【单元测试】湘教版数学九年级上册--第三章《图形的相似》单元测试卷（较易）（含答案）

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湘教版初中数学九年级上册第三章《图形的相似》单元测试卷
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四组长度的线段中，是成比例线段的是(    )
A. 4cm，5cm，6cm，7cm B. 3cm，4cm，5cm，8cm
C. 5cm，15cm，3cm，9cm D. 8cm，4cm，1cm，3cm
2. 若4m=5n(m≠0)，则下列等式成立的是(    )
A. m4=n5 B. m4=5n C. mn=45 D. mn=54
3. 《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”(粟指带壳的谷子，粝米指糙米)，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”.问题：有3斗的粟(1斗=10升)，若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为(    )
A. 1.8升 B. 16升 C. 18升 D. 50升
4. 如图，已知AB//CD//EF，那么下列结论正确的是(    )
A. ADDF=BCCE
B. BCCE=DFAD
C. CDEF=BCBE
D. CDEF=ADAF
5. 如图，直线l1//l2//l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则DEEF=(    )

A. 35 B. 2 C. 25 D. 12
6. 如图，分别将三角形、矩形、菱形、正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到下列图形，其中变化前后的两个图形不一定相似的有(    )

A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
7. 下列图形中不一定相似的是(    )
A. 两个矩形 B. 两个圆
C. 两个正方形 D. 两个等边三角形
8. 如图，在△ABC中，EF//BC，AEEB=23，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是(    )
A. 913
B. 25
C. 35
D. 63
9. 如图，在正方形ABCD和直角△CEF中，B、C、F三点共线，∠ECF=90°，EC=3，FC=4，连接AE，AF，若∠EAF=45°，则AB=(    )

A. 3 B. 6 C. 32 D. 23
10. “跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，
步骤：
第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；
第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
第四步：将横向距离乘以10(人的手臂长度与眼距的比值一般为10)，得到的值约为被测物体离观测点的距离值．
如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为(    )

A. 40米 B. 60米 C. 80米 D. 100米
11. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，则水面以上深度CD为(    )

A. 4米 B. 3米 C. 3.2米 D. 3.4米
12. 如图，△ABC中，A(4,8)，以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D(2,4)，△DEF的面积为3，则△ABC的面积为(    )
A. 6
B. 9
C. 12
D. 16

第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 若2m=3n，则nm的值是_________．
14. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE//BC.若AB=10，AD=6，AC=8，则EC的值为______．

15. 如图是用卡钳测量容器内径的示意图．若卡钳上A，D两端点的距离为6cm，AOBO=DOCO=35，则容器的内径BC的长为__________cm.  



16. 已知△ABC与△DEF是位似图形且△ABC与△DEF的周长比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知x2=y3=z4=56，求x−y+3z3x+2y的值．


18. 已知线段AB=2，点P为线段AB的黄金分割点(AP>BP)，则AP−BP=______．


19. 已知如图：l1// l2// l3，ABBC=mn.求证：DEDF=mm+n．

20. 已知：△ABC中，AD为BC上的中线，点E在AD上，且DEAE=13，射线CE交AB于点F，求AFFB的值．

21. 如图，图形(a)∼(f)中，哪些与图形(1)或(2)相似？

22. 如图，∠ACB=∠CDB=90°，在线段CD上求作一点P，使△APC∽△CDB.(不写作法，保留作图痕迹)

23. 如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．
(1)求证：PE⋅PF=PC2．
(2)如图2，连接AC交BD于O，连接OE，若CE⊥BC，求证：△POC∽△AEC．


24. 如图，在△ABC中，AB=AC，点P在BC上．在线段AC上求作一点D，使△PCD∽△ABP.(保留作图痕迹，不写作法)

25. 小豪为了测量某塔高度，把镜子放在离塔(AB)50m的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到塔尖A，再测得DE=2.4m，小豪目高CD=1.68m，求塔的高度AB．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】
【分析】
此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一.对选项一一分析，排除错误答案即可．
【解答】
解：A、4×7≠5×6，故选项错误；
B、3×8≠4×5，故选项错误；
C、3×15=5×9=45，故选项正确；
D、1×8≠3×4，故选项错误．
故选：C．  
2.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
根据比例的基本性质，把每一个选项中的比例式转化成等积式即可解答．
【解答】
解：A.因为m4=n5，所以5m=4n，故此选项不符合题意；
B.因为m4=5n，所以mn=20，故此选项不符合题意；
C.因为mn=45，所以5m=4n，故此选项不符合题意；
D.因为mn=54，所以4m=5n，故此选项符合题意．
故选：D．  
3.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了比例的性质，本题首先要弄清题意，正确列比例式是本题的关键．
先将单位换成升，根据：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”列式可得结论．
【解答】
解：根据题意得：3斗=30升，
设可以换得的粝米为x升，
则5030=30x，
解得：x=30×35=18，
答：有3斗的粟(1斗=10升)，若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为18升．
故选：C．  
4.【答案】A 
【解析】∵AB//CD//EF，
∴ADDF=BCCE，
故选A．

5.【答案】A 
【解析】解：∵AH=2，HB=1，
∴AB=AH+BH=3，
∵l1//l2//l3，
∴DEEF=ABBC=35．
故选：A．
求出AB=3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．

6.【答案】A 
【解析】解：∵矩形对应边向外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等，
∴变化前后的两个矩形不相似，
∵三角形，菱形、正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等，
∴变化前后的两个三角形、菱形、两个正方形相似，
故选：A．
利用相似图形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的图形相似，进而判断即可．
此题主要考查了相似图形的判定，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．

7.【答案】A 
【解析】解：A.所有的矩形，对应边不一定成比例，对应角一定相等，故不一定相似，故本选项符合题意；
B.所有的圆，一定相似，故本选项不合题意；
C.所有的正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意；
D.所有的等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意．
故选：A．
对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似图形，依此对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了相似图形的概念，注意从对应边成比例，对应角相等两个方面考虑．

8.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出S四边形BCFE=2125S△ABC是解题的关键．
由EF//BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF=425S△ABC，结合S四边形BCFE=21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：∵EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴S△AEFS△ABC=(AEAB)2=(AEAE+EB)2=425，
∴S△AEF=425S△ABC．
∵S四边形BCFE=S△ABC−S△AEF=21，即2125S△ABC=21，
∴S△ABC=25．
故选：B．  
9.【答案】B 
【解析】解：连接AC，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=2AB，∠ACB=∠ACD=45°，∠BCD=90°，
∴∠CAF+∠AFC=45°，∠CAE+∠AEC=45°，
∵∠ECF=90°，B、C、F三点共线，
∴∠BCE=180°−∠ECF=90°，
∴∠BCE+∠BCD=180°，
∴D、C、E三点共线，
∵∠EAF=45°，
∴∠CAE+∠CAF=45°，
∴∠AEC=∠CAF，∠AFC=∠CAE，
∴△AEC∽△FAC，
∴ACFC=ECAC，
∴AC2=EC⋅FC=3×4=12，
∴AC=23，
∴AB=AC2=232=6，
故选：B．
连接AC，根据正方形的性质可得AC=2AB，∠ACB=∠ACD=45°，∠BCD=90°，从而可得∠CAF+∠AFC=45°，∠CAE+∠AEC=45°，进而可得∠AEC=∠CAF，∠AFC=∠CAE，即可证明△AEC∽△FAC，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可求出AC，从而求出AB的长．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：观察图形，横向距离大约是汽车的长度的2倍，
∵汽车的长度大约为4米，
∴横向距离大约是8米，
由“跳眼法”的步骤可知，将横向距离乘以10，得到的值约为被测物体离观测点的距离值，
∴汽车到观测点的距离约为80米，
故选：C．
根据图形估计出横向距离，再根据“跳眼法”的步骤得到答案．
本题考查的是图形的相似以及“跳眼法”，正确估计出横向距离是解题的关键．

11.【答案】B 
【解析】解：由题意知：AB//CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴ABCD=AECE，
∴1CD=0.41.6−0.4，
∴解得CD=3，
∴水面以上深度CD为3米．
故选：B．
由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．
本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出△ABE∽△CDE是解决问题的关键．

12.【答案】C 
【解析】解：∵将△ABC缩小后得到△DEF，A(4,8)，D(2,4)，
∴△ABC与△DEF的位似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
∵△DEF的面积为3，
∴△ABC的面积为12，
故选：C．
根据点A、D的坐标求出△ABC与△DEF的位似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

13.【答案】23 
【解析】
【分析】
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
根据比例的基本性质进行计算即可．
【解答】
解：∵2m=3n
∴nm=23  
14.【答案】3.2 
【解析】解：∵DE//BC，
∴ADAB=AEAC，
∵AB=10，AD=6，AC=8，
∴610=AE8，
解得；AE=4.8，
∴EC=8−4.8=3.2，
故答案为：3.2．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

15.【答案】10 
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的应用．熟记“相似三角形的对应边成比例”是解决问题的关键．
依题意得△AOD∽△BOC，根据相似三角形的对应边成比例即可求得BC的长度．
【解答】
解：连接AD，BC，
∵AOBO=DOCO=35，∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴ADBC=AOBO=35，
又∵AD=6cm，
∴6BC=35，
∴BC=10cm．  
16.【答案】1：16 
【解析】解：∵△ABC与△DEF是位似图形且△ABC与△DEF的周长比为1：4，
∴△ABC与△DEF相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的面积比为：1：16．
故答案为：1：16．
根据相似三角形的周长比的等于相似比，再结合相似三角形面积比等于相似比的平方解答即可．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比与相似比的关系是解题的关键．

17.【答案】解：令x2=y3=z4=k(也可直接等于x2=y3=z4=56)，
则x=2k，y=3k，z=4k．
∴x−y+3z3x+2y=2k−3k+12k6k+6k=11k12k=1112． 
【解析】令x2=y3=z4=k(也可直接等于x2=y3=z4=56)，则x=2k，y=3k，z=4k.代入所求的代数式后，通过约分求值即可．
考查了比例的性质，注意题中参数k的使用方法．

18.【答案】25−4 
【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，
∴AP=5−12AB=5−1，
则BP=2−AP=3−5，
∴AP−BP=(5−1)−(3−5)=25−4，
故答案为：25−4．
根据黄金分割的概念、黄金比值计算即可．
本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．

19.【答案】证明：∵l1//l2//l3，
∴DEEF=ABBC=mn，
∴DEDE+EF=mm+n，即DEDF=mm+n． 
【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理的应用是解题关键.首先根据平行线分线段成比例定理得出DEEF=ABBC=mn，进而即可得出结论．

20.【答案】解：过点D作DH//FC交AB于H，
则FHAF=DEAE=13，FHHB=CDBD=1，
∴AFFB=32． 
【解析】过点D作DH//FC交AB于H，根据平行线分线段成比例定理得到则FHAF=DEAE=13，FHHB=CDBD=1，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键．

21.【答案】解：(d)与(1)相似，(e)与(2)相似． 
【解析】见答案．

22.【答案】解：如图所示，点P即为所求．
 
【解析】过点A作AP⊥CD即可得．
本题主要考查作图−相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质及过直线外一点做已知直线的垂线的尺规作图．

23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD菱形，
∴AD=CD，∠CDP=∠ADP，CD//AB，
在△CDP和△ADP中，
CD=AD∠CDP=∠ADPDP=DP，
∴△CDP≌△ADP(SAS)，
∴PC=PA，∠DCP=∠DAP，
∵CD//AB，
∴∠DCP=∠F，
∴∠DAP=∠F，
∵∠APE=∠FPA，
∴△PAE∽△PFA，
∴PAPF=PEAP，
∴PA2=PE⋅PF，
∴PE⋅PF=PC2；
(2)∵CE⊥BC，
∴∠ECB=90°，
∵AD//BC，
∴∠CEA=∠BCE=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COP=90°，
∴∠COP=∠CEA，
∵∠OCP=∠ECA，
∴△POC∽△AEC． 
【解析】(1)根据菱形的性质，首先利用SAS证明△CDP≌△ADP，得PC=PA，∠DCP=∠DAP，再说明△PAE∽△PFA，得PAPF=PEAP，即可证明结论；
(2)根据菱形的性质可说明∠COP=∠CEA，从而证明结论．
本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明PA=PC是解决问题(1)的关键．

24.【答案】解：如图．
 
【解析】由AB=AC，可得∠B=∠C，再作∠DPC=∠BAP即可．
本题考查作图−相似变换、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握尺规作图的基本作法．

25.【答案】解：由题意知∠CED=∠AEB，∠CDE=∠ABE=90°，
∴△CED∽△AEB．
∴CDDE=ABBE，
∴1.682.4=AB50，
∴AB=35米．
故塔的高度AB为35米． 
【解析】如图容易知道CD⊥BD，AB⊥BE，即∠CDE=∠ABE=90°.由光的反射原理可知∠CED=∠AEB，这样可以得到△CED∽△AEB，然后利用对应边成比例就可以求出AB．
考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．