中考数学真题：2018年陕西省初中毕业学业考试

这是一份中考数学真题：2018年陕西省初中毕业学业考试，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018年陕西省初中毕业学业考试
数学试卷
(考试时间：120分钟　满分：120分)
第一部分(选择题　共30分)
一、选择题(共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的)
1. －的倒数是(　　)
A. B. － C. D. －
2. 如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是(　　)
A. 正方体 B. 长方体 C. 三棱柱 D. 四棱锥

第2题图 第3题图
3. 如图，若l1∥l2，l3∥l4，则图中与∠1互补的角有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 如图，在矩形AOBC中，A(－2，0)，B(0，1)．若正比例函数y＝kx的图象经过点C，则k的值为(　　)
A. － B. C. －2 D. 2

第4题图 第6题图
5. 下列计算正确的是(　　)
A. a2·a2＝2a4 B. (－a2)3＝－a6 C. 3a2－6a2＝3a2 D. (a－2)2＝a2－4
6. 如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为(　　)
A. B. 2 C. D. 3
7. 若直线l1经过点(0，4)，l2经过点(3，2)，且l1与l2关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为(　　)
A. (－2，0) B. (2，0) C. (－6，0) D. (6，0)
8. 如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、GH和HE.若EH＝2EF，则下列结论正确的是(　　)
A. AB＝EF B. AB＝2EF C. AB＝EF D. AB＝EF

第8题图 第9题图
9. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为(　　)
A. 15° B. 35° C. 25° D. 45°
10. 对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y>0，则这条抛物线的顶点一定在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
第二部分(非选择题　共90分)
二、填空题(共4小题，每小题3分，计12分)
11. 比较大小：3________(填“>”、“<”或“＝”)．
12. 如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为________．

第12题图 第14题图
13. 若一个反比例函数的图象经过点A(m，m)和B(2m，－1)，则这个反比例函数的表达式为________．
14. 如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD>AB，E、F是AB边上的点，且EF＝AB；G、H是BC边上的点，且GH＝BC.若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是________．
三、解答题(共11小题，计78分．解答应写出过程)
15. (本题满分5分)计算：(－)×(－)＋|－1|＋(5－2π)0.



16. (本题满分5分)化简：(－)÷.




17. (本题满分5分)如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM.请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使△DPA∽△ABM.(不写作法，保留作图痕迹)

第17题图


18. (本题满分5分)如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交于点G、H，若AB＝CD.
求证：AG＝DH.

第18题图
19. (本题满分7分)对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境．为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试，根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成A、B、C、D四组，绘制了如下统计图表：
“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计图表
组别
分数/分
频数
各组总分/分
A
60 38
2581
B
70 72
5543
C
80 60
5100
D
90 m
2796
　　　　
第19题图
依据以上统计信息，解答下列问题：
(1)求得m＝________，n＝________；
(2)这次测试成绩的中位数落在________组；
(3)求本次全部测试成绩的平均数．








20. (本题满分7分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽，测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m，测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB.

第20题图












21. (本题满分7分)经过一年多的精准帮扶、小明家的网络商店(简称网店)将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国．小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：

商品
红枣
小米
规格
1 kg/袋
2 kg/袋
成本(元/袋)
40
38
售价(元/袋)
60
54
根据上表提供的信息，解答下列问题：
(1)已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3000 kg，获得利润4.2万元，求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋；
(2)根据之前的销售情况，估计今年6月到10月这后五个月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共2000 kg，其中，这种规格的红枣的销售量不低于600 kg，假设这后五个月，销售这种规格的红枣为x(kg)，销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为y(元)，求出y与x之间的函数关系式，并求这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元．






22. (本题满分7分)如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为120°.转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字．此时，称为转动转盘一次(若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止)．
(1)转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率；
(2)转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．

第22题图



23. (本题满分8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC相交于点M、N.
(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；
(2)连接MD，求证：MD＝NB.

第23题图




24. (本题满分10分)已知抛物线L：y＝x2＋x－6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；
(2)将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A′、B′两点(点A′在点B′的左侧)，并与y轴相交于点C′，要使△A′B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．
















25. (本题满分12分)问题提出
(1)如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为________；
问题探究
(2)如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值；
问题解决
(3)如图③所示，AB、AC、是某新区的三条规划路，其中，AB＝6 km，AC＝3 km，∠BAC＝60°，所对的圆心角为60°.新区管委会想在路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在，线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP.为了快捷、环保和节约成本，要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值．(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)

第25题图
















2018年陕西省初中毕业学业考试
数学试卷参考答案
1. D　【解析】本题考查了倒数的概念. ∵乘积为1的两个数互为倒数，∴－的倒数是－.故选D.
2. C 　【解析】本题考查了几何体的表面展开图. ∵三棱柱的表面展开图由两个三角形和三个长方形组成，∴该几何体是三棱柱．故选C.
3. D 　【解析】本题考查了平行线的性质、补角的定义以及对顶角相等．如解图，∵l1∥l2，∴∠3＝∠5，∠2＝∠4，∵∠2＝∠3，∠4＝∠5，∴∠2＝∠3＝∠4＝∠5，∵l3∥l4，∴∠1＋∠2＝180°，∴与∠1互补的角有∠2、∠3、∠4、∠5，共4个．故选D.

第3题解图
4. A 　【解析】本题考查了矩形的性质、正比例函数图象上点的坐标特征. ∵四边形AOBC是矩形，∴OA＝BC，OB＝AC，∵A(－2，0)，B(0，1)，∴点C的坐标为(－2，1)，∵正比例函数y＝kx的图象经过点C(－2，1)，∴－2k＝1，∴k＝－.故选A.
5. B 　【解析】本题考查了整式的运算．逐项分析如下：
选项
逐项分析
正误
A
a2·a2＝a2＋2＝a4≠2a4

B
(－a2)3＝－a2×3＝－a6
√
C
3a2－6a2＝(3－6)a2＝－3a2≠3a2

D
(a－2)2＝a2－4a＋4≠a2－4

6. C　【解析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及解直角三角形．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，AC＝8，∴AD＝AC·sin45°＝8×＝4，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝90°－60°＝30°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE＝30°，∴∠BAD＝∠ABE，∴AE＝BE，在Rt△BDE中，∵∠DBE＝30°，∴DE＝BE＝AE，∵AE＋DE＝AD，∴AE＋AE＝4，∴AE＝.故选C.
7. B 　【解析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标、待定系数法求函数解析式以及求两直线的交点问题．点(0，4)，点(3，2)关于x轴对称的点的坐标分别为(0，－4)，(3，－2)，∵l1与l2关于x轴对称，且点(0，4)在l1上，点(3，2)在l2上，∴直线l1经过点(0，4)，(3，－2)，直线l2经过点(3，2)，(0，－4)，设直线l1的解析式为y＝kx＋4，将(3，－2)代入直线l1的解析式中，得－2＝3k＋4，解得k＝－2，则直线l1的解析式为y＝－2x＋4；同理可得直线l2的解析式为y＝2x－4；联立直线l1与l2的解析式得，解得，∴直线l1与l2的交点坐标为(2，0)．故选B.
8. D　【解析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质以及勾股定理．如解图，连接HF，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵点F、H分别是边BC和DA的中点，∴AH＝BF，∴四边形ABFH是平行四边形，∴AB＝HF，∵点E、F、G、H是菱形ABCD各边的中点，∴四边形EFGH是矩形，∴∠HEF＝90，∴FH2＝EF2＋EH2，∵AB＝HF，EH＝2EF，∴AB2＝EF2＋(2EF)2，即AB2＝5EF2，∴AB＝EF.故选D.

第8题解图
9. A　【解析】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理. ∵AB＝AC，∠BCA＝65°，∴∠CBA＝∠BCA＝65°，∴∠A＝180°－65°－65°＝50°，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠A＝50°，∵∠ABD＝∠ACD＝50°，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD ＝65°－50°＝15°.故选A.
10. C　【解析】本题考查了抛物线与系数的关系、二次函数的性质．∵当x＝1时，y＞0，∴将x＝1代入抛物线表达式中，得y＝a＋(2a－1)＋a－3＝4a－4＞0，解得a＞1，∴抛物线开口向上，∵b2－4ac＝(2a－1)2－4a(a－3)＝ 8a＋1＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝＜0，∴抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴抛物线的顶点在第三象限．故选C.
11. ＜ 　【解析】本题考查了实数的大小比较. ∵3＝，且＜，∴3＜.
12. 72°　【解析】本题考查了正多边形内角和定理、正多边形的性质及三角形外角和定理．∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝AE＝BC，∠BAE＝∠ABC＝＝108°，∴∠ABE＝∠AEB＝＝36°，∠BAC＝∠BCA＝＝36°，∴∠AFE＝∠ABE＋∠BAC＝36°＋36°＝72°.
13. y＝　【解析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征. 设这个反比例函数的表达式为y＝，∵反比例函数图象经过点A(m，m)和点B(2m，－1), ∴m2＝－2m＝k，即m2＋2m＝0，解得m1＝－2，m2＝0(不合题意，舍去)，∴k＝(－2)×(－2)＝4，∴这个反比例函数的表达式为y＝.
14. 2S1＝3S2(S1＝S2或S2＝S1均正确)　【解析】如解图，连接AC、OB，∵点O是▱ABCD的对称中心，∴点O是▱ABCD两条对角线的交点，∴OA＝OC，∴S△AOB＝S△BOC，∵EF＝AB，GH＝BC，∴S1＝S△AOB，S2＝S△BOC，∴＝，即＝，∴2S1＝3S2.

第14题解图
15. 解：原式＝＋－1＋1……………………………………(3分)
＝3＋－1＋1
＝4.………………………………………………(5分)
16. 解：原式＝·……………………(2分)
＝·
＝.………………………………………………………………(5分)
17. 解：如解图①所示，点P即为所求. …………………………………… (5分)

第17题解图①
【作法提示】 ①以点D为圆心，AD长为半径画弧，交直线AM于点E；②分别以点A、E为圆心，以大于AE长为半径画弧，两弧交于点G；③作直线DG，交AM于点P，点P即为所求．
18. 证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D.
又∵EC∥BF, ∴∠AHB＝∠DGC.………………………………………………(2分)
在△ABH 和△DCG 中，
∵，
∴△ABH≌△DCG(AAS),
∴AH＝DG.
又∵AH＝AG＋GH, DG＝DH＋GH,
∴AG＝DH. ……………………………………………………(5分)
19. (1)【题图分析】要求m的值，结合统计图表，首先利用B组的学生人数除以其人数所占百分比即可求得被抽取的学生总人数，然后利用被抽取的学生总人数乘以D组人数所占的百分比即可求得m的值；要求n的值，可直接利用A组人数除以被抽取的学生总人数再乘以100%，即可得n的值；
解：30，19%; ………………………………………………(2分)
(2)【题图分析】要求这次测试成绩的中位数落在哪个组内，结合(1)中所求被抽取的学生总人数，进而根据中位数的定义即可得解；
解： B(或70 (3)【题图分析】要求本次全部测试成绩的平均数，直接想到利用平均数公式求解即可．
解：本次全部测试成绩的平均数为：
＝80.1(分)，
∴ 本次全部测试成绩的平均数是80.1分. ………………………………… (7分)
20. 【思维教练】要求河宽AB，根据CB⊥AD，ED⊥AD，可得CB∥ED，可考虑利用相似三角形对应边成比例，列出含有线段AB的比例式，代入相关数值即可求得AB的长．
解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，
∴CB∥ED，
∴△ABC∽△ADE，…………………………(3分)
∴＝，………………………………(5分)
∵BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m，
∴＝，解得AB＝17，
∴河宽AB为17 m. ……………………………… (7分)
21. (1)【思维教练】要求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋，设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣a袋，销售小米b袋，结合已知条件小明家网店销售这种规格的红枣和小米3000 kg，销售这些红枣和小米获得利润4.2万元，列出关于a和b的方程组，即可求得a的值；
解：设前五个月小明家网店销售这种红枣a袋，销售小米b袋，根据题意，
得，解得.
∴这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣1500袋； ……………………………… (3分)
(2)【思维教练】要求小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元，设出后五个月小明家网店销售这种规格的红枣x kg，则销售这种规格的小米(2000－x)kg，根据题意列出y与x之间的函数关系式，然后利用一次函数的增减性即可求得小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得利润多少元．
解：设后五个月小明家网店销售这种红枣x kg，则销售小米(2000－x)kg，
由题意，得y＝20x＋＝20x＋16000－8x＝12x＋16000(x≥600)，……………………(5分)
在y＝12x＋16000中，
∵k＝12＞0，∴y的值随x的增大而增大，
∴当x取最小值时，y取最小值，
∵x≥600，
∴当x＝600时，y有最小值，y最小值＝12×600＋16000＝23200，
∴小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润23200元. ……………………………… (7分)
22. (1)【思维教练】要求转出的数字是－2的概率，根据题意可知数字1、3所在的扇形的圆心角度数都为120°，则数字－2所在的两个扇形的圆心角度数之和为120°，直接想到利用概率公式求解即可；
解：由题意知数字1、3所在的扇形的圆心角度数都为120°，∴数字－2所在的两个扇形圆心角的度数之和为120°，
∴P(转出的数字是－2)＝＝；……………………………… (2分)
(2)【思维教练】要求转动转盘两次，转出的数字之积为正数的概率，直接考虑利用树状图或列表法等方法将所有等可能的结果表示出来，再找出符合题意的结果，利用概率公式求解即可．
解：由题意画树状图如解图：

第22题解图
………………………………………………………………………………………………(6分)
由树状图可知，转动转盘两次，这两次转出的数字之积共有9种等可能的结果，其中两数字之积为正数的结果有5种情况，则P(这两次分别转出的数字之积为正数)＝. ………………………… (7分)
23. (1)【思维教练】要证NE⊥AB，根据NE是⊙O的切线，直接想到“连半径，得垂直”，通过作辅助线ON，得到ON⊥NE，继而转化为证明ON∥AB，结合图形和已知，得到AD＝CD＝BD，OC＝ON，利用等腰三角形的性质和角的等量代换，可得∠B＝∠ONC，进而利用平行线的判定可得ON∥AB，即可证明结论；
证明：如解图，连接ON，
∵NE为⊙O的切线，
∴ON⊥NE，
∵D为AB的中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠DCB, …………………………………………(2分)
∵OC＝ON，∴∠ONC＝∠OCN，
∵∠OCN＝∠DCB，且∠B＝∠DCB，
∴∠B＝∠ONC，
∴ON∥AB，
∵ON⊥NE，
∴NE⊥AB; …………………………………………(4分)

第23题解图
(2) 【思维教练】要证MD＝NB，连接ND，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形CMDN是矩形，则有MD＝CN，由第(1)问得BD＝ CD，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得CN＝NB，于是根据等量代换可得结论．
证明：如解图，连接ND，
∵CD为⊙O 的直径，
∴∠DMC＝∠DNC＝90°，
由(1)得BD＝CD，
∴CN＝NB，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形CMDN是矩形 ,………………………………………… (6分)
∴MD＝CN，
∴MD＝NB. ……………………………………………………………………(8分)
24. (1) 【思维教练】要求A、B、C三点的坐标，在抛物线表达式中，令y＝0，求出x的两个值，即可得点A、B的坐标，令x＝0，求出y的值，即可得点C的坐标；要求△ABC的面积，直接利用三角形面积公式即可求解；
解：在y＝x2＋x－6中，令y＝0，得x2＋x－6＝0，
解得x1＝－3，x2＝2，……………………………………(2分)
令x＝0，得y＝－6，
∴A(－3，0)，B(2，0)，C(0，－6)，………………………………… (3分)
∴AB＝5，OC＝6，
∴S△ABC＝AB·OC＝＝15；…………………………………(4分)
(2)【思维教练】由题意可知A′B′＝AB，要满足S△A′B′C′＝S△ABC，根据三角形的面积公式可知只需满足两三角形高相等，即只要抛物线L′与y轴的交点到x轴的距离为6即可，再结合平移前后抛物线的顶点纵坐标相同这一性质求解即可．
解：由题意，得A′B′＝AB＝5.
要使S△A′B′C′＝S△ABC，只要抛物线L′与y轴的交点为C′( 0，－6)或C′(0，6)即可．
设所求抛物线L′的函数表达式为y＝x2＋nx－6或y＝x2＋mx＋6.…………………………………(7分)
由(1)知抛物线C的顶点坐标为(－，－)
∵抛物线L′与抛物线L的顶点纵坐标相同，
∴＝－，＝.
解得n＝±1(n＝1舍去)，m＝±7
∴抛物线L′的函数表达式为y＝x2－x－6，y＝x2－7x＋6或y＝x2＋7x＋6.………………………(10分)
25. (1)【思维教练】要求△ABC外接圆半径R的值，首先想到根据题意画出如解图①所示的图形，结合已知∠BAC＝120°，OA＝OB，可得△OAB是等边三角形，进而根据OA＝AB即可求出R的值；
解：5；…………………………………(2分)
【解法提示】如解图①，⊙O是△ABC的外接圆，
∵AB＝AC，
∴OA⊥BC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠OAB＝∠OAC＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝5，即R＝5.

第25题解图①
(2)【思维教练】要求PM的最大值，可连接OP、OM、OA，根据勾股定理求出OM的值，然后利用三角形三边之间的关系，即可求出PM的最大值；
解：如解图②，连接OP、OM、OA，
∵M是AB的中点，
∴OM⊥AB，AM＝BM＝AB＝12，
∵OP＝OA＝13，
∴OM＝
＝＝5,………………………………… (4分)
∵点P为⊙O上一动点，
∴PM≤OP＋OM＝13＋5＝18，
当P、O、M三点共线时，取等号，此时PM有最大值，最大值为18； ……………………………(5分)

第25题解图②
(3)【思维教练】要求PE＋EF＋PF的最小值，首先想到利用轴对称来解决问题，结合已知，在上任取一点P′，分别作出点P′关于AB和AC的对称点P′1、P′2，利用对称性，可知PE＋EF＋PF≥P′1P′2，进而将求PE＋EF＋PF的最小值转化为求P′1P′2的最小值，即可得解．
解：如解图③，P′为上任意一点，分别作点P′关于直线AB、AC的对称点P′1、P′2，连接P′1P′2，分别与AB、AC相交于点E′、F′，连接P′E′、P′F′，
∴△P′E′F′的周长为P′1E′＋E′F′＋P′2F′＝P′1P′2，
对于点P′及分别在AB、AC上的任意点E、F，则有△P′EF的周长≥△P′E′F′的周长＝P′1P′2，
即△P′EF的周长最小值为P′1P′2的长. …………………………………(7分)
连接AP′1、AP′、AP′2，
则AP′1＝AP′＝AP′2，∠P′AB＝∠P′1AB，∠P′2AC＝∠P′AC，
∴∠P′1AP′2＝2∠BAC＝120°， P′1P′2＝AP′1＝AP′，…………………………………(8分)
∴要使P′1P′2最短，只要AP′最短，
设O为所在圆的圆心，连接OB、OC、OP′ 、OA、BC，且OA与相交于点P，
则AP′＋P′O≥AO，
∴AP′≥AP. …………………………………(9分)
易证△ACB为直角三角形，
且∠ABC＝∠BOC＝30°，∠ACB＝90°，
∴BC＝AC·tan60°＝3，
∵∠BOC＝60°，OB＝OC，
∴BO＝BC＝3，∠OBC＝60°， ∠ABO＝∠ABC＋∠OBC＝90°，
在Rt△ABO中，AO＝＝＝3， …………………………… (11分)
∴AP＝(AO－OP)＝(3－3)＝3－9，
∴P′1P′2最小值为AP＝3－9，
∴PE＋EF＋FP的最小值为(3－9)km. ……………………………………(12分)

第25题解图③