中考数学真题：2021浙江杭州

这是一份中考数学真题：2021浙江杭州，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年浙江省初中毕业学业考试(杭州卷)　　　　　
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. －(－2021)＝(　　)
A. －2021 B. 2021 C. － D.
2. “奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜纪录．数据10909用科学记数法可表示为(　　)
A. 0.10909×105 B. 1.0909×104
C. 10.909×103 D. 109.09×102
3. 因式分解：1－4y2＝(　　)
A. (1－2y)(1＋2y) B. (2－y)(2＋y)
C. (1－2y)(2＋y) D. (2－y)(1＋2y)
4. 如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连接PT，则(　　)

(第4题图)
A. RT≥2PQ B. PT≤2PQ
C. PT≥PQ D. PT≤PQ
5. 下列计算正确的是(　　)
A. ＝2 B. ＝－2
C. ＝±2 D. ＝±2
6. 某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次，设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x(x>0)，则(　　)
A. 60.5(1－x)＝25 B. 25(1－x)＝60.5
C. 60.5(1＋x)＝25 D. 25(1＋x)＝60.5
7. 某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等，某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的慨率是(　　)
A. B. C. D.
8. 在“探索函数y＝ax2＋bx＋c的系数a、b、c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A(0，2)，B(1，0) ，C(3，1)，D(2，3)，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为(　　)
A. B. C. D.

(第8题图)
9. 已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP∶AB＝(　　)

(第9题图)
A. 1∶ B. 1∶2
C. 1∶ D. 1∶
10. 已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别为M1和M2，若存在实数m，使得M1＋M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P.以下函数y1和y2具有性质P的是(　　)
A. y1＝x2＋2x和y2＝－x－1
B. y1＝x2＋2x和y2＝－x＋1
C. y1＝－和y2＝－x－1
D. y1＝－和y2＝－x＋1
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11. sin 30°＝________．
12. 计算：2a＋3a＝________．
13. 如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2.若PT是⊙O的切线，T为切点，连接OT，则PT＝________．

(第13题图)
14. 现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示.

甲种糖果
乙种糖果
单价(元/千克)
30
20
千克数
2
3
将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为________元/千克．　
15. 如图，在直角坐标系中，以点A(3，1)为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B(1，1)，点C(1，3)，点D(4，4)，点E(5，2)，则∠BAC________∠DAE(填“＞”、“＝”、“＜”中的一个)．

(第15题图)
16. 如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF，若MF＝AB，则∠DAF＝________度．

(第16题图)
三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本题满分6分)
以下是圆圆解不等式组的解答过程，
解：由①，得2＋x>－1，
所以x>－3.
由②，得1－x>2，
所以－x>1，
所以x>－1；
所以原不等式组的解是x>－1.
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．



18. (本题满分8分)
为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图(每一组不含前一个边界值，含后一个边界值)．
某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表
组别(次)
频数
100～130
48
130～160
96
160～190
a
190～220
72
某校某年级360名学生一分钟跳绳
次数的频数直方图

(第18题图)
(1)求a的值．
(2)把频数直方图补充完整．
(3)求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．



19. (本题满分8分)
在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上(不与点A，点B重合)，点E在AC边上(不与点A，点C重合)，连接BE，CD，BE与CD相交于点F，若________，求证：BE＝CD.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

(第19题图)






20. (本题满分10分)
在直角坐标系中，设函数y1＝(k1是常数，k1>0，x>0)与函数y2＝k2x(k2是常数，k2≠0)的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B.
(1)若点B的坐标为(－1，2)，
①求k1，k2的值．
②当y1 (2)若点B在函数为y3＝(k3是常数，k3≠0)的图象上，求k1＋k3的值．

(第20题图)




21. (本题满分10分)
如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C＝45°.
(1)求证：AB＝BD.
(2)若AE＝3.求△ABC的面积．

(第21题图)


22. (本题满分12分)
在直角坐标系中，设函数y＝ax2＋bx＋1(a，b是常数，a≠0)．
(1)若该函数的图象经过(1，0)和(2，1)两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
(2)写出一组a，b的值，使函数y＝ax2＋bx＋1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
(3)已知a＝b＝1，当x＝p，q(p，q是实数，p≠q)时，该函数对应的函数值分别为P，Q.若p＋q＝2，求证：P＋Q>6.






23. (本题满分12分)
如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G.交BC边于点F，连接BG.
(1)求证：△ABG∽△AFC.
(2)已知AB＝a，AC＝AF＝b.求线线FG的长(用含a，b的代数式表示)．
(3)已知点E在线段AF上(不与点A，点F重合)，点D在线段AE上(不与点A，点E重合)，∠ABD＝∠CBE，
求证：BG2＝GE·GD.

(第23题图)



2021年浙江省初中毕业学业考试(杭州卷)参考答案
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．
1. B
2. B　【解析】10 909＝1.090 9×10 000＝1.090 9×104.
3. A　【解析】1－4y2＝1－(2y)2＝(1＋2y)(1－2y)．
4. C　【解析】∵点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为Q，∴点P到直线l的距离为PQ的长，∵点T是直线l上的一个动点，根据垂线段最短，∴PT≥PQ.
5. A　【解析】＝|2|＝2，故A正确，C错误；＝|－2|＝2，故B错误，D错误．
6. D　【解析】设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x(x>0)，∵该景点今年四月接待游客25万人次，∴五月接待游客25(1＋x)万人次，∵五月接待游客60.5万人次，∴25(1＋x)＝60.5.
7. C　【解析】设三节车厢分别为A，B，C，画树状图如解图所示：

第7题解图
根据树状图可知共9种情况，其中甲、乙从同一节车厢上车的有3种情况，故P(甲、乙同一节车厢上车)＝＝.
8. A　【解析】A、B、C、D中取3点，有ABC，ABD，ACD、BCD共4种取法．若二次函数为y＝ax2＋bx＋c的图象经过ABC三点，则解得若二次函数为y＝ax2＋bx＋c的图象经过ABD三点，则解得若二次函数为y＝ax2＋bx＋c的图象经过ACD三点，则解得若二次函数为y＝ax2＋bx＋c的图象经过BCD三点，则解得∴a的最大值为.
9. D　【解析】∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2.∵AC⊥AB，EP⊥AB，∴AC//PE，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴AP＝PE，∴AP2＋PE2＝AE2，∵AE＝AB，∴2AP2＝AB2，∴AP＝AB.即AP∶AB＝1∶.

第9题解图
10. A　【解析】逐项分析如下：
选项
理由
判断
A
当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若M1＋ M2＝0，m2＋2m－m－1＝0，即m2＋m－1＝0，12＋4＝5>0，∴存在m使得M1＋ M2＝0.
√
B
当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若M1＋ M2＝0，m2＋2m－m＋1＝0，即m2＋m＋1＝0，12－4＝－3<0，∴不存在m使得M1＋ M2＝0.
×
C
∵当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若M1＋ M2＝0，－－m－1＝0，去分母，得m2＋m＋1＝0，12－4＝－3<0，∴不存在m使得M1＋ M2＝0.
×
D
∵当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若M1＋ M2＝0，－－m＋1＝0，去分母，得m2－m＋1＝0，12－4＝－3<0，∴不存在m使得M1＋ M2＝0.
×
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11.
12. 5a　【解析】2a＋3a＝(2＋3)a＝5a.
13. 　【解析】∵PT是⊙O的切线，T为切点，∴OT⊥TP，∵⊙O的半径为1，OP＝2，∴PT＝＝＝.
14. 24　【解析】将2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，结合表中数据可得，这5千克什锦糖果的单价为＝24(元/千克)．
15. ＝　【解析】连接DE，∵A(3，1)，D(4，4)，E(5，2)，∴AD＝＝，AE＝＝，DE＝＝，∴AE＝DE，AE2＋DE2＝5＋5＝10＝()2＝AD2，∴△ADE为等腰直角三角形，∴∠DAE＝45°.连接BC，∵A(3，1)，B(1，1)，C(1，3)，∴AB＝2，BC＝2，AC＝＝2，∴AB2＋BC2＝4＋4＝8＝(2)2＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∴∠BAC＝∠DAE.
16. 18　【解析】如解图，连接MD，设∠DMF＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD.∵MF＝AB，∴MF＝ CD.由折叠的性质可知CD＝DF，∴MF＝DF.∴∠MDF＝∠DMF＝x.∵∠DFC＝∠MDF＋∠DMF＝2∠MDF＝2x.∵CD＝DF，∴∠DCF＝∠DFC＝2x.∴∠FDC＝180°－∠DFC－∠DCF＝180°－4x.∵M为AC的中点，∠ADC＝90°，∴AM＝MD＝MC.∴∠MDC＝∠MCD＝2x，∠DAF＝∠ADM.∵∠MDC＝∠MDF＋∠FDC，∴2x＝180°－4x＋x，解得x＝36°.又∵∠DMC＝∠DAF＋∠ADM＝2∠DAF.∴∠DAF＝∠DMC＝18°.

第16题解图
三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17. (本题满分6分)
解：圆圆的解答过程有错误．
正确的解答过程如下：
由①，得2＋2x>－1，
所以2x>－3，
所以2x>－，
由②，得1－x<2，
所以－x<1，
所以x>－1.
所以原不等式组的解是x>－1.
18. (本题满分8分)
解：(1)a＝360－48－96－72＝144.
(2)补全频数直方图，如右图．

某校某年级360名学生一分钟跳绳
次数的频数直方图

(第18题图)
(3)因为72÷360×100%＝20%，
所以该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的20%.
19. (本题满分8分)
解：选择条件①的证明：
因为∠ABC＝∠ACB，
所以AB＝AC.
又因为AD＝AE，∠A＝∠A，
所以△ABE≌△ACD，
所以BE＝CD.
选择条件②的证明：
因为∠ABC＝∠ACB，
所以AB＝AC.
又因为∠A＝∠A，∠ABE＝∠ACD，
所以△ABE≌△ACD，
所以BE＝CD.
选挥条件③的证明：
因为FB＝FC.
所以∠FBC＝∠FCB，
又因为∠ABC＝∠ACB，BC＝CB，
所以△CBE≌△BCD，
所以BE＝CD.
20. (本题满分10分)
解：(1)①由题意得，点A的坐标是(1，2)，
因为函数y1＝的图象过点A，
所以k1＝2，
同理k2＝2.
②x>1.
(2)设点A的坐标是(x0，y0)，则点B的坐标是(－x0，y0)，
所以k1＝x0y0，k3＝－x0y0，
所以k1＋k3＝0.
21. (本题满分10分)
解：(1)因为BD平分∠ABC，
所以∠DBC＝∠ABC＝30°，
所以∠ADB＝∠DBC＋∠C＝75°，
又因为∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝75°，
所以∠BAC＝∠ADB.
所以AB＝BD.
(2)由题意，得BE＝＝，EC＝＝3，
所以BC＝3＋，
所以△ABC的面积为BC·AE＝.
22. (本题满分12分)
解：(1)由题意，得
解得
所以y＝x2－2x＋1.
所以该函数图象的顶点坐标是(1，0)．
(2)例如a＝1，b＝3.此时y＝x2＋3x＋1.
因为b2－4ac＝5>0.
所以函数y＝x2＋3x＋1的图象与x轴有两个不同的交点，
(3)由题意，得P＝p2＋p＋1，Q＝q2＋q＋1，
所以P＋Q＝p2＋p＋1＋q2＋q＋1
＝p2＋q2＋4
＝(2－q)2＋q2＋4
＝2(q－1)2＋6≥6.
由题意，知q≠1.
所以P＋Q>5.
23. (本题满分12分)
解：(1)因为AG平分∠BAC，
所以∠BAG＝∠FAC，
又因为∠G＝∠C，
所以△ABG∽△AFC.
(2)由(1)，知＝，
因为AC＝AF，
所以AG＝AB，
所以FG＝AG－AF＝a－b.
(3)因为∠CAG＝∠CBG，
又因为∠BAG－∠CAG，
所以∠BAG＝∠CBG，
因为∠ABD＝∠CBE，
所以∠BDG＝∠BAG＋∠ABD＝∠CBG＋∠CBE＝∠EBG，
又因为∠DGB＝∠BGE.
所以△DCB∽△BGE，
所以＝，
所以BG2＝GE·GD.