即可．
②如图2中，过点A作AT⊥GD于T.解直角三角形求出AT，GT，再利用相似三角形的性质求解即可．
(2)①如图3中，设AD交PC于O.利用全等三角形的性质，解决问题即可．
②因为∠CPA=90°，AC是定值，推出当∠ACP最小时，PC的值最大，推出当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合(如图4中)．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．
22.【答案】解：(1)∵正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD，
∴DO=OC，
∵DB⊥AC，
∴∠DOA=∠DOC=90°．
∵∠GOE=90°，
∴∠GOD+∠DOE=∠DOE+∠COE=90°，
∴∠GOD=∠COE
∵GO=OE，
∴在△DOG和△COE中，
DO=OC∠GOD=∠COEOG=OE,
∴△DOG≌△COE(SAS)．
(2)如图，过点M作MH⊥DO交DO于点H，
∵AM=12，DA=2，
∴DM=32，
∵∠MDB=45°，
∴MH=DH=22DM=324，DO=22DA=2，
∴HO=DO−DH=2−324=24，
∴在Rt△MHO中，由勾股定理得
MO=MH2+HO2=(324)2+(24)2=52，
∵DG⊥BD，MH⊥DO，
∴MH//DG，
∴易证△OHM∽△ODG，
∴OHOD=MOGO=242=52GO，得GO=25，
则正方形OEFG的边长为25．
【解析】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．
(1)由正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD，可得∠DOA=∠DOC=90°，∠GOE=90°，即可证得∠GOD=∠COE，因DO=OC，GO=EO，则可利用“边角边”即可证两三角形全等
(2)过点M作MH⊥DO交DO于点H，由于∠MDB=45°，可得DH，DO的长，从而求得HO，即可求得MO，再通过MH//DG，易证得△OHM∽△ODG，则有OHOD=MOGO，求得GO即为正方形OEFG的边长．
23.【答案】解：过点E作EH⊥AB，EM⊥CD，H、M为垂足，则∠A+∠AEH=90°．
∵∠AEC=90°，
∴∠AEH+∠CEM=90°，
∴∠A=∠CEM．
∵∠AHE=∠CME=90°，
∴△AHE∽△EMC，
∴AHEM=HECM，即4−1.55=3CM，解得CM=6，
∴CD=CM+DM=6+1.5=7.5(米)．
答：树高有7.5米．
【解析】过点E作EH⊥AB，EM⊥CD，H、M为垂足，根据相似三角形的判定定理得出△AHE∽△EMC，由相似三角形的对应边成比例求出CM的长，进而可得出结论．
本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
24.【答案】解：(1)设边长为xmm，
∵零件为正方形，
∴PN//AD，PQ//BC，
∴ΔBPN∽ΔBAD，ΔAPQ∽ΔABC，
∴PNAD=BPAB、PQBC=APAB，
由题意知PN=x，AD=80，BC=120，PQ=x，
即x80=BPAB，x120=APAB，
∵AP+BP=AB，
∴x80+x120=BPAB+APAB=1，解得x=48．
答：若这个矩形是正方形，那么边长是48mm．
(2)设宽为xmm，则长为2xmm，
∵四边形PNMQ为矩形，
∴PN//AD，PQ//BC，
∴ΔBPN∽ΔBAD，ΔAPQ∽ΔABC，
∴PNAD=BPAB，PQBC=APAB，
①PN为长，PQ为宽：
由题意知PN=2xmm，AD=80mm，BC=120mm，PQ=xmm，
即2x80=BPAB，x120=APAB，
∵AP+BP=AB，
∴2x80+x120=BPAB+APAB=1，解得x=30，2x=60．
即长为60mm，宽为30mm．
②PN为宽，PQ为长：
由题意知PN=xmm，AD=80mm，BC=120mm，PQ=2xmm，
即x80=BPAB，2x120=APAB，
∵AP+BP=AB，
∴x80+2x120=BPAB+APAB=1，解得x=2407，2x=4807．
即长为4807mm，宽为2407mm．
答：矩形的长为60mm，宽为30mm或者长为4807mm，宽为2407mm．
【解析】本题考查了正方形以及矩形的性质，结合了平行线的比例关系求解，注意数形结合的运用．
(1)设出边长为xmm，由正方形的性质得出，PQ//BC，PN//AD，根据平行线的性质，可以得出比例关系式，PNAD=BPAB，PQBC=APAB，代入数据求解即可．
(2)设宽为xmm，则长为2xmm，同(1)列出比例关系求解，但是要注意有两种情况，PQ可以为长也可以为宽，分两种情况分别求解即可．
25.【答案】解：(1)如图所示：△A1BC1，即为所求；
(2)如图所示：△A′B′C′，即为所求．
【解析】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
(1)直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用位似图形的性质进而得出对应点位置进而得出答案．
湘教版初中数学九年级上册第三章《图形的相似》单元测试卷
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160 cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为( )
A. 6 cm B. 10 cm C. 4 cm D. 8 cm
2. 一种零件的长是2毫米，在一幅设计图上的长是40厘米，这幅设计图的比例尺是( )
A. 200：1 B. 2000：1 C. 1：2000 D. 1：200
3. 若xy+z=yx+z=zx+y=k，则k=( )
A. 0 B. 12 C. −1 D. 12或−1
4. 如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，E是BC的中点，AD // BC，AE // DC，EF⊥CD于点F.下列结论错误的是( )
A. 四边形AECD的周长是20 B. △ABC∽△FEC
C. ∠B+∠ACD=90° D. EF的长为245
5. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．作EM//NG//AD.若GF=2FM，则MN：FD的值为( )
A. 233
B. 52
C. 54
D. 1
6. 已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 下列关于相似的命题： ①菱形都相似; ②等腰直角三角形都相似; ③正方形都相似; ④矩形都相似; ⑤正六边形都相似.其中，真命题有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE=2AE；
②△DFP～△BPH；
③△PFD～△PDB；
④DP2=PH⋅PC．
其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E.使得∠CDE=15°，连接BE并延长BE到F，使CF=CB，BF与CD相交于点H，若AB=1，有下列结论：①BE=DE；②CE+DE=EF；③S△DEC=14−312；④DHHC=23−1.则其中正确的结论有( )
A. ①②③ B. ①②③④ C. ①②④ D. ①③④
10. 如图，一个斜边长为6cm的红色直角三角形纸片，一个斜边长为10cm的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是( )
A. 30cm2 B. 40cm2 C. 50cm2 D. 60cm2
11. 为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出图形如图所示，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，点C在BD上。有四位同学分别测量出以下四组数据，能根据所测数据求出A，B间距离的有．( )
①BC，∠ACB
②CD，∠ACB，∠ADB
③EF，DE，BD
④DE，DC，BC
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
12. 如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的49，则AO：AD的值为( )
A. 2：3 B. 2：5 C. 4：9 D. 4：13
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 两个数4+3与4−3的比例中项是______．
14. 如图，直线A1A//BB1//CC1，若AB=8，BC=4，A1B1=6，则线段B1C1的长是_____________.
15. 如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA上运动，PQ=12，若△AQD与△BCP相似，则AQ的长是______．
16. 如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1=∠2.测得EF=15米，FM=2米，MN=8米，∠ANE=45°，则场地的边AB为______米，BC为______米．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．
18. (本小题8.0分)
如图 ①，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，若AC=5−12AB，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段AB上另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，若BD=5−12AB，则称点D是线段AB的黄金“左割”点．
请根据以上材料，回答下列问题：
(1)如图 ①，若AB=8，点C和点D分别是线段AB的黄金“右割”点、黄金“左割”点，则DC= ；
(2)如图 ②，若数轴上有M，P，Q，N四个点，它们分别对应的实数为m，p，q，n，且m
19. (本小题8.0分)
如图，CG⊥CF，∠MCF=120°，点B是射线CF上的一个动点，D是CM上的一点，BD长度不变，BD交CG于点E，点A是CG上一点，且BA=BD，连接AD．
(1)若∠DBC=30°，求BEDE的值．
(2)若BCCD=m.
①求BEDE(用含m的式子表示)；
② 求证：BC2=m(AC2−CD2)；
(3)若SΔBCD=3SΔACD，求CDAC的值．
20. (本小题8.0分)
如图，方格纸上的小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B都在格点上(两条网格线的交点叫格点)，请用无刻度直尺完成下列问题：
(1)将线段AB绕点A逆时针旋转90°，得到旋转后的线段AB′；
(2)连接BB′，则△ABB′的面积=_________；
(3)在线段AB′上画出点D，使S△ABD=45S△ABB′(要求只能通过连接格点方式作图)．
21. (本小题8.0分)
如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC=90°，AD=4.点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE.将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α(0°<α<90°)．
(1)如图2，在旋转过程中，
①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；
②当CE=CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．
(2)如图3，延长CE交直线AG于点P．
①求证：AG⊥CP；
②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
22. (本小题8.0分)
如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG．
(1)求证：△DOG≌△COE；
(2)若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM=12，求正方形OEFG的边长．
23. (本小题8.0分)
如图，身高1.5米的人站在两棵树之间，距较高的树5米，距较矮的树3米，若此人观察的树梢所成的视线的夹角是90°，且较矮的树高4米，那么较高的树有多少米？
24. (本小题8.0分)
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
(1)若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
(2)若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？
25. (本小题8.0分)
如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，已知点O及△ABC的顶点均为网格线的交点．
(1)将△ABC绕着点B顺时针旋转90°，得到△A1BC1，请在网格中画出△A1BC1；
(2)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的三倍，得到△A′B′C′，请在网格中画出△A′B′C′．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．
【解答】
解：根据已知条件得下半身长是160×0.60=96cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：96+y160+y=0.618，
解得：y≈8cm．
故选D．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=图上距离实际距离”即可求得这幅设计图的比例尺．
【解答】
解：因为2毫米=0.2厘米，
则40厘米：0.2厘米=200：1；
所以这幅设计图的比例尺为200：1；
故选A．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了比例的性质，利用了等比性质，分式的性质．分类讨论：当x+y+z≠0时，根据等比性质，可得答案；当x+y+z=0时，根据分式的性质，可得答案．
【解答】
解：当x+y+z≠0时，由等比性质，得
k=x+y+zy+z+z+x+y+x=x+y+z2(x+y+z)=12，
当x+y+z=0时，得x=−(y+z)，y=−(x+z)，z=−(x+y)，
xy+z=k=xy+z=−(y+z)y+z=−1，
故选D．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查的是平行四边形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，平行线分线段成比例，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线等有关知识，由题意对给出的各个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：∵∠BAC=90∘，AB=6，AC=8，
∴BC=AB2+AC2=62+82=10，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=12BC=12×10=5，AE=12BC=12×10=5，
∵AD // BC，AE // DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴DC=AE=5，AD=EC=5，
∴DC=AE=AD=EC，
∴四边形AECD是菱形，
∴四边形AECD的周长为AD+EC+DC+AE=5+5+5+5=20，故A正确；
∵AD=DC，四边形AECD是菱形，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠ACB=∠DCA，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠B+∠DCA=90°，故C正确；
连接ED，交AC于点M，
∵四边形AECD是菱形，
∴ED⊥AC，
∵∠CAB=90°，
∴EM//AB，
∴EMAB=ECBC=12，
∴EM6=12，
∴EM=3，
则DE=2EM=6，
则菱形AECD的面积为12AC×ED=DC×EF，
∴EF=AC×DE2DC=8×62×5=245，故D正确，
在Rt△EFC中，EF=245，EC=5，
∴FC=EC2−EF2=75，
在Rt△CAB中，AB=6，AC=8，BC=10，
∵BCEC=21，ACEF=53，ABFC=307，且∠BAC=∠EFC=90°，AC>AB，EF>FC，
∴△ABC与△FEC不相似，故B选项错误，符合题意．
故选B．
5.【答案】B
【解析】解：∵四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD，
∴AF=BG=CI=DE，DF=AG=BI=CE，DF⊥AF，FG=EF，
∵ME//AD，
∴△FME∽△FAD，
∴FMFA=EFDF，
∴EFFM=DFFA，
∵GF=EF=2FM，
∴DF=2AF，
∴DF=2DE，
∴E为DF中点，
∴M为AF中点，
∴MF=12AF，
同理HN=CN=12CI，
∴IN=MF，
如图，连接CF，
∴四边形CNMF为平行四边形，
∴CF=MN，
∵E为DF中点，CE⊥DF，
∴CF=CD，
∴MN=CD=AD，
在Rt△ADF中，AD=AF2+DF2=5AF，DF=2AF，
∴MN：DF=5AF：2AF=52，
故选：B．
根据四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD，可得AF=BG=CI=DE，DF=AG=BI=CE，DF⊥AF，FG=EF，证明△FME∽△FAD，可得DF=2AF，连接CF，证明四边形CNMF为平行四边形，所以CF=MN，可得MN=CD=AD，然后根据勾股定理，可得AD=5AF，进而可以解决问题．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是得到△FME∽△FAD．
6.【答案】D
【解析】解：A、由作图可知：∠CAD=∠B，可以推出∠C=∠BAD，故△CDA与△ABD相似，故本选项不符合题意；
B、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC=90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
C、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC=90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
D、无法判断△CAD∽△ABD，故本选项符合题意；
故选：D．
根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
本题考查作图−相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
利用相似图形的概念分别判断得出即可．
【解答】
解：①菱形不一定相似，故错误．
②等腰直角三角形都相似，故正确．
③正方形都相似，故正确．
④矩形不一定相似，故错误．
⑤正六边形都相似，故正确．
故选C．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠CBA=90°，
∵△BCP是等边三角形，
∴∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∴∠ABE=30°，
∴BE=2AE，故①正确，
∵AD//BC，
∴∠DFP=∠BCP=∠BPH=60°，
∵∠PHB=∠PCB+∠CBH=60°+45°=105°，
又∵CD=CP，∠PCD=30°，
∴∠CPD=∠CDP=75°，
∴∠DPF=105°，
∴∠PHB=∠DPF，
∴△DFP∽△BPH，故②正确，
∵∠DPB=60°+75°=135°≠∠DPF，
∴△PFD与△PDB不相似，故③错误，
∵∠PDH=∠PDC−∠CDH=75°−45°=30°，
∴∠PDH∠PCD，
∵∠DPH=∠CPD，
∴△PDH∽△PCD，
∴PDPC=PHPD，
∴PD2=PH⋅PC，故④正确，
故选：C．
①正确．利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
②正确，根据两角相等两个三角形相似即可判断．
③错误．通过计算证明∠DPB≠∠DPF，即可判断．
④正确．利用相似三角形的性质即可证明．
本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查对正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．
①由正方形的性质可以得出AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，通过证明△ABE≌△ADE，就可以得出BE=DE；
②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出CE+DE=EF；
③过D作DM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式即可求出高DM，根据三角形的面积公式即可求得S△DEC=14−312；
④解直角三角形求得DE，根据等边三角形性质得到CG=CE，然后通过证得△DEH∽△CGH，求得DHHC=DECG=3+1．
【解答】
证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°．
在△ABE和△ADE中，
AB=AD∠BAC=∠DACAE=AE，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴BE=DE，故①正确；
②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE=∠ADE，
∴∠CBE=∠CDE，
∵BC=CF，
∴∠CBE=∠F，
∴∠CBE=∠CDE=∠F，
∵∠CDE=15°，
∴∠CBE=15°，
∴∠CEG=60°，
∵CE=GE，
∴△CEG是等边三角形．
∴∠CGE=60°，CE=GC，
∴∠GCF=45°，
∴∠ECD=GCF，
在△DEC和△FGC中，
CE=CG∠ECD=∠GCFCD=CF,
∴△DEC≌△FGC(SAS)，
∴DE=GF，
∵EF=EG+GF，
∴EF=CE+ED，故②正确；
③过D作DM⊥AC交于M，
根据勾股定理求出AC=2，
由面积公式得：12AD×DC=12AC×DM，
∴DM=22，
∵∠DCA=45°，∠AED=60°，
∴CM=22，EM=66，
∴CE=CM−EM=22−66
∴S△DEC=12CE×DM=14−312，故③正确；
④在Rt△DEM中，DE=2ME=63，
∵△ECG是等边三角形，
∴CG=CE=22−66，
∵∠DEF=∠EGC=60°，
∴DE//CG，
∴△DEH∽△CGH，
∴DHHC=DECG=6322−66=3+1，故④错误；
综上，正确的结论有①②③，
故选：A．
10.【答案】A
【解析】
【分析】因为DF=DE，∠DFC=∠DEB=90°，所以将△DEB绕点D逆时针旋转90°后，得到△DFT，此时A，F，T共线，证明∠ADT=90°，求出△ADT的面积即可．
本题考查了正方形的性质，三角形的面积等知识，解题关键是学会利用旋转法添加辅助线．
【解答】
解：如图，
∵DF=DE，∠DFC=∠DEB=90°，
∴将△DEB绕点D逆时针旋转90°后，得到△DFT，
此时A，F，T共线，DT=DB=6，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADF+∠EDB=90°，
∵∠EDB=∠FDT，
∴∠ADF+∠FDT=90°，
即∠ADT=90°，
∴红、蓝两张纸片的面积之和=△ADT的面积=12×AD×DT=12×10×6=30．
故选：A．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性质，根据EFAB=FDBD即可解答．
【解答】
解：此题比较综合，要多方面考虑，
①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
③因为△ABD∽△EFD可利用EFAB=FDBD，求出AB；
④无法求出A，B间距离．
故共有3组可以求出A，B间距离．
故选C．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质得到AO：DO=2：3，进而得出答案．
【解答】
解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的49，
∴ACDF=23，AC//DF，
∴AODO=ACDF=23，
∴AOAD=25．
故选B．
13.【答案】±13
【解析】
【分析】
本题考查了比例线段，理解比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．根据比例的基本性质进行计算．设它们的比例中项是x，根据比例的基本性质得出x2=(4+3)(4−3)，再进行计算即可．
【解答】
解：设它们的比例中项是x，则x2=(4+3)(4−3)，
解得x=±13．
故答案为±13．
14.【答案】3
【解析】
【分析】
考查了平行线分线段成比例定理，明确线段之间的对应关系．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，利用比例的基本性质即可得解．
【解答】
解：∵AlA//BB1//CC1，
∴B1C1A1B1=BCAB，
∵AB=8，BC=4，A1B1=6，
∴B1C1=3，
故答案为3．
15.【答案】514或1或32
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的性质、等边三角形的性质以及解分式方程，分△AQD∽△BCP及△AQD∽△BPC两种情况，找出关于AQ长的分式方程是解题的关键．
利用等边三角形的性质可得出AB=BC=3，∠A=∠B，设AQ=x，则BP=3−12−x=52−x，分△AQD∽△BCP及△AQD∽△BPC两种情况考虑，利用相似三角形的性质可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】
解：∵等边△ABC的边长为3，
∴AB=BC=3，∠A=∠B=60°．
设AQ=x，则BP=3−12−x=52−x．
△AQD与△BCP相似分两种情况：
①当△AQD∽△BCP时，AQBC=ADBP，
即x3=1252−x，
解得：x1=1，x2=32，
经检验，x1=1，x2=32均为原方程的解，且符合题意；
②当△AQD∽△BPC时，AQBP=ADBC，
即x52−x=123，
解得：x=514．
综上所述，AQ的长是514或1或32．
故答案为：514或1或32．
16.【答案】152 ；202
【解析】解：∵AE⊥l，BF⊥l，
∵∠ANE=45°，
∴△ANE和△BNF是等腰直角三角形，
∴AE=EN，BF=FN，
∵EF=15米，FM=2米，MN=8米，
∴AE=EN=15+2+8=25(米)，BF=FN=2+8=10(米)，
∴AN=252，BN=102，
∴AB=AN−BN=152(米)；
过C作CH⊥l于H，过B作PQ//l交AE于P，交CH于Q，
∴AE//CH，
∴四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形，
∴PE=BF=QH=10，PB=EF=15，BQ=FH，
∵∠1=∠2，∠AEF=∠CHM=90°，
∴△AEF∽△CHM，
∴CHHM=AEEF=2515=53，
∴设MH=3x，CH=5x，
∴CQ=5x−10，BQ=FH=3x+2，
∵∠APB=∠ABC=∠CQB=90°，
∴∠ABP+∠PAB=∠ABP+∠CBQ=90°，
∴∠PAB=∠CBQ，
∴△APB∽△BQC，
∴APBQ=PBCQ，
∴153x+2=155x−10，
∴x=6，
∴BQ=CQ=20，
∴BC=202，
故答案为152；202．
根据已知条件得到△ANE和△BNF是等腰直角三角形，求得AE=EN=15+2+8=25(米)，BF=FN=2+8=10(米)，于是得到AB=AN−BN=152(米)；过C作CH⊥l于H，过B作PQ//l交AE于P，交CH于Q，根据矩形的性质得到PE=BF=QH=10，PB=EF=15，BQ=FH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
17.【答案】解：当a+b+c≠0时，
利用比例的性质化简已知等式得：a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=a+b−c+a−b+c−a+b+ca+b+c=a+b+ca+b+c=1，
即a+b−c=c，a−b+c=b，−a+b+c=a，
整理得：a+b=2c，a+c=2b，b+c=2a，
此时原式=8abcabc=8；
当a+b+c=0时，可得：a+b=−c，a+c=−b，b+c=−a，
则原式=−1．
综上可知，(a+b)(b+c)(c+a)abc的值为8或−1．
【解析】此题考查了比例的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
已知等式利用比例的性质化简表示出a+b，a+c，b+c，代入原式计算即可得到结果．
18.【答案】解： (1)∵点C和点D分别是线段AB的黄金“右割”点、黄金“左割”点，AB=8，
∴AC=BD=5−12AB=5−12×8=45−4，
∴BC=8− (45−4)=12−45，
∴DC=BD−BC=45−4−(12−45)=85−16．
(2)由题意可知，PN=5−12MN，MQ=5−12MN，
∵在数轴上，m
当m>0时，n=3m，
∴3m−p=5−12(3m−m)=5−12⋅2m=(5−1)m，
∴p=3m−(5−1)m=4m−5m，
同理，可求得q=5m，
∴pq=4m−5m5m=4−55=45−55;
当m<0时，n=−3m，
∴−3m−p=5−12(−3m−m)=2(1−5)m，
∴p=−3m−2(1−5)m=−5m+25m，
同理，可求得q=3m−25m，
∴pq=−5m+25m3m−25m=45−511．
∴pq的值为45−55或45−511．
【解析】见答案
19.【答案】解：(1)∵∠DBC=30∘，∠DCB=120∘，
∴∠CDB=30∘，
∵∠DBC=30∘，∠ECB=90∘，
∴CE=12BE，
∵∠DCB=120∘，∠ACB=90∘，
∴∠ACD=30∘，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE=CE，
∴DE=CE=12BE，
即BEDE=2；
(2) ①作DH⊥CB交于点H，如图所示：
∵DH⊥BC，AC⊥BC，
∴DH//AC，
∴∠CDH=∠ACD=30∘，
∴CH=12CD，DH=32CD．
∵DH//AC，
∴BEDE=CBCH，
∴BEDE=CB12CD=2CBCD=2m；
②证明：∵由勾股定理得 DH2+BH2=BD2，
∴34CD2+(12CD+BC)2=AB2，
CD2+CD•BC+BC2=AB2，
CD•BC=AB2−CD2−BC2，
CD•BC=AC2−CD2，
∵BCCD•CD•BC=m(AC2−CD2)，
∴BC2=m(AC2−CD2)；
(3)∵SΔBCD=3SΔACD，
∴34BC•CD=34AC•CD，
∴BC•CD=AC•CD，
∵AC2−CD2=AC•CD，
∴(CDAC)2+CDAC−1=0，
∴CDAC=5−12．
【解析】
【分析】
此题主要考查含30°角的直角三角形，勾股定理，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形的面积等知识．
(1)根据∠DBC=30∘，∠DCB=120∘，得到∠CDB=30∘，CE=12BE，进而得到∠ACD=30∘，
DE=CE=12BE，即可求出BEDE的值；
(2) ①作DH⊥CB交于点H，根据DH⊥BC，AC⊥BC，得到DH//AC，CH=12CD，再根据平行线分线段成比例即可解答；
②由勾股定理得 DH2+BH2=BD2，进而求出CD•BC=AC2−CD2，再根据BCCD•CD•BC=m(AC2−CD2)，即可证明BC2=m(AC2−CD2)；
(3)根据SΔBCD=3SΔACD，得到34BC•CD=34AC•CD，即BC•CD=AC•CD，再根据AC2−CD2=AC•CD，得到(CDAC)2+CDAC−1=0，，解方程即可求出CDAC=5−12．
20.【答案】解：(1)如图线段AB′即为所求;
(2)172;
(3)如图，点D即为所求(答案不唯一)
【解析】
【分析】
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了正方形的性质．
(1)利用网格特点和旋转的性质画出B点的对应点B′即可;
(2)根据割补法求出面积；
(3)利用平行线分线段成比例定理把AB′五等分可得到点D．
【解答】
解：(1)见答案;
(2)∵AB=12+42=17=AB′，∠BAB′=90°
∴S△ABB′=12AB·AB′=172;
(3)见答案．
21.【答案】解：(1)①如图2中，结论：△AGD≌△CED．
理由：∵四边形EFGD是正方形，
∴DG=DE，∠GDE=90°，
∵DA=DC，∠ADC=90°，
∴∠GDE=∠ADC，
∴∠ADG=∠CDE，
∴△AGD≌△CED(SAS)．
②如图2中，过点A作AT⊥GD于T．
∵△AGD≌△CED，CD=CE，
∴AD=AG=4，
∵AT⊥GD，
∴TG=TD=1，
∴AT=AG2−TG2=15，
∵EF//DG，
∴∠GHF=∠AGT，
∵∠F=∠ATG=90°，
∴△GFH∽△ATG，
∴GHAG=FGAT，
∴GH4=215，
∴GH=81515．
(2)①如图3中，设AD交PC于O．
∵△AGD≌△CED，
∴∠DAG=∠DCE，
∵∠DCE+∠COD=90°，∠COD=∠AOP，
∴∠AOP+∠DAG=90°，
∴∠APO=90°，
∴CP⊥AG．
②∵∠CPA=90°，AC是定值，
∴当∠ACP最小时，PC的值最大，
∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合(如图4中)，
∵∠CED=90°，CD=4，DE=2，
∴EC=CD2−DE2=42−22=23，
∵EF=DE=2，
∴CP=CE+EF=2+23，
∴PC的最大值为2+23．
【解析】(1)①结论：△AGD≌△CED.根据SAS证明即可．
②如图2中，过点A作AT⊥GD于T.解直角三角形求出AT，GT，再利用相似三角形的性质求解即可．
(2)①如图3中，设AD交PC于O.利用全等三角形的性质，解决问题即可．
②因为∠CPA=90°，AC是定值，推出当∠ACP最小时，PC的值最大，推出当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合(如图4中)．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．
22.【答案】解：(1)∵正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD，
∴DO=OC，
∵DB⊥AC，
∴∠DOA=∠DOC=90°．
∵∠GOE=90°，
∴∠GOD+∠DOE=∠DOE+∠COE=90°，
∴∠GOD=∠COE
∵GO=OE，
∴在△DOG和△COE中，
DO=OC∠GOD=∠COEOG=OE,
∴△DOG≌△COE(SAS)．
(2)如图，过点M作MH⊥DO交DO于点H，
∵AM=12，DA=2，
∴DM=32，
∵∠MDB=45°，
∴MH=DH=22DM=324，DO=22DA=2，
∴HO=DO−DH=2−324=24，
∴在Rt△MHO中，由勾股定理得
MO=MH2+HO2=(324)2+(24)2=52，
∵DG⊥BD，MH⊥DO，
∴MH//DG，
∴易证△OHM∽△ODG，
∴OHOD=MOGO=242=52GO，得GO=25，
则正方形OEFG的边长为25．
【解析】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．
(1)由正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD，可得∠DOA=∠DOC=90°，∠GOE=90°，即可证得∠GOD=∠COE，因DO=OC，GO=EO，则可利用“边角边”即可证两三角形全等
(2)过点M作MH⊥DO交DO于点H，由于∠MDB=45°，可得DH，DO的长，从而求得HO，即可求得MO，再通过MH//DG，易证得△OHM∽△ODG，则有OHOD=MOGO，求得GO即为正方形OEFG的边长．
23.【答案】解：过点E作EH⊥AB，EM⊥CD，H、M为垂足，则∠A+∠AEH=90°．
∵∠AEC=90°，
∴∠AEH+∠CEM=90°，
∴∠A=∠CEM．
∵∠AHE=∠CME=90°，
∴△AHE∽△EMC，
∴AHEM=HECM，即4−1.55=3CM，解得CM=6，
∴CD=CM+DM=6+1.5=7.5(米)．
答：树高有7.5米．
【解析】过点E作EH⊥AB，EM⊥CD，H、M为垂足，根据相似三角形的判定定理得出△AHE∽△EMC，由相似三角形的对应边成比例求出CM的长，进而可得出结论．
本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
24.【答案】解：(1)设边长为xmm，
∵零件为正方形，
∴PN//AD，PQ//BC，
∴ΔBPN∽ΔBAD，ΔAPQ∽ΔABC，
∴PNAD=BPAB、PQBC=APAB，
由题意知PN=x，AD=80，BC=120，PQ=x，
即x80=BPAB，x120=APAB，
∵AP+BP=AB，
∴x80+x120=BPAB+APAB=1，解得x=48．
答：若这个矩形是正方形，那么边长是48mm．
(2)设宽为xmm，则长为2xmm，
∵四边形PNMQ为矩形，
∴PN//AD，PQ//BC，
∴ΔBPN∽ΔBAD，ΔAPQ∽ΔABC，
∴PNAD=BPAB，PQBC=APAB，
①PN为长，PQ为宽：
由题意知PN=2xmm，AD=80mm，BC=120mm，PQ=xmm，
即2x80=BPAB，x120=APAB，
∵AP+BP=AB，
∴2x80+x120=BPAB+APAB=1，解得x=30，2x=60．
即长为60mm，宽为30mm．
②PN为宽，PQ为长：
由题意知PN=xmm，AD=80mm，BC=120mm，PQ=2xmm，
即x80=BPAB，2x120=APAB，
∵AP+BP=AB，
∴x80+2x120=BPAB+APAB=1，解得x=2407，2x=4807．
即长为4807mm，宽为2407mm．
答：矩形的长为60mm，宽为30mm或者长为4807mm，宽为2407mm．
【解析】本题考查了正方形以及矩形的性质，结合了平行线的比例关系求解，注意数形结合的运用．
(1)设出边长为xmm，由正方形的性质得出，PQ//BC，PN//AD，根据平行线的性质，可以得出比例关系式，PNAD=BPAB，PQBC=APAB，代入数据求解即可．
(2)设宽为xmm，则长为2xmm，同(1)列出比例关系求解，但是要注意有两种情况，PQ可以为长也可以为宽，分两种情况分别求解即可．
25.【答案】解：(1)如图所示：△A1BC1，即为所求；
(2)如图所示：△A′B′C′，即为所求．
【解析】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
(1)直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用位似图形的性质进而得出对应点位置进而得出答案．
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