中考数学真题：2021浙江绍兴

这是一份中考数学真题：2021浙江绍兴，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年浙江省初中毕业学业考试(绍兴卷)
卷Ⅰ(选择题)
一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分. 请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分)
1. 实数2，0，－3，中，最小的数是( )
A. 2 B.0 C.－3 D.
2. 第七次全国人口普查数据显示，绍兴市常住人口约为5270000人，这个数字5270000用科学记数法可表示为( )
A. 0.527×107 B.5.27×106
C. 52.7×105 D.5.27×107
3. 如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是( )

4. 在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个黄球和1个白球. 从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为( )
A. B. C. D.
5. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为( )

第5题图
A. 30° B.45° C.60° D.90°
6. 关于二次函数y＝2(x－4)2＋6的最大值或最小值，下列说法正确的是( )
A. 有最大值4 B.有最小值4
C. 有最大值6 D.有最小值6
7. 如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是( )
A. 2m B.3m C.m D.m

第7题图
8. 如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC－CD方向移动，移动到点D停止. 在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是( )

第8题图
A. 直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B. 直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C. 直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D. 等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
9. 如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连接CE，则的值为( )
A. B. C. D.2

第9题图
10. 数学兴趣小组同学从“中国结”的图案(图1)中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形. 如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形. 下面说法正确的是( )

第10题图
A. 用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形
B. 用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形
C. 用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形
D. 用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形
卷Ⅱ(非选择题)
二、填空题(本大题有6小题，每小题5分，共30分)
11. 分解因式：x2＋2x＋1＝ .
12. 我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两. 银子共有 两.
13. 图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上，若AB＝30cm，则BC长为 cm(结果保留根号).

第13题图
14.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连接AP，则∠BAP的度数是 .

第14题图
15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标(，2). 反比例函数y＝(常数k>0，x>0)的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是 .

第15题图
16. 已知△ABC与△ABD在同一平面内，点C，D不重合，∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2，则CD长为 .
三、解答题(本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题12分，第24小题14分，共80分. 解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
17. (1)计算：4sin60°－＋(2－)0.



(2)解不等式：5x＋3≥2(x＋3).



18. 绍兴莲花落，又称“莲花乐”，“莲花闹”，是绍兴一带的曲艺. 为了解学生对该曲种的熟悉度，某校设置了：非常了解、了解、了解很少、不了解四个选项，随机抽查了部分学生进行问卷调查，要求每名学生只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如下不完整的统计图.

第18题图
根据图中信息，解答下列问题：
(1)本次接受问卷调查的学生有多少人？并求图2中“了解”的扇形圆心角的度数.
(2)全校共有1200名学生，请你估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有多少人.



19. Ⅰ号无人机从海拔10m处出发，以10m/min的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔30m处同时出发，以a(m/min)的速度匀速上升，经过5min两架无人机位于同一海拔高度b(m). 无人机海拔高度y(m)与时间x(min)的关系如图. 两架无人机都上升了15min.
(1)求b的值及Ⅱ号无人机海拔高度y(m)与时间x(min)的关系式.
(2)问无人机上升了多少时间，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米.

第19题图




20. 拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm，点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内.
(1)转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长(精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6).
(2)物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由.

第20题图





21. 如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连接CD，BE.
(1)若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数.
(2)写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由.

第21题图




22. 小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径AB＝4，且点A，B关于y轴对称，杯脚高CO＝4，杆高DO＝8，杯底MN在x轴上.
(1)求杯体ACB所在抛物线的函数表达式(不必写出x的取值范围).
(2)为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A′CB′所在抛物线形状不变，杯口直径A′B′∥AB，杯脚高CO不变，杯深CD′与杯高OD′之比为0.6，求A′B′的长.

第22题图















23.问题：如图，在▱ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长.
答案：EF＝2.
探究：(1)把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变.
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长.
(2)把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值.

第23题图
















24. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB＝30°.连结EF，作点D关于直线EF的对称点P.
(1)若EF⊥BD，求DF的长.
(2)若PE⊥BD，求DF的长.
(3)直线PE交BD于点Q，若△DEQ是锐角三角形，求DF长的取值范围.

第24题图



2021年浙江省初中毕业学业考试(绍兴卷)参考答案
1. C　【解析】∵－3＜0＜＜2，∴最小的数是－3.
2. B　【解析】5270000＝5.27×106.
3. D　【解析】从正面看，底层是三个小正方形，上层左边一个小正方形．
4. A　【解析】∵袋子中共有6个小球，其中白球有1个，∴摸出一个球是白球的概率是.
5. B　【解析】如解图，连接OB、OC，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴＝圆周，∴∠BOC＝90°，∴∠BPC＝∠BOC＝45°.

第5题解图
6. D　【解析】∵二次函数y＝2(x－4)2＋6，a＝2＞0，∴该函数图象开口向上，有最小值，∴当x＝2时有最小值为6.
7. A　【解析】∵AB∥OP，∴△CAB∽△CPO，∴＝，
∴＝，∴AB＝2(m)．
8. C　【解析】∵∠B＝60°，故菱形由两个等边三角形组合而成，当AP⊥BC时，此时△ABP为直角三角形；当点P到达点C处时，此时△ABP为等边三角形；当点P在CD上且位于CD的中垂线时，则△ABP为直角三角形；当点P与点D重合时，此时△ABP为等腰三角形．
9. D　【解析】∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝CD.∴∠B＝∠BAD.∵∠B＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE.∴AB∥DE，∴∠B＝∠CDE.∴∠CDE＝∠ADE.在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE(SAS)，∴CE＝AE.∵△ADE是等腰三角形，∴DE＝AE＝CE，∵cosB＝.设AB＝x，CE＝y，则DF＝AB＝x，AD＝CD＝2x，EF＝DE－DF＝CE－DF＝y－x.在Rt△CDF中，CF＝＝＝x，在Rt△CEF中，有：CF2＋EF2＝CE2.得：(x)2＋(y－x)2＝y2，解得y＝4x.
∴＝＝2.

第9题解图
10. B　【解析】用2个相同的菱形放置，得到3个菱形；用3个相同的菱形放置，得到8个菱形；用4个相同的菱形放置，得到16个菱形．
11. (x＋1)2　【解析】x2＋2x＋1＝(x＋1)2.
12. 46　【解析】设有x人，依题意有：7x＋4＝9x－8，解得x＝6，7x＋4＝42＋4＝46.
13. 30　【解析】钟表数字2和数字3之间的夹角为：＝30°，∵钟表数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，AB＝30 cm，∴∠DBC＝∠ADB＝30°，∴BC＝AD＝＝＝＝30 cm.
14. 15°或75°　【解析】∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，分两种情况讨论，①当点P在点C的左边时，∴∠APB＝＝＝55°，∴∠BAP＝∠ABC－∠APB＝70°－55°＝15°；②当点P在点C的右边时，∴∠BPA＝∠ACB＝×70°＝35°，∴∠BAP＝180°－∠BPA－∠ABC＝180°－35°－70°＝75°.
15. 5或22.5　【解析】如解图，

第15题解图
过点B作BF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，过点D作DG∥x轴，过点C作CG⊥DG.
设A(a，0)，D(，2)，∴EO＝，DE＝2，∴AE＝a－，∵∠EAD＋∠FAB＝90°，∠EAD＋∠EDA＝90°，∴∠FAB＝∠EDA.在△DEA和△AFB中，，∴△DEA≌△AFB(AAS)．∴AF＝DE＝2，BF＝AE＝a－，∴B(a＋2，a－)①当y＝经过B、D两点时，则(a＋2)(a－)＝2×，解得：a1＝(舍去)，a2＝＞0，符合题意，∴k＝2×＝5.②当y＝经过C、B两点时，∵∠CDG＋∠GDA＝90°，∠ADE＋∠GDA＝90°，∴∠CDG＝∠ADE.在△CDG和△ADE中，∴△CDG≌ADE(AAS)，
∴CG＝AE＝a－，DG＝DE＝2，∴C(，a－)，∴(a＋2)(a－)＝(a－)，解得a1＝－(舍去)，a2＝＞0，∴k＝(a－)＝×(－)＝＝22.5，故答案为5或22.5.
16. 2±2，4，2　【解析】分两种情况讨论，

第16题解图
①C、D共线．如解图①，过点A作AE⊥BC于点E，∵∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2，∴AE＝AB＝2.∴CE＝DE＝＝＝2.∴CD＝2CE＝4.②当点C、D不共线．

第16题解图②
(ⅰ)如解图②连接CD与AB相交于点H.过A作AE⊥BC于点E、AF⊥BD于点F.∵∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2.∴AE＝AF＝2.∴DF＝CE＝＝＝2，
BF＝BE＝AB·cos30°＝2，∴BC＝BD＝2－2，
∵∠CBD＝2∠ABC＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴CD＝2－2.
(ⅱ)同理可证得，AE＝CE＝AF＝DF＝2.

第16题解图③
∴∠DAF＝∠EAC＝45°，∠AEC＝∠AFB＝90°，∠EBF＝2∠ABC＝60°，∴∠EAF＝180°－∠EBF＝120°，∴∠CAD＝∠DAF＋∠FAC＝∠EAC＋∠FAC＝∠EAF＝120°.如解图③，连接CD，过点A作AM⊥CD于点M，AC＝AD＝2，∴∠ACD＝＝30°，∴CM＝AC·cos∠ACD＝2cos30°＝.∴CD＝2CM＝2.
(ⅲ)如解图④，连接CD作AE⊥CB于点E，作AF⊥BD于点F，同理可解得：AE＝CE＝AF＝DF＝2.BE＝BF＝AB·cos∠ABC＝4cos30°＝2，∴BC＝BD＝2＋2.∵∠CBD＝2∠ABC＝60°，∴△CBD是等边三角形，∴CD＝BC＝2＋2.综上所述，CD的长为2±2，4，2.

第16题解图④
17. 解：(1)原式＝2－2＋1＝1.
(2)5x＋3≥2x＋6，
5x－2x≥6－3，
3x≥3，
x≥1.
18. 解：(1)90÷45%＝200，
∴本次接受问卷调查的学生有200人．
×360°＝ 126°.
∴“了解”的扇形圆心角的度数是126°.
(2)“非常了解”与“了解”的百分比和为15%＋×100%＝50%，
∴1200×50%＝600，
∴估计全校学生中“非常了解”、“了解”莲花落的学生共有600人．
19. 解：(1)b＝10＋10×5＝60.
设y＝kx＋b，将(0，30)，(5，60)代入得，
解得，所以y＝6x＋30(0≤x≤15)；
(2)(10x＋10)－(6x＋30)＝28，
x＝12<15,
∴无人机上升12 min，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米．
20. 解：(1)过点C作CP⊥AE于点P，
过点B作BQ⊥CP于点Q，如解图①，

第20题解图①
∵∠ABC＝143°，∴∠CBQ＝53°，∴在Rt△BCQ中，CQ＝BC·sin53°≈70×0.8＝56 cm，∵CD∥l，∴DE＝CP＝CQ＋PQ＝56＋50＝106 cm.(2)当点B，C，D共线时，如解图②，

图2
BD＝60＋70＝130 cm，AB＝50 cm，
在Rt△ABD中，AD2＝BD2＝AB2，
∴AD＝120 cm>110 cm，
∴手臂端点D能碰到点M.
21. 解：(1)∵∠ABC＝80°，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝50°.

第21题解图
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∵∠A＝40°，∴∠ACB＝60°.∵CE＝BC，∴∠EBC＝60°.∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝20°；(2)∠BEC＋∠BDC＝110°.理由如下：设∠BEC＝α，∠BDC＝β.在△ABE中，α＝∠A＋∠ABE＝40°＋∠ABE，∵CE＝BC，∴∠CBE＝∠BEC＝α.∴∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝∠A＋2∠ABE＝40°＋2∠ABE，∵在△BDC中，BD＝BC，∴∠BDC＋∠BCD＋∠DBC＝2β＋ 40°＋2∠ABE＝180°.∴β＝70°－∠ABE.∴α＋β＝40°＋∠ABE＋70°－∠ABE＝110°.∴∠BEC＋∠BDC＝110°.
22. 解：(1)设y＝ax2＋4，将x＝2，y＝8代入，得a＝1，∴y＝x2＋4；
(2)∵＝0.6，
∴＝0.6，
∴CD′＝6，OD′＝10，
当y＝10时，10＝x2＋4，
解得x1＝或x2＝－，
∴A′B′＝2，即杯口直径A′B′的长为2.
23. 解：(1)①如解图①，四边形ABCD是平行四边形，

第23题解图①
∴AB∥CD，∴∠DEA＝∠EAB.∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB.∴∠DAE＝∠DEA.∴DE＝AD＝5.同理可得：BC＝CF＝5.∵点E与点F重合，∴AB＝CD＝10.②如解图②，点E与点C重合，

第23题解图②
∴DE＝DC＝5，∵CF＝BC＝5，∴点F与点D重合，∴EF＝DC＝5；(2)分3种情况讨论，情况1，如解图③，

第23题解图③
AD＝DE＝EF＝CF，∴＝.
情况2，如解图④，

第23图解图④
AD＝DE＝CF，又∵DF＝FE＝CE，∴＝
情况3，如解图⑤，

第23题解图⑤
AD＝DE＝CF，又∵FD＝DC＝CE，∴＝2.
综上所述的值为，，2.
24. 解：(1)如解图①，矩形ABCD中，∠BAD＝90°，

第24题解图①
∵∠ADB＝30°，AB＝4，∴AD＝4，∵点E是AD中点，∴DE＝2，∵EF⊥BD，∴DF＝3；
(2)分两种情况讨论，第一种情况，如解图②，

第24题解图②
∠PED＝60°，由对称性可得，EF平分∠PED，∴∠DEF＝30°，∴△DEF是等腰三角形，可求得DF＝2.第二种情况，如解图③，

第24题解图③
∠PED＝120°，
由对称性可得
∠FED＝120°，
△DEF是等腰三角形，
可求得DF＝6.
综上所述DF的长为2或6；
(3)由(2)可得当∠DQE＝90°时，
DF＝2(如解图②)或6(如解图③)．
当∠DEQ＝90°时，
第一种情况，如解图④，

第24题解图④
EF平分∠PED，∠DEF＝45°，
过点F作FM⊥AD于点M，
设EM＝a.则FM＝a，DM＝a，
∴a＋a＝2，
∴a＝3－，DF＝6－2，
再由(2)中的第一种情况，∴2 第二种情况，如解图⑤，

第24题解图⑤
EF平分∠AEQ，∠MEF＝45°，
过点F作FM⊥AD于点M，
设EM＝a，则FM＝a，DM＝a，
∴a－a＝2，
∴a＝3＋，DF＝6＋2，
∵6＋2>8，DF最大值为8，
又由(2)中的第二种情况∴6 综上所述2