四川省自贡市2022-2023学年高二下学期期末数学（理）试卷（含答案）

这是一份四川省自贡市2022-2023学年高二下学期期末数学（理）试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省自贡市2022-2023学年高二下学期期末数学（理）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、当时，复数在复数平面内对应点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2、抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
3、将上所有点经过伸缩变换后得到的曲线方程为( )
A. B. C. D.
4、已知命题，有，则是( )
A.， B.，
C.， D.，
5、已知等比数列{}的前n项和为，则”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6、已知F是双曲线的左焦点，过F倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为( )
A. B. C. D.
7、“以直代曲”是重要的数学思想.具体做法是：在函数图像某个切点附近用切线代替曲线来近似计算.比如要求的近似值，我们可以先构造函数，由于0.05与0比较接近，所以求出处的切线方程为，再把代入切线方程，故有，类比上述方式.则( )
A.1.001 B.1.005 C.1.015 D.1.025
8、已知，为的导函数，则的大致图象是( )
A. B.
C. D.
9、设椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的动点，则下列四个结论正确的个数( )
①；
②离心率；
③面积的最大值为；
④以线段为直径的圆与直线相切.
A.1 B.2 C.3 D.4
10、已知，，且，则( )
A. B. C. D.a，b大小关系无法确定
11、已知函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
12、已知函数，，，恒成立，则的最大值为( )
A.e B.1 C.-1 D.
二、填空题
13、已知，则_____________.
14、已知函数，若，则a的范围是____________.
15、双曲线经过一点，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为___________.
16、在平面直角坐标系xOy中，若对于曲线上的任意点P，都存在曲线上的点Q，使得成立，则称函数具备“性质”.则下列函数具备“性质”的序号是_____________.
①；②；③；④.
三、解答题
17、已知抛物线，过焦点F且倾斜角为的直线l交抛物线C于A，B两点，求该抛物线准线方程及.
18、某中学计划在学校开设劳动实践课程，为了解学生对劳动实践课程的赞同度，随机从高一、高二年级学生中一共抽取了100人进行调查，其中高一年级对开设劳动实践课程赞同的占，而高二年级有20人表示对开设劳动实践课程赞同.下表是部分列联表：

赞同
不赞同
合计
高一年级
a
b
60
高二年级
20
d

合计



(1)求表中a，b，d的值；能否有的把握认为对开设劳动实践课程的赞同度与年级有关？
(2)为进一步了解学生对劳动实践课程认知，用分层抽样的方法随机从参与调查的高二学生中选取4人，若再从这4人中随机选取2人进行个别交流，求这2人中至少有1人不赞同的概率.
附表：.

0.150
0.100
0.050
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
19、已知函数.
(1)若的单调递减区间为，求实数a的值；
(2)若函数在单调递减，求实数a的取值范围.
20、在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程；
(2)求M为曲线的点，N为曲线的点，求的最小值.
21、已知椭圆的离心率为，右顶点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)M、N为椭圆C上的不同两点，设直线AM，AN的斜率分别为，，若，判断直线MN是否经过定点并说明理由.
22、已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)函数的图象与x轴交于两点、且，证明：.
参考答案
1、答案：C
解析：复数
当时，，，
，，复数在复数平面内对应点位于第三象限.
故选：C
2、答案：A
解析：抛物线即，故其焦点坐标为，
故选：A
3、答案：D
解析：由得，
代入得，
化简得，即.
故选：D
4、答案：B
解析：由全称命题的否定可知，，.
故选：B
5、答案：C
解析：若公比，则当时成立；
若公比，则，与符号相同
与的符号相同，故
即是的充要条件
故选:C.
6、答案：D
解析：由题意双曲线可知，，，，
故其渐近线方程为，
过F倾斜角为的直线方程为，即，
不妨设l与渐近线的交点如图示：
  
由于，即；
联立，解得，即，则，
联立，解得，即，则，
则,
故的面积为，
故选：D
7、答案：B
解析：设，则，
则，故在处的切线方程为，设为，
故由题意得，
故选：B
8、答案：A
解析：，
，
，
为奇函数，其图象关于原点对称，故B，D错误；
将代入得：，故C错误.
故选：A.
9、答案：B
解析：对于①，由椭圆的定义可知，故①正确；
对于②，由椭圆方程知，,
所以离心率，故②错误；
对于③，，当P为椭圆短轴顶点时，
的面积取得最大值，最大值为，故③错误；
对于④，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为:
，
即圆心到直线的距离等于半径，
所以以线段为直径的圆与直线相切，
故④正确.故选：B.
10、答案：C
解析：易知，设，
则，设，
则，所以单调递减，
所以，即，单调递减，
因为，所以.
故选：C.
11、答案：D
解析：令，原问题可转化为直线与函数的图象有两个不同的交点..
令，则，
所以在上单调递增，又，，
所以存在，使得，即，从而，所以当时，，
即，单调递减；当时，，即，单调递增.所以，
作出函数的大致图象，如图所示，易知当时，
函数与的图象有两个不同的交点，即在上有两个不同的零点.
故选：D

12、答案：A
解析：令，其中，则，
令，其中，则，
故函数在上为增函数，
①当时，，，则，
所以，，
所以，存在，使得；
②当时，，则，，
所以，存在，使得；
③当时，令，则，
令，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，即，当且仅当时，等号成立，
所以，，
所以存在，使得，即.
由上可知，对任意的，存在，使得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，
，则，
所以，，
令，其中，
所以，，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，即的最大值为e.
故选：A.
13、答案：
解析：由得，
故，
故答案为：
14、答案：
解析：由函数，可得，
即为R上的单调递增函数，
故由可得，
即a的范围是，
故答案为：
15、答案：
解析：由题意双曲线经过一点，渐近线方程为，
可设双曲线方程为，
将代入方程得，
故双曲线的方程为，标准方程为，
故答案为：
16、答案：②④
解析：对于①，如图所示，曲线，当点时，

要使得点Q满足成立，那么点Q落在直线上，
而此时与两直线是平行的，不存在交点，
故此时不满足在上存在点Q，使得成立，故①不满足条件；
对于②，如图所示，对于函数，
对于曲线上的任意点P，都存在曲线上的点Q，
使得成立，故②满足条件；

对于③，因为，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，当时，函数取得最大值，即，

当时，；当时，.
当点，要使得点Q满足成立，那么点Q落在直线上，
而此时与两曲线不存在交点，故此时不满足在上存在点Q，
使得成立，故③不满足；
对于④，如下图所示，曲线，对于曲线上的任意点P，
在曲线上都存在点Q，使得成立，故④满足条件.

故答案为：②④.
17、答案：；8
解析：由题意抛物线可知焦准距为，
则焦点，抛物线准线方程为；
过焦点F且倾斜角为的直线l的方程为，
联立可得，
设，则，
故.
18、答案：(1)，，，有的把握认为对开设劳动实践课程的赞同度与年级有关
(2)
解析：（1）由题意得，，，，
，
有的把握认为对开设劳动实践课程的赞同度与年级有关.
（2）用分层抽样的方法随机从参与调查的高二学生中选取4人，则赞同的有2人，记为A,B,
不赞同的2人，记为a，b，
若再从这4人中随机选取2人进行个别交流，
总的基本事件有：AB,Aa,Ab,Ba,Bb,ab，则2人中均赞同的基本事件仅有AB，
所以这2人中至少有1人不赞同的概率概率为.
19、答案：(1)
(2)
解析：（1）由题意得，
因为的单调递减区间为，即的解集为，
故,1是的两根，即，
当时，，由，解得，
等号仅在,1时取得，即的单调递减区间为，符合题意，
故.
（2）函数在单调递减，即在上恒成立，
即在上恒成立，此时，
即在上恒成立，而，故,
经验证当时, 即，
等号仅在,1时取得，此时函数在单调递减，符合题意，
故.
20、答案：(1)；
(2)
解析：（1）由题意知曲线的参数方程为（为参数），
化为普通方程为；
曲线的极坐标方程为，即，
故化为直角坐标方程为；
（2）由（1）知曲线:表示圆，圆心为，半径为1；
圆心到曲线，即到直线的距离为，
故曲线与直线相离，
则曲线的点与曲线上的点之间的最短距离为，
即的最小值为.
21、答案：(1)
(2)直线MN经过定点,理由见解析
解析：（1）由题意可知，，，则，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）直线经过定点,理由如下，

若直线MN的斜率存在，设MN方程为，
则将直线方程代入椭圆方程消去可得，
，得，
设、，则有，，
，
，
，
化简得，解得或，
当时，MN方程为，过定点，不合题意，
当时，MN方程为，过定点，
若直线MN的斜率不存在，设MN方程为，
设，，则，
即，解得，
此时MN方程为，显然过点
综上，直线MN经过定点.
22、答案：(1)极大值为-1，无极小值
(2)证明见解析
解析：（1）当时，，该函数的定义域为，
则，令，可得，列表如下：
x

1



0


增
极大值
减
所以，函数的极大值为，无极小值；
（2）证明：得到，，
两式相减得，
得
因为，
得
，
因为，所以，
要证，先证，
即证，即证，
设，原式即证，
即证，即，
构造，其中，
求导可得，故在上单调递减，
故，故，故原不等式得证.