中考数学真题：2021年陕西省初中毕业学业考试

这是一份中考数学真题：2021年陕西省初中毕业学业考试，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021陕西省初中毕业学业考试
时间：120分钟　满分：120分
第一部分(选择题　共24分)
一、选择题(共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的)
1. 计算：3×(－2)＝(　　)
A. 1　　　　B. －1　　　　C. 6　　　　D. －6
2. 下列图形中，是轴对称图形的是(　　)

3. 计算：(a3b)－2＝(　　)
A. B. a6b2
C. D. －2a3b
4. 如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE.若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为(　　)
A. 60° B. 70° C. 75° D. 85°

第4题图
5. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC ＝60°，连接AC、BD，则的值为(　　)
A. B. C. D.

第5题图
6. 在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x＋m－1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为(　　)
A. －5 B. 5 C. －6 D. 6
7. 如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5 cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6 cm，CD⊥BC，则线段CE的长度为(　　)

第7题图
A. 6 cm B. 7 cm C. 6 cm 　D. 8 cm
8. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
－2
0
1
3
…
y
…
6
－4
－6
－4
…
下列各选项中，正确的是(　　)
A. 这个函数的图象开口向下
B. 这个函数的图象与x轴无交点
C. 这个函数的最小值小于－6
D. 当x>1时，y的值随x值的增大而增大
第二部分(非选择题　共96分)
二、填空题(共5小题，每小题3分，计15分)
9. 分解因式：x3＋6x2＋9x＝________．
10. 正九边形一个内角的度数为________．
11. 幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为________．

第11题图
12. 若A(1，y1)，B(3，y2)是反比例函数y＝(m<)图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1________y2.(填“>”、“＝”或“<”)
13. 如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移(⊙O可以与该正方形的边相切)，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为________．

第13题图
三、解答题(共13小题，计81分．解答应写出过程)
14. (本题满分5分)
计算：(－)0＋|1－|－.



15. (本题满分5分)
解不等式组：



16. (本题满分5分)
解方程：－＝1.




17. (本题满分5分)
如图，已知直线l1∥l2，直线l3分别与l1、l2交于点A、B.请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到l1、l2的距离相等．(保留作图痕迹，不写作法)

第17题图






18. (本题满分5分)
如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC.
求证：∠D＝∠ABC.

第18题图








19. (本题满分5分)
一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．








20. (本题满分5分)
从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6.
(1)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为________；
(2)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．











21. (本题满分6分)
一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16 m．已知点B、C、D共线，AD⊥BD.求钢索AB的长度．(结果保留根号)

第21题图





22. (本题满分7分)
今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行．本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行．某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况．他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图：

第22题图

根据以上信息，回答下列问题：
(1)这60天的日平均气温的中位数为________，众数为________；
(2)求这60天的日平均气温的平均数；
(3)若日平均气温在18 ℃～21 ℃的范围内(包含18 ℃和21 ℃)为“舒适温度”．请预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数．







23. (本题满分7分)
在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1 min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y(m)与时间x(min)之间的关系如图所示．
(1)在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是________m/min；
(2)求AB的函数表达式；
(3)求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．

第23题图








24. (本题满分8分)
如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且＝2，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D.
(1)求证：∠COB＝∠A；
(2)若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．

第24题图




25. (本题满分8分)
已知抛物线y＝－x2＋2x＋8与x轴交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.
(1)求点B、C的坐标；
(2)设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．









26. (本题满分10分)
问题提出
(1)如图①，在▱ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上且DF＝5.求四边形ABFE的面积．(结果保留根号)
问题解决
(2)某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图②所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园ABCDE.按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC.已知在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800 m，BC＝1200 m，CD＝600 m，AE＝900 m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．

第26题图




2021年陕西省初中学业水平考试解析
快速对答案
一、选择题(每小题3分)
1－5 DBABD　6－8 ADC
二、填空题(每小题3分)
9. x(x＋3)2　10. 140°　11. －2　12. ＜　13. 3＋1
详解详析
一、选择题
1. D　2. B　3. A
4. B　【解析】∵∠B＝25°，∠C＝50°，∴∠AEB＝75°，∵∠A＝35，∴∠1＝180°－∠A－∠AEB＝70°.
5. D　【解析】如解图，记AC、BD相交于O，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝30°，∴＝＝tan30°＝.

第5题解图
6. A　【解析】将一次函数y＝2x＋m－1的图象向左平移3个单位后的表达式为y＝2(x＋3)＋m－1＝2x＋m＋5，∵y＝2x＋m＋5是正比例函数，∴m＋5＝0，∴m＝－5.
7. C　【解析】如解图，分别过点B、D作BF⊥AC于点F，DG⊥CE于点G.∵BF⊥AC，DG⊥CE，∴∠BFC＝∠CGD＝90°，∠1＋∠2＝90°.∵CD⊥BC，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵AB＝BC＝CD＝5，∴CF＝3，△BCF≌△DCG，∴CG＝BF＝＝4，∴CE＝8.

第7题解图
8. C　【解析】由表格中的数据可知，y随x的增大先减小后增大，∴这个函数的图象开口向上，故A错误；当x＝－2时，y＝6，当x＝0时，y＝－4，∴这个函数的图象与x轴有交点，故B选项错误；∵当x＝0和3时，y＝－4，∴二次函数图象的对称轴为x＝，∴当x＝时，函数取得最小值，且最小值小于－6；当x＞时，y的值随x的增大而增大，故C选项正确，D选项错误．
二、填空题
9. x(x＋3)2注：若写成x(x2＋6x＋9)，给1分．
10. 140°注：学生填“140”不扣分．
11. －2　【解析】由题意可得，－1－6＋1＝a－4，∴a＝－2.
注：学生填“a＝－2”不扣分．
核心素养解读 本题以“幻方”为背景考查一元一次方程，引导学生了解数学文化，培养学生的爱国情怀，考查了数学学科核心素养中数学建模的能力，体会数学价值，领悟数学思想方法，培养学生独立思考，获取信息，以及将知识迁移运用的能力．
12. ＜　【解析】∵m＜，∴2m－1＜0，∴反比例函数y＝的图象在第二、四象限，∵3＞1＞0，∴A、B两点在第四象限．∵反比例函数的图象在第四象限y随x的增大而增大，∴y1＜y2.
注：学生填“y1 真题探源 源自北师九上P155随堂练习第1题，通过改编题干条件编制新题．
13. 3＋1　【解析】由题意可得，圆心O只能在阴影区域运动，当圆O与BC、CD相切时AO最大，圆上取一点E，OA＋OE≥AE，当点A、O、E共线时，AE存在最大值，此时AO＝3，∴AE＝3＋1.

第13题解图
注：学生填“＋1”不扣分．
三、解答题
14. 解：原式＝1＋－1－2(3分)
＝－.(5分)
15. 解：由x＋5<4，得x<－1.(2分)
由≥2x－1，得x≤3.(4分)
∴原不等式组的解集为x<－1.(5分)
16. 解：(x－1)2－3＝x3－1(2分)
x2－2x＋1－3＝x2－1，
－2x＝1，
x＝－.(4分)
经检验，x＝－是原方程的根．(5分)
17. 解：如解图所示①，点P即为所求．

第17题解图①
　一题多解 如解图②③④，点P即为所求．

图②

图③

第17题解图④
注：1°.答案中的线条为实线不扣分；2°.作图正确，没有写结论不扣分．
18. 证明：∵BD∥AC，
∴∠EBD＝∠C.(2分)
∵BD＝BC，BE＝AC，
∴△EDB≌△ABC.(4分)
∴∠D＝∠ABC.(5分)
注：“△EDB≌△ABC”中的字母未按对应顺序书写，不扣分．
19. 解：设这种服装每件的标价是x元，根据题意，得
10×0.8x＝11(x－30)．(3分)
解之，得　x＝110.
∴这种服装每件的标价是110元．(5分)
注：没有答语不扣分．
20. 解：(1)；(2分)
(2)解：列表如下：
　　　第二次
第一次　　　
2
3
3
6
2

(2，3)
(2，3)
(2，6)
3
(3，2)

(3，3)
(3，6)
3
(3，2)
(3，3)

(3，6)
6
(6，2)
(6，3)
(6，3)

(4分)
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中牌面数字恰好相同的结果有2种，
∴P＝＝.(5分)
一题多解 画树状图如解图：

第20题解图
(4分)
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中牌面数字恰好相同的结果有2种，
∴P＝＝.(5分)
注：在(2)中，1°.如果求出的概率正确，但没有列表或画树状图扣2分；2°.若列表或画树状图后没有就结果情况作说明，求出概率正确，不扣分；3°.若运用枚举法直接列举出12种等可能结果，只要求出概率正确，不扣分．
21. 解：在△ADC中，设AD＝x.
∵AD⊥BD，∠ACD＝45°，
∴CD＝AD＝x，(2分)
在△ADB中，AD⊥BD，∠ABD＝30°，
∴AD＝BDtan30°，
即x＝(16＋x)．
解之，得x＝8＋8.(4分)
∴AB＝2AD＝16＋16.
∴钢索AB的长度约为(16＋16) m．(6分)
一题多解 在△ABD中，设AB＝x.
∵AD⊥BD，∠ABD＝30°，
∴BD＝ABcos30°＝x，AD＝AB＝.(3分)
∴CD＝BD－BC＝x－16.
在△ADC中，AD⊥BD，∠ACD＝45°，
∴AD＝CD，
即＝x－16.(5分)
解之，得x＝16＋16.
∴钢索AB的长度约为(16＋16)m.(6分)
注：没有答语不扣分．
22. 解：(1)19.5 ℃，19 ℃；(2分)
解：(2)x＝(17×5＋18×12＋19×13＋20×9＋21×6＋22×4＋23×6＋24×5)＝20.
∴这60天的日平均气温的平均数为20 ℃.(5分)
(3)∵×30＝20.
∴预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数为20天．(7分)
注：1°在．(2)中，直接写出正胡的平均数，没有过程扣1分，没有答语不扣分；2°.在(3)中，直接写出正确结果，没有计算过程扣1分，没有答语不扣分；3°.中位数、众数、平均数等结果正确，不带单位均不扣分．
23. 解：(1)1；(2分)
解：(2)设AB的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，则

(第23题图)
解之，得
∴y＝－4x＋58.(5分)
(3)令y＝0，则－4x＋58＝0，∴x＝14.5.
∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为13.5 min.(7分)
注：在(3)中，无解题过程，只写出正确结果扣1分；没有答语不扣分．
24. (本题满分8分)
如图，(1)证明：取的中点M，连接OM、OF.
∵＝2，∴＝＝.
∴∠COB＝∠BOF.(2分)∵∠A＝∠BOF，
∴∠COB＝∠A，(3分)

(第24题解图①)
(2)解：连接BF，
∵CD是⊙O的切线，
∴AB⊥CD.
由(1)，知∠COB＝∠A，
∴△OBC∽△ABD.(5分)
∴＝.
要BD＝＝＝8.
∴AD＝＝10.(6分)
∵AB是⊙O的直径，
∴BF⊥AD.
∵∠D＝∠D，
∴△BFD∽△ABD.
∴＝，∴FD＝＝＝.(8分)
一题多解 如图，(1)证明：在上取一点N，使＝，连接AN、AE.
∴∠EAB＝∠EAN＝∠BAN.
∵∠EAB＝∠COB，
∴∠COB＝∠BAN.(2分)
∵＝2＝，
∴∠BAN＝∠BAD.
∴∠COB＝∠BAD.(3分)

(第24题解图②)
(2)解：连接BF.
∵CD是⊙O的切线，
∴AB⊥CD.
在Rt△COB中，CO＝＝＝5，
∴cos∠COB＝＝.(5分)
由(1)知，∠COB＝∠BAD，
∴cos∠BAD＝.
∴AD＝＝10.(6分)
∵AB是⊙O的直径，∴BF⊥AD.
∴AF＝ABcos∠BAF＝.
∴FD＝AD－AF＝10－＝.(8分)
25. 且PC与PO是对应边；　　
解：(1)令y＝0，则－x2＋2x＋8＝0，
∴x1＝－2，x2＝4，
∴B(4，0)．(2分)
令x＝0，则y＝8，∴C(0，8)．(3分)
(2)存在，由已知得，该抛物线的对称轴为直线x＝1.
∵点C′与点C关于直线x＝1对称，∴C′(2，8)CC′＝2.
∴CC′∥OB.
∵点P在y轴上，
∴∠PCC′＝∠POB＝90°，
∴当＝时，∴△PCC′∽△POB.(4分)
设P(0，y)，
ⅰ)当y>8时，则＝，∴y＝16.
∴P(0，16)．(6分)
)ⅱ)当0 ∴P(0，)．(7分)
ⅲ)当y<0时，则CP>OP，与＝矛盾，∴点P不存在．
∴P(0，16)或P(0，)．(8分)
解法二：存在．如图，
由已知得，该抛物线的对称轴为直线x＝1.

第25题解图②
∵点C′与点C关于直线x＝1对称，∴C′(2，8)．
∴CC′∥OB.
∵点P在y轴上，
∴∠PCC′＝∠POB＝90°.
∴当∠CPC′＝∠OPB时，
△PCC′∽△POB.(4分)
ⅰ)当点P在点C上方时，记为P1，
若∠CP1C′＝∠OP1B，则P1、C′、B三点共线．
设直线BC′的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，则
解之，得
∴y＝－4x＋16.
∴P1(0，16)．(6分)
ⅱ)当点P在线段OC上时，记为P2，作点B关于y轴的对称点B′，
∴B′(－4，0)，∠OP1B′＝∠OP2B.
若∠CP2C′＝∠OP2B，则∠CP2C′＝∠OP2B′.
∵∠CP2B′＋∠B′P2O＝180°，
∴∠CP2B′＋∠CP2C′＝180°.
则C′、P2、B′三点共线．
由B′(－4，0)和C′(2，8)，可求得直线B′C′的表达式为y＝x＋.
∴P2(0，)．(7分)
ⅲ)当点P在点O下方时，∠CPC′<∠OPB恒成立，∴点P不存在．
∴P(0，16)或P(0，)．(8分)
注：在(2)的解法二中，没有论证三点共线不扣分，没有答语不扣分．
26. 解：(1)在∥ABC中，设AB边上的高为h，
∵AD＝6，∠A＝45°，∴h＝ADsin45°＝3.(1分)
∵EA＝ED，∴点E到DC的距离为.
∴S四边形ABFE＝S▱ABCD－(S△DEF＋S△BCF)
＝AB·h－(·DF·＋·FC·h)
＝24－(＋)＝(3分)
解法二：如图，在▱ABCD中，设AB边上的高为h.
AD＝6，∠DAB＝45°，∴h＝ADsin45°＝3.(1分)
连接AF，作△AEF的高FG.
由已知，得DC∥AB.
∠GDF＝∠DAB＝45°.
FG＝FDsin45°＝.
S四边形ABFE＝S△ABF＋S△AEF
＝AB·h＋AE·FG
＝×8×3＋××
＝.(3分)

第26题解图①
(2)存在．如图，分别延长AE与CD，交于点F，
则四边形ABCF是矩形，
设AN＝x，则
PC＝x，BO＝2x，BN＝800－x，
AM＝OC＝1 200－2X.
由题意，易知MF＝BO，PF＝BN.(5分)

(第26题解图②)
∴S四边形OFMN＝S距形ABCF－S△ANM－S△BON－S△CPO－S△FMP
＝800×1 200－·x(1 200－2x)－·2x(800－x)－·x(1 200－2x)－·2x(800－x)
＝4x2－2 800x＋960 000
＝4(x－350)2＋470 000.(8分)
∴当x＝350时，S四边形OPMN＝470 000.
AM＝1 200－2x＝500<900，CP＝350<600.
∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470 000 m2，
这时，点N到点A的距离为350 m．(10分)
解法二：存在．分别延长AE与CD，交于点F，

第26题解图③
则四边形ABCF是矩形．
由题意，易知△ANM≌△CPO，△BON≌△FMP.
∴NM＝OP，NO＝MP.
∴四边形OPMN是平行四边形．
连接MO.
设AN＝x，则BO＝2x，BN＝800－x，
AM＝OC＝1200－2x.(5分)
∴S四边形OPMN＝2(S梯形ABOM－S△ANM－S△BON)
＝(2x＋1200－2x)×800－x(1200－2x)－2x(800－x)
＝4x2－2800x＋960000
＝4(x－350)2＋470000.(8分)
∴当x＝350时，S四边形OPMN＝470000.
AM＝1200－2x＝500＜900，CP＝AN＝350＜600.
∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470000 m2，
这时，点N到点A的距离为350 m．(10分)
解法三：存在．如图，过点P作PF⊥AB，垂足为F，

第26题解图④
则四边形BCPF为矩形．
设AN＝x，则BF＝CP＝x，BO＝2x，
BN＝800－x，AM＝OC＝1200－2x，
AF＝800－x.(5分)
∴S四边形OPMN＝S矩形BCPF＋S梯形AFPM－S△ANM－S△BON－S△CPO
＝1200x＋(1200－2x＋1200)(800－x)－x(1200－2x)－·2x(800－x)－x(－200－2x)
＝4x2－2800x＋960000
＝4(x－350)2＋470000.(8分)
∴当x＝350时，S四边形OPMN＝470000.
AM＝1200－2x＝500＜900，CP＝350＜600.
∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470000 m2，
这时，点N到点A的距离为350 m．(10分)
真题探源 源自人教九上P57复习题22第9题，通过改编题干条件、图形及设问编制新题．
核心素养解读 本题以某市河滩治理在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖为素材，考查了数学学科核心素养中的数学建模和逻辑推理．用数学知识解决生活中的实际问题正是中国学生发展核心素养中科学精神和实践创新的重要体现．